揭阳市2019年高考二模数学(理科)试题

5千元至1万元的项目投资（占33%）
1万元以上的项目投资
5千元以下的项目投资（占46%）
绝密★启用前
揭阳市2019年高考二模
数学(理科)
本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合{}|11M x x =-<<
，{|N x y ==，则M
N =
A ．1|12
N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩
⎭
B ．1|12
N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩
⎭
C ．{}|01N x x =≤<
D ．1|12N x x ⎧⎫
=-<≤⎨⎬⎩
⎭
2．复数
1122i
i ++的共轭复数的虚部为
A ．110
B ．110
-
C ．
3
10
D ．310-
3．在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项和为21,则345a a a ++=
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189 4. 已知向量(1,),(3,2)a m b ==-，且()a b b ⊥+，则m =
A.－8
B.－6
C. 6
D. 8
5．已知双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是2，则实数m 的值为 A ．4- B ．2- C ．1- D ．4
1-
6．某公司2018年在各个项目中总投资500万元，右图是几类项目的投资占比 情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占821
，那
么不少于3万元的项目投资共有
A ．56万元
B ．65万元
C ．91万元
D ．147万元
俯视图
侧视图
主视图3
2
4
7．如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三 视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为
A ．12
B ．16
C ．18
D ．20
8. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为： 执行该程序框图，若输入20x =，则输出的结果为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 9．设函数()cos 2sin(2)2
f x x x π
=++，则下列结论错误．．
的是： A ．−2π为f (x )的一个周期
B ．y =f (x )的图像关于直线x =2
π
C ．f (x )的一个零点为x =
4
π
D ．()f x 的最大值为2
10.以下四个数中，最大的是
A ．
B ．
1e C ．ln π
π
D ．30
11.设1F 、2F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线2x a =上一点，∆21F PF 是底边为
1PF 的等腰三角形，且直线1PF 的斜率为1
3，则椭圆E 的离心率为：
A.
10
13
B.
5
8
C.
35
D.
23
12.已知函数2
1
()2(2)2
f x x x x 1=+
≤≤的图象上存在点P ，函数()3g x ax =-的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围是：
A ．[4,0]-
B ．5
[0,]8
C ．[0,4]
D ．5[,4]8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则32z x y =-的最小值为 ．
14．4
2
1(1)(1)x x
-
+展开式中2x 的系数为 ． 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，当n N *
∈时，
3
n
n a S +的最大值为 ．
质量指标值
0.012
0.018
0.002
0.016
E
F
C
B
D A P
16.已知底面为矩形的四棱锥S ABCD -的各个顶点都在半径为2
的球面上，且3,AB BC ==则四棱
锥S ABCD -体积的最大值为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分
17.（12分）
已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S
，且2a =. （1）若060C =且1b =，求a 边的值；
（2
）当2c
b
=时，求A ∠的大小.
18.（12分）
已知如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ， E 、F 分别为PC 的三等分点． (1)证明：//AF 平面EBD ； (2)已知1AP AD ==,2AB =，求二面角E BD A --的余弦值.
19．（12分）
已知抛物线2
:4C x y =的焦点为F ，过点(2,2)P -的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点. (1) 当点P 为A 、B 的中点时,求直线AB 的方程； （2）求AF BF ⋅的最小值.
20.（12分）
某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测 其质量指标值，得到右图的频率分布直方图.（同一组数据用 该区间的中点值作代表）：
（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这 种产品符合“一、二等品至少要占全部产品82%”的规定？
（2）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，
活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足2
(31,12)X N ， 则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降 低多少？ （3）若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150率代替相应概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.
21.（12分）
已知函数()(1)1()x
f x e m x m R =-++∈. （1）若函数()f x 的极小值为1，求实数m 的值；
（2）当0x ≥时，不等式()ln(1)02
m
f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在直角坐标系xOy 中,直线1:C y ,圆()()2
2
2:125C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()R 6
=
∈π
θρ,设1C 与2C 的交点为,,O A 圆2C 与3C 的交点为,O B ,求
OAB ∆的面积.
23. [选修4-5：不等式选讲] (10分）
已知正实数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式5
22
x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.。