高中数学 阶段质量检测(一)解三角形 苏教版必修5

阶段质量检测（一） 解三角形
(时间120分钟 满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝ 3 ，B ＝60°，那么角A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b
sin B ，
sin A ＝
a sin B
b ＝2sin 60°3
＝2
2. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°. 答案：45°
2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9
10
，则BC ＝________.
解析：由余弦定理AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC cos C ，得5＝25＋BC 2
－9BC ，解得BC ＝4或5.
答案：4或5
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.
解析：∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ．又B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A ，即sin
A co s 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简，得sin A ＝
33cos A ，∴tan A ＝3
3
，∴A ＝30°. 答案：30°
4．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB ·AC ＝________.
解析：由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB |＝3，|AC |＝2，cos 〈AB ，AC 〉
＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1
4
，
∴AB ·AC ＝3×2×14＝32.
答案：32
5．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝
2
2
，AC ＝4，AB ＝5，则△ABC 的面积是________． 解析：sin A ＋cos A ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝22， 即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1
2，
∵0<A <π，∴A ＋π4＝5π6，即A ＝7π
12
.
∴S △ABC ＝12×AC ×AB ×sin A ＝12×4×5×6＋24＝56＋52
2.
答案：56＋52
2
6．在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形． 解析：由正弦定理知：sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝2A ，∴sin 2A ＝2sin A . ∴2cos A ·sin A ＝2sin A . ∴cos A ＝
2
2
.∴A ＝45°，B ＝90°. 故△ABC 为等腰直角三角形． 答案：等腰直角
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，则tan A 的值是________．
解析：由正弦定理，3b cos A ＝c cos A ＋a cos C 可化为，3sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ．∴cos A ＝13，∵0<A <π，∴sin A ＝22
3
，
从而tan A ＝sin A
cos A ＝2 2.
答案：2 2
8．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，
c ＝6，则b ＝________.
解析：化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2
A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦
定理，知a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.
答案：5
9．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π
4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________.
解析：因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且
sin A cos A
＝2，sin 2A ＋cos 2
A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b
sin B
，代入数据解得a ＝210.
答案：25
5
210
10．钝角三角形ABC 的面积是1
2
，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.
解析：S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝2
2，∴B ＝45°或135°.
若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－
22＝5，∴AC ＝ 5. 答案： 5
11.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，
吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为________ m.
解析：在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ， 由余弦定理得 cos ∠ACB
＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC
＝
152
＋102
－192
2×15×10
＝－12.
∴sin ∠ACB ＝
32
. 又∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝
32
. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532
m. 答案：153
2
12．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程3x 2
－27x ＋32＝0的两个实根，那么
BC 边的长为________．
解析：由已知可设最大边与最小边分别为b ，c ， 则b ＋c ＝9，b ·c ＝32
3
.
因为A ＝60°，所以BC 既不是最大边也不是最小边， 所以BC 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos 60°
＝b 2
＋c 2
－bc ＝(b ＋c )2
－3bc ＝81－32＝49，
即BC ＝7. 答案：7
13.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC
＝223
，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．
解析：因为sin ∠BAC ＝22
3
，且AD ⊥AC ，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝
223
，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理得，
BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD
＝ 2
2
＋32
－2×32×3×223
＝ 3.
答案： 3
14．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________米．
解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，
∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，
AB ⊥平面BCO ，
令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ， 在△BCO 中，由余弦定理得
(3x )2
＝x 2
＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)， 整理得x 2－5x －50＝0，
解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，所以塔高为10米． 答案：10
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin
B ＝3b .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．
解：(1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
得sin A ＝
32
. 因为A 是锐角，所以A ＝π
3
.
(2)由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 得b 2
＋c 2
－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝28
3
.
由三角形面积公式S ＝1
2bc sin A ，得
△ABC 的面积为73
3
.
16．(本小题满分14分)在△ABC 中，求证：a 2－b 2
c
2＝
A －B
sin C
.
证明：右边＝sin A cos B －cos A sin B
sin C
＝
sin A sin C ·cos B －sin B
sin C
·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc
＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2
＝a 2－b 2c 2＝左边， 所以a 2－b 2
c
2＝
A －B
sin C
.
17．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2
＝b 2
＋c 2
＋3bc .
(1)求角A 的大小；
(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 解：(1)由余弦定理得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－3
2
.
又0<A <π，所以A ＝5π
6
.
(2)由(1)得sin A ＝1
2
，又由正弦定理及a ＝3得
S ＝12bc sin A ＝12·
a sin B
sin A
·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π
12
时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.
18．(本小题满分16分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
解：如图所示，
设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CBD 中，由余弦定理得
cos β＝BD 2＋CD 2－CB 2
2BD ·CD
＝202
＋212
－312
2×20×21＝－17，
∴sin β＝437
.
而sin α＝sin(β－60°)
＝sin βcos 60°－sin 60°cos β ＝
437·12＋32·17＝53
14
. 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α，
∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．
所以这人再走15千米就可到城A .
19．(本小题满分16分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos
C .
(1)求角A 的大小；
(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；
(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形． 解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，
得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝1
2.因为
0°<A <180°，所以A ＝60°.
(2)由正弦定理BC sin ∠BAC ＝AC
sin B ，
得sin B ＝
AC sin ∠BAC BC ＝1
2
. 因为A ＋B <180°，所以B ＝30°， 所以C ＝90°.
因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3， 由勾股定理，得AD ＝AC 2
＋DC 2
＝21.
(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且AD ＝33，BC ＝6，sin ∠BAC ＝3
2，
所以AB ·AC ＝36.
因为BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC cos ∠BAC ， 所以AB 2
＋AC 2
＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 故△ABC 为等边三角形．
20．(本小题满分16分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知
cos A －2cos C
cos B ＝2c －a b
.
(1)求sin C
sin A
的值；
(2)若cos B ＝1
4，b ＝2，求△ABC 的面积S .
解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝k ，
则
2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A
sin B
， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B
.
即(cos A －2cos C )·sin B ＝(2sin C －sin A )·cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin (B ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin C
sin A ＝2.
(2)由sin C sin A
＝2得c ＝2a .
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2
×14.解得a
＝1，从而c ＝2.
又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝15
4.
因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝15
4.。