202X铁岭市中考数学期末二次函数和几何综合汇编

202X 铁岭市中考数学期末二次函数和几何综合汇编
一、二次函数压轴题
1．定义：若抛物线的顶点和与x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．
概念理解：
（1）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．试证明：以点A 为顶点，且与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线；
问题探究：
（2）已知一条抛物线经过x 轴的两点E 、F （E 在F 的左边），E （1，0）且EF ＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
应用拓展：
（3）将抛物线y 1＝﹣x 2+23x +9向下平移9个单位后得新的抛物线y 2．抛物线y 2的顶点为P ，与x 轴的两个交点分别为M 、N （M 在N 左侧），把△PMN 沿x 轴正半轴无滑动翻滚，当边PN 与x 轴重合时记为第1次翻滚，当边PM 与x 轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标．
2．探究：已知二次函数y ＝ax 2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)．
(1)求该函数的表达式；
(2)如图所示，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ，连接AC ，PA ，PC ．
①求△ACP 的面积S 关于t 的函数关系式；
②求△ACP 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
拓展：在平面直角坐标系中，点M 的坐标为(﹣1，3)，N 的坐标为(3，1)，若抛物线y ＝ax 2﹣2x+3(a ＜0)与线段MN 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．
3．小明对函数2(0)y a x bx c a =++≠的图象和性质进行了探究.已知当自变量x 的值为0或
4时，函数值都为3-；当自变量x 的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充
完整．
（1）这个函数的表达式为 ； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线y k =与函数2y a x bx c =++有三个交点，则k = ；
②已知函数3y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式
2a x bx c ++3x ≤-的解集： ．
4．如图，抛物线213222
y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 的坐标为()0m ,，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．
（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究当m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；
（3）在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，点EF 在直线l 的同一侧，要在直线l 上找一点K ，使KE 与KF 的距离之和最
小，我们可以作出点E 关于l 的对称点E′，连接FE′交直线L 于点K ，则点K 即为所求．
（1）（实践运用）抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）．如图2．
①求该抛物线的解析式；
②在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PC 的值最小，并求出此时点P 的坐标及PA+PC 的最小值．
（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q ，使|QA ﹣QC|的值最大，并求出此时点Q 的坐标．
6．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：
x … -3 52- -2 -1 0 1 2 52
3 … y … 3 5
4 m -1 0 -1 0 54 3 …
其中，m =______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程220x x -=有______个实数根；
②关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是______．
7．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于(3,0)A -、B 两点，顶点为点(1,23)C --，
连接BC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作ABC ∠的角平分线BE ，交对称轴于交点D ，交抛物线于点E ，求DE 的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，点F 是线段BC 上的一动点（点F 不与点O 和点B 重合，连接DF ，将BDF 沿DF 折叠，点B 的对应点为点1B ，1DFB 与BDC 的重叠部分为DFG ，请探究，在坐标平面内是否存在一点H ，使以点D 、F 、G 、H 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．
（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．
9．综合与探究
如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于
点C ，直线122
y x =-+经过B ，C 两点
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D 是抛物线上第一象限内的一动点，设点D 的横坐标为m ，连接CD ，BD ，BC ，AC ，当△BCD 的面积等于△AOC 面积的2倍时，求m 的值；
（3）如图2，若点N 为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
二、中考几何压轴题
11．问题情境：两张直角三角形纸片中，90BAC DAE ∠=∠=︒．连接BD ，CE ，过点A 作BD 的垂线，分别交线段BD ，CE 于点M ，N （ABC ∆与ADE ∆在直线MN 异侧）．
特例分析：
（1）如图1，当AB AC AD AE ===时，求证：2BD AN =；
拓展探究：
（2）当12AB AD AC AE ==，探究下列问题： ①如图2，当AB AD =时，直接写出线段BD 与AN 之间的数量关系： ；
②如图3，当AB AD ≠时，猜想BD 与AN 之间的数量关系，并说明理由；
推广应用：
（3）若图3中，AB AD k AC AE
==，设ABD ∆的面积为S ，则ACE ∆的面积为 ．（用含k ，s 的式子表示）
12．综合与实践：
问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探究线段间的变化关系”．
如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 为ACB ∠的角平分线CD 上一动点但不与点C 重合，作点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接AE 并延长交CB 延长线于点H ，连接FB 并延长交直线AH 于点G ．
探究实践：
（1）勤奋小组的同学发现AE BF =，请写出证明；
探究发现：
（2）智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段FG ，EG 与CE 存在数量关系，请写出他们的发现并证明；
探究拓展：
（3）如图2，奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC ，得到三条线段GE ，GC 与GF 存在一定的数量关系，请直接写出．
13．（1）问题发现
如图1，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，若∠ADE ＝60°，则AB ，CE ，BD ，DC 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠B ＝α，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若∠ADE ＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题
如图3，在ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ＝4cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿
A→B方向勾速运动，同时点M从点B 出发，以3cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．
14．（性质探究）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
（迁移应用）
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当1
21 3
S S 时，求AD
AB
的值．
（拓展延伸）
（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积
为矩形ABCD面积的
1
10
时，请直接写出tan∠BAE的值．
15．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
16．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则线段BD 、CE 之间的数量关系是_________，CEB ∠=_________︒；
（2）拓展探究：
如图②，当ACB AED α∠=∠=时，点B 、D 、E 不在同一直线上，连接CE ，求出线段BD 、CE 之间的数量关系及BD 、CE 所在直线相交所成的锐角的大小（都用含α的式子表示），并说明理由：
（3）解决问题：
如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，10AC =，2AE =，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当CE 所在的直线垂直于AD 时，请你直接写出BD 的长．
17．综合与实践
动手操作
利用旋转开展教学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形ABC 的AB 边绕点B 顺时针旋转90°得到线段A B '，90ACB ∠=︒，1AC =，连接A C '，过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ．
思考探索
（1）在图1中：
①求证：ABC A BH '≌△△；
②A BC '的面积为______；
③tan A CB '∠=______．
拓展延伸
（2）如图2，若ABC 为任意直角三角形，90ACB ∠=︒．BC 、AC 、AB 分别用a 、b 、c 表示．请用a 、b 、c 表示：
①A BC '的面积：______；
②A C '的长：______；
（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，AB A B '⊥，10AB =，12BC =，5A B '=，连接A C '．
①A BC '的面积为______；
②点D 是BC 边的高上的一点，当AD =______时，A D DB '+有最小值______． 18．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积123,,S S S 之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究：
（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为直径，向外侧作半圆，则面积123,,S S S 之间的关系式为_____________；
推广验证：
（2）如图3，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作ABD △，,ACE BCF ，满足123,∠=∠=∠∠=∠=∠D E F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用：
（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105,90,3,2A E C ABC AB DE ∠=∠=∠=︒∠=︒==，点P 在AE 上，30,2ABP PE ∠=︒=ABCDE 的面积．
19．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．求证：FG AE =；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，23
BC AB =将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形EFGP ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，若
34
BE BF =，10GF =CP 的长． 20．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ． 思考探索
（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．
①点B '在以点E 为圆心，_________的长为半径的圆上；
②B M '=_________；
③DB C '为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点
B '落在正方形ABCD 内部或边上．
①ABB '面积的最大值为____________；
②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．
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一、二次函数压轴题
1．A
解析：（1）详见解析；（2）y ＝23(2)3x --y 23(2)3x -3）当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标为（33）．
【分析】
（1）由Rt △ABC 中AD 是斜边BC 的中线可得AD ＝CD ，由抛物线对称性可得AD ＝AC ，即证得△ACD 是等边三角形．
（2）设抛物线顶点为G ，根据正抛物线定义得△EFG 是等边三角形，又易求E 、F 坐标，即能求G 点坐标．由于不确定点G 纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．
（3）根据题意求出抛物线y 2的解析式，并按题意求出P 、M 、N 的坐标，得到等边△PMN ，所以当△PMN 翻滚时，每3次为一个周期，点P 回到x 轴上方，且横坐标每多一个周期即加3n 能被33n 3（2n +132019能被3整除，代入即能求此时点P 坐标．
【详解】
解：（1）证明：∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点
∴AD ＝BD ＝CD ＝1
2BC
∵抛物线以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点
∴AD ＝AC
∴AD ＝AC ＝CD
∴△ACD 是等边三角形
∴以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线．
（2）∵E （1，0）且EF ＝2，点F 在x 轴上且E 在F 的左边
∴F （3，0）
∵一条经过x 轴的两点E 、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为G
∴△EFG 是等边三角形
∴x
G ＝E F G x x 2,2
y +==
①当G （2y ＝a （x ﹣2）2
把点E （1，0）代入得：a 0
∴a
∴y x ﹣2）
2
②当G （2y ＝a （x ﹣2）2
把点E （1，0）代入得：a 0
∴a
∴y x ﹣2）
2
综上所述，这条抛物线的解析式为y x ﹣2）2y x ﹣2）2
（3）∵抛物线y 1＝﹣x 2+9＝﹣（x 2+12
∴y
1向下平移9个单位后得抛物线y 2＝﹣（x 2+3
∴P 3），M （0，0），N （0）
∴PM ＝MN ＝PN ＝
∴△PMN 是等边三角形
∴第一次翻滚顶点P 的坐标变为P
1（0），第二次翻滚得P 2与P 1相同，第三次翻滚
得P 3（3）
即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n 能被3整除时，点P 纵坐标为3
+n 2n +1∵2019÷3＝673
∴（2×2019+1）
∴当第2019次翻滚后抛物线y
2的顶点P 的对应点坐标为（3）．
【点睛】
本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN 每3次翻滚看作一个周期，点P 对应点坐标的特征，是规律探索的典型题．
2．探究：（1）223y x x =--+；（2）①S =23922
t t =--，②ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315(,)24
-，拓展：2a ≤-. 【分析】
（1）由待定系数法易求解析式；
（2）过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设点P 的坐标为()
2,23t t t --+，由
PQC PQA S S S ∆∆=+可得关于t 的二次函数，进而可求最大值.
（3）根据抛物线与MN 的位置关系可知当抛物线经过M 点时，a 取最大值.
【详解】
探究：（1）∵抛物线223y ax x =-+经过点()3,0A -，
∴()()2
03233a =--⨯-+，解得1a =-. ∴抛物线的表达式为223y x x =--+.
（2）①过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .
设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，
将()3,0A -、()0,3C 代入y kx b =+，
303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的解析式为3y x =+.
∵点P 在抛物线223y x x =--+上，点Q 在直线AC 上，
∴点P 的坐标为()
2,23t t t --+，点Q 的坐标为(),3t t +， ∴()2233P Q PQ y y t t t =-=--+-+ 23t t =--， ∴()
21332PQC PQA S S S t t ∆∆=+=--⋅ 23922t t =--. ②∵23922
S t t =--， ∴当9
323222t =-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，2max 33932722228S ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当32t =-时，2
331523224p y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
. [拓展]：抛物线y=ax 2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN 有交点，
当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M 点或下方时，抛物线左边边一定与MN 有交点，
即a+5≤3；
∴2a ≤-；
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a 点的求值范围．
3．（1）243y x x --＝；（2）如图所示，见解析；性质：函数的图象关于直线=2x 对
称；或：当0x =或4时，函数有最小值3-；（3）①1；②0x =或35x ≤≤．
【分析】
（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠，得到：3c =-，4b =-，1a =，即可求解析式为2|4|3y x x =--；
（2）描点法画出函数图象，函数关于2x =对称；
（3）①从图象可知：当2x =时，1y =，1k =时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点；
②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为35x ≤≤．
【详解】
解：（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠，
得到：3164310c a b c a b c ⎧=-⎪++=-⎨⎪++=⎩
，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 2|4|3y x x ∴=--，
故答案为2|4|3y x x =--．
（2）如图：
函数关于直线2x =对称，
（3）①当2x =时，1y =，
1k ∴=时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点，
故答案为1；
②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =或x=3，
结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为0x =或35x ≤≤，
故答案为0x =或35x ≤≤．
【点睛】
本题类比函数探究过程探究绝对值函数与不等式组关系；能够准确的画出函数图象，从函数图象中获取信息，数形结合解题是关键．
4．C
解析：（1）1,04,00,2B C A -（），（），（）
（2）当2m =，四边形CQMD 是平行四边形
（3）存在，点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-
【分析】
（1）根据函数解析式列方程即可；
（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM 的长度，从而可求解;
（3）设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
m m m ,分两种情况讨论：①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=，②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+，可解出m 的值.
【详解】
（1）令0x =，则2y =，C 点的坐标为（0,2）；
令0y =，则2130222
x x =-++ 解得121,4x x =-=，点A 为（-1,0）；点B 为（4,0） ∴1,04,00,2B C A -（），（），（）
（2）如图1所示：
点C 与点D 关于x 轴对称，点()0,2D -,设直线BD 的解析式为2y kx =-，将()4,0B 代入得：420k -= 解得12
k = ∴直线BD 的解析式为：122y x =
- ∵//QM DC
∴当=QM DC 时，四边形CQMD 是平行四边形
设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
m m m ，则1,22M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴2131224222m m m ⎛⎫-++--= ⎪⎝⎭
解得12m = 20m =（不合题意，舍去）
∴当2m =，四边形CQMD 是平行四边形
（3）存在，设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
m m m ∵BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形
∴①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=
即()22
222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-+++=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得13m = 24m =（不合题意，舍去）
∴Q 点的坐标为3,2（）
②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+
即()22
222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得18m = 21m =-
Q 点的坐标为()8,18- ()1,0-
综上所述：点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-.
【点睛】
本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.
5．A
解析：（1）①y=x 2﹣2x ﹣3，②点P 的坐标为（1，﹣2），PA+PC 的最小值为（2）点Q 的坐标为（1，﹣6）．
【详解】
分析：（1）①由点A 、B 的坐标可将抛物线的解析式变形为交点式，代入点C 的坐标即可求出a 值，此题得解；
②由点A 、B 关于抛物线的对称轴对称可得出连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA +PC 的值最小，根据抛物线的解析式可求出其对称轴为直线x =1，由点B 、C 的坐标利用待定系数法可求出过点B 、C 的直线的解析式，代入x =1求出y 值，由此即可得出点P 的坐标，再利用勾股定理求出线段BC 的长即可；
（2）连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴与点Q ，此时|QA ﹣QC |的值最大，且|QA ﹣QC |的最大值为线段AC 的长（三角形两边之差小于第三边），由点A 、C 的坐标利用待定系数法可求出过点A 、C 的直线的解析式，代入x =1求出y 值，由此即可得出点Q 的坐标，此题得解．
详解：（1）①∵抛物线与x 轴的交点为A （﹣1，0）、B （3，0），∴抛物线的解析式为y =a （x +1）（x ﹣3）．
∵抛物线过点C （0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a ，∴a =1，∴该抛物线的解析式为y =（x +1）（x ﹣3）=x 2﹣2x ﹣3．
②∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA +PC 的值最小，如图3所示．
∵抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x =1． 利用待定系数法可求出过点B 、C 的直线为y =x ﹣3，当x =1时，y =x ﹣3=1﹣3=﹣2，∴点P 的坐标为（1，﹣2），PA +PC 的最小值为BC =22OB OC +=32．
（2）连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴与点Q ，此时|QA ﹣QC |的值最大，且|QA ﹣QC |的最大值为线段AC 的长，如图4所示．
利用待定系数法可求出过点A 、C 的直线为y =﹣3x ﹣3，当x =1时，y =﹣3x ﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴点Q 的坐标为（1，﹣6）．
点睛：本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质、二次函数解析式的三种形式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）①根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；②由点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，找出当PA +PC 的值最小时点P 的位置；（2）利用三角形的三边关系找出使|QA ﹣QC |的值最大时点Q 的位置．
6．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②10a -<<
【分析】
（1）那x =-2代入解析式，即可求得m 的值；
（2）利用描点法画函数图象即可；
（3）①观察图象找出图象与x 轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x 轴直线的交点个数为4个时对应y 的取值范围即可．
【详解】
（1）x =-2时，m =（-2）2-22⨯- =0；
故答案为：0；
（2）如图所示
（3）①观察图象，可知22y x x =-与x 轴有三个交点，
所以22||=0x x -有三个根，分别是2-、0、2；
即答案为3；
②∵关于x 的方程22||x x a -=有四个根，
∴函数22y x x =-的图象与y =a 有四个交点，
由函数图象知：a 的取值范围是10a -<<．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．
7．D
解析：（1）23333y x =2）83DE =；（3）存在，1532,H ⎛- ⎝⎭；2123,3H ⎛- ⎝⎭；323,3H ⎛- ⎝⎭． 【分析】
(1)利用顶点式，求出抛物线的解析式即可；
(2)求出点D 的坐标，再求出直线BE 的解析式，构建方程组确定点E 的坐标，即可得出结论；
(3)分三种情形：当 90DFG ∠=︒时，点G 与点C 重合，再利用平移的性质求解，当
90DGF ∠=︒时，且点G 在CD 上时，求得2143,3F ⎛- ⎝⎭；2431,G ⎛- ⎝⎭
， 即可得出结论，当90DGF ∠=︒，且点G 在BC 上时，利用平移的性质求解即可．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点C (1,23--，
∴设抛物线的解析式为()2123y a x =+-
把A 3,0代入可得32a =， ∴抛物线的解析式为()2233331233222y x x x =+-=+-； （2）如图1中，设抛物线的对称轴交x 轴于F 1,0，
令0,y = 则)231230,y x =+- 解得：121,3,x x ==-
()1,0,B ∴
∴2BF =，3CF =
∴tan 3CF CBF BF
∠== ∴60CBF ∠=︒，
∵BE 平分ABC ∠，
∴1302
ABE ABC ∠=∠=︒， 3tan 30DF BF ∴︒=
= 23DF ∴= ∴231,D ⎛- ⎝⎭
， ∴直线BD 的解析式为33y =
， 由2333323y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得，10=⎧⎨=⎩x y 或73103x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴7103,39E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， ∴2
27231038313399DE ⎛⎫⎛⎫=-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）①如图所示：
当1190DFG ∠=︒时，
∵抛物线的顶点C (1,23--，()1,0,B 231,D ⎛- ⎝⎭ 23
33tan 2DBO ∴∠= 11130,DBO DBF DG F ∴∠=︒=∠=∠ ∴ 点H 在第三象限,点1G 与点C 重合， 此时1111=,CF FG BF =1(0,3)F -； 1(1,23)G --，
由平移性质得1532,H ⎛- ⎝⎭
， ②如图所示：
当2290DG F ∠=︒且点2G 在CD 上时，则2,DF BD ⊥
2222230,DBF DF H F DG ∴∠=∠=∠=︒ 2223432,33BD ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭ 24tan 30,3DF BD ∴=︒= 2222123423,,23233
G F DF DG ===⨯= ∴ 点H 在第三象限,此时21
43,33F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2431,3G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 由平移性质得2123,33H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
③如图所示：
当3390DG F ∠=︒且点3G 在BC 上时，点H 在第三象限,
同理可得：CG GB =，3123,3F ⎛ ⎝⎭
， 3(0,3)G -， 由平移性质得323,3H ⎛- ⎝⎭
，
综上所述，满足条件的点H 的坐标为23,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭
或 532,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或123,33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数的应用，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
8．C
解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b d c e
=-⎧⎨=-⎩ 【分析】
（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论； （2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；
（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论．
【详解】
解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3，
∴顶点为（2，3），
∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3，
即y ＝−x 2＋4x −1；
（2）如图，
由（1）知，A （2，3），
设正方形AMBN 的对角线长为2k ，
则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），
∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，
∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3，
解得k ＝1或k ＝0（舍）；
∴正方形AMBN 的面积为1
2×(2k )2＝2；
（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a -，2
44ac b a -），
抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，2
44ae d a
---）， ∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a
-=， ∴=-b d ，
∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上， ∴224444ac b ae d a a
---=-， ∴c e =-，
即b d c e
=-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 9．B
解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）21N ⎛- ⎝，
1N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）求出点B ，带入求解即可；
（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，根据中点的性质列式计算即可； （3）根据菱形的性质分类讨论即可；
【详解】
（1）令1202
x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，
令0x =，则2y =，
∴()0,2C ，
把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，
∴2016420
a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴12a =，52
b =-，
∴215222y x x =-+； （2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，
∵Q 为PD 中点，
∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭
， ∴213402
t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），
∴()2,1P ；
（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM ===
由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，
2,PD ∴=
设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
， 由2DM =可得：()2
21234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ 整理得：()()51820,m m --=
解得：1218,2,5
m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m =
1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===
同理可得：4225,1555N ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭或45252,1.55N ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭
②如图，当PD 为对角线时，
由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O
可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，
()0,0.N ∴ 综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．
10．A
解析：（1）224233
y x x =-++；（2）1或2；（3）存在，点M 的坐标为()2,2或102,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，由题意易得C 点坐标是（0，2），然后可得直线BC 的解析式，然后可表示点E 坐标，进而可根据铅垂法进行表示△BCD 的面积，最后问题可进行求解；
（3）设点M 的坐标为：（x ，y ），点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），根据题意易得当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，可分①当BC 是平行四边形的边时，②当BC 为对角线时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可求解．
【详解】
解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得：209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为224233
y x x =-++； （2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，
把x ＝0代入224233
y x x =-++中，得：y ＝2， ∴C 点坐标是（0，2），
又∵B （3，0），
∴直线BC 的解析式为y ＝23
-x +2， ∵点D （m ，224233
m m -++），
∴E （m ，23-m +2），
∴DE ＝（224233m m -++）﹣（23-m +2）＝23
-m 2+2m ， 由S △BCD ＝2S △AOC 得：12×DE ×OB ＝2×12×OA ×OC ，
∴1
2（23
-m 2+2m ）×3＝2×12×1×2， 整理得：m 2﹣3m +2＝0
解得：m 1＝1，m 2＝2
∵0＜m ＜3
∴m 的值为1或2；
（3）存在，理由：
设点M 的坐标为：（x ，y ），y ＝224233
x x -++，则有点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），
①当BC 是平行四边形的边时，
当点C 向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B ，
同样点M （N ）向右平移3个单位，向下平移2个单位N （M ），
故：x +3＝1，y ﹣2＝s 或x ﹣3＝1，y +2＝s ，
解得：x ＝﹣2或4，
故点M 坐标为：（﹣2，103-
）或（4，103-）； ②当BC 为对角线时，
由中点公式得：x +1＝3，y +s ＝2，
解得：x ＝2，故点M （2，2）；
综上，M 的坐标为：（2，2）或（﹣2，103-
）或（4，103
-）． 【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后利用平行四边形的存在性问题可进行分析． 二、中考几何压轴题
11．（1）详见解析；（2）①；②，证明详见解析；（3）．
【分析】
（1）在等腰三角形ABM 中三线合一，即AM 还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS 证，可得，即可得证；
（2）①由题意可知，，，且，
解析：（1）详见解析；（2）①BD AN =；②BD AN =，证明详见解析；（3）
2S k ． 【分析】
（1）在等腰三角形ABM 中三线合一，即AM 还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS 证ABM ACN ∆∆≌，可得BM AN =，即可得证2BD AN =；
（2）①由题意可知，90ANC ∠=︒，90BMA ∠=︒，且90ACN CAN ∠+∠=︒，
90BAM CAN ∠+∠=︒，可证BAM ∽ACN △，同理可证DAM △∽AEN △，可得12BM AN =，12
MD AE =，即可得出BD 与AN 的数量关系；②过E 点作AC 的平行线，交AN 的延长线于点P ，连接PC ，可证BAD ∽PEA ，即
BD AD AB PA EA PE ==，可得PE AC =，四边形AEPC 为平行四边形，所以12
AN PN AP ==，即可得出BD 与AN 的数量关系；
（3）由（2）②已证四边形AEPC 为平行四边形，所以1=2
ACE EPC AEPC S S S =△△四边形，且BAD ∽PEA ，
1AB AD AC AE k ==，所以212PEA AEPC S S S k
==△四边形，即ACE 的面积可得． 【详解】
（1）证明：∵AB AD =，AM BD ⊥于点M ，
∴2BD BM =，BAM DAM ∠=∠，（等腰三角形三线合一）
∵180CAN BAC BAM ∠=︒-∠-∠， 180EAN DAE DAM ∠=︒-∠-∠，
且90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴CAN EAN ∠=∠，
∵AC AE =，
∴AN CE ⊥，即90ANC ∠=︒．
∴90ACN CAN ∠+∠=︒，
∵90BAM CAN ∠+∠=︒，
∴BAM ACN ∠=∠， 在ABM 和CAN 中，
=90AB=CA BAM ACN AMB CNA ∠=∠⎧⎪∠=∠︒⎨⎪⎩
∴ABM ACN ∆∆≌（AAS ），
∴BM AN =，∴2BD AN =．
（2）①BD AN =．
∵由题意可知，90ANC ∠=︒，90BMA ∠=︒，且90ACN CAN ∠+∠=︒，
90BAM CAN ∠+∠=︒，
∴BAM ACN ∠=∠，
∴BAM ∽ACN △，
同理，90ANE ∠=︒，90DMA ∠=︒，且90AEN EAN ∠+∠=︒，90DAM EAN ∠+∠=︒， ∴DAM AEN ∠=∠，
∴DAM △∽AEN △， ∴12BM AB AN AC ==，即12BM AN =，12MD AD AN AE ==，即12
MD AE =， ∴BD AN =．
②BD AN =．证明：过E 点作AC 的平行线，交AN 的延长线于点P ，连接PC ．
∴180PEA CAE ∠+∠=︒，
∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴360180BAD CAE BAC DAE ∠+∠=︒-∠-=︒，
∴BAD PEA ∠=∠，
∵AM BD ⊥于点M ，∴90AMD ∠=︒．
∴90MAD ADB ∠+∠=︒．
∴90MAD EAP ∠+∠=︒．
∴ADB EAP ∠=∠，
∴BAD ∽PEA ， ∴
BD AD AB PA EA PE ==， ∵12AB AD AC AE ==，∴12BD AP =，1122
AB PE AC ==， ∴PE AC =．
∵//PE AC ，∴四边形AEPC 为平行四边形． ∴12
AN PN AP ==
，∴AN BD =． （3）2S k ． ∵由（2）②已证四边形AEPC 为平行四边形， ∴1=2
ACE EPC AEPC S S S =△△四边形， 又∵BAD ∽PEA ，
1AB AD AC AE k == ∴212PEA AEPC S S S k =
=△四边形， ∴212ACE AEPC S S S k
=
=△四边形． 【点睛】
本题主要考察了等腰三角形三线合一、全等三角形的证明与应用、相似三角形的证明与应用、平行四边形的性质，解题的关键在于构造出全等三角形，且掌握相似三角形面积之比为边长之比的平方．
12．（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】
（1）连接CF ，证明，即可解决问题；
（2）连接EF ，利用（1）中两个三角形全等的性质、四边形内角和及图形中互补的角推导论证∠EGF=90°，再利用勾
解析：（1）见解析；（2）2222FC EC EC +=，见解析；（3）2GE GF CG +=
【分析】
（1）连接CF ，证明ACE BCF ≌
△△，即可解决问题； （2）连接EF ，利用（1）中两个三角形全等的性质、四边形内角和及图形中互补的角推导论证∠EGF=90°，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）证明RT △CNE ≌RT △CMF ，RT △GCN ≌RT △GCM ，即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图，连接CF ．
∵CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒，
∴45ACE BCE ∠=∠=︒．
∵E ，F 关于CB 对称，
∴45BCF BCE ∠=∠=︒，CE CF =．
∴ACE BCF ∠=∠．
在ACE △和BCF △中，
CA CB ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ACE BCF SAS △≌△．
∴AE BF =．
（2）解：结论：2222FC EC EC +=．
理由如下：连接EF ，CF ．。