课时跟踪检测(五十) 双曲线

课时跟踪检测(五十) 双 曲 线
一、选择题
1．(2014·广东高考)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的
( )
A ．离心率相等
B ．虚半轴长相等
C ．实半轴长相等
D ．焦距相等
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B.62
C.52
D ．1
3．(2014·重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线
上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝9
4
ab ，则该双曲线的离心率为( )
A.43
B.53
C.94
D ．3
4．(2015·石家庄二检)已知F 是双曲线x 23a 2－y 2
a 2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P
是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )
A ．15°
B ．25°
C ．60°
D ．165°
5．(2015·江西宜春一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，
且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )
A ．5x 2
－4y 2
5
＝1
B.x 25－y 2
4
＝1
C.y 25－x 2
4＝1 D ．5x 2
－5y 2
4
＝1
6．(2015·开封摸底考试)从双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切
线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的关系为( )
A ．|MO |－|MT |>b －a
B ．|MO |－|MT |<b －a
C ．|MO |－|MT |＝b －a
D ．|MO |－|MT |与b －a 无关
二、填空题
7．已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是________． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支
上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．
9．(2015·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两
条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为________．
10．(2015·日照模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于
x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________________．
三、解答题
11．(2014·福建高考改编)已知双曲线E ：x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条
渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8，求双曲线方程．
12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，
焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝
3
3
x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．
答 案
1．选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝
25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．
2．选D 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3
a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.
3．选B 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2
－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，
即9⎝⎛⎭⎫b a 2－9b
a －4＝0， 则⎝⎛⎭⎫3
b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0， 解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b
a ＝－13舍去， 则双曲线的离心率e ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5
3.
4．选C ∵两条渐近线y ＝±3
3x 的倾斜角分别为30°，150°，
∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°， 故选C.
5．选D ∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又c a ＝5，∴a ＝15
，
∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝4
5.
故所求方程为5x 2
－5y 2
4
＝1.
6．选C 设F 1是双曲线的右焦点，连接PF 1，由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2a ，① ∵OM 是△FF 1P 的中位线， ∴|PF 1|＝2|OM |.②
又M 是FP 的中点，∴|PF |＝2|MF |.③ ②③代入①得2|MF |－2|OM |＝2a ， |MF |－|OM |＝a .④ ∵|MF |＝|MT |＋|TF |， |FT |2＝|OF |2－|OT |2＝c 2－a 2， ∴|FT |＝b .
∴|MF |＝|MT |＋b .⑤
把⑤代入④得|MT |＋b －|OM |＝a ， ∴|OM |－|MT |＝b －a .选C.
7．解析：把双曲线的方程化为x 2
－y 2
－1m
＝1，
可见，双曲线的实轴长为2，虚轴长为2 －1
m ，根据题意有2 －1
m
＝2×2， ∴m ＝－1
4.
答案：－1
4
8．解析：设∠F 1PF 2＝θ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|，
得⎩⎨⎧
|PF 1|＝8
3a ，
|PF 2
|＝2
3
a ，
由余弦定理得
cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1||PF 2|＝
17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2
. ∵θ∈(0，π]，∴cos θ∈[－1,1)， －1≤178－9
8e 2<1，
又e >1，∴1<e ≤5
3.
答案：53
9．解析：因为原点到准线距离为1， 所以S △OAB ＝1
2×1×|AB |＝2，
即|AB |＝4.
由对称性知，点A (－1,2)，B (－1，－2)． 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ，
所以有2＝b
a
，即b ＝2a .
又因为c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋4a 2＝5a 2， 所以e ＝c
a ＝ 5.
答案： 5
10．解析：设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)， 代入双曲线方程得y 0＝±b 2
a ，
∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2
a .
在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a .
又∵c 2＝a 2＋b 2，
∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)．
∵a >0，b >0，∴b
a
＝ 2.
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x
11．解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为 y ＝2x ，y ＝－2x ， 所以b
a
＝2，所以
c 2－a 2
a
＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝c
a ＝ 5.
(2)由(1)知，双曲线E 的方程为
x 2a 2－y 2
4a 2
＝1. 设直线l 与x 轴相交于点C .
当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC |＝a ， |AB |＝4a ，
又因为△OAB 的面积为8，所以1
2|OC |·|AB |＝8，
因此12a ·4a ＝8，
解得a ＝2，
所以双曲线E 的方程为x 24－y 2
16＝1.
12．解：(1)由题意知a ＝23， 又∵一条渐近线为y ＝b
a x ，即bx －ay ＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为3， 得
|bc |b 2
＋a
2
＝ 3.
∴b 2
＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.
将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 2
3＝1得x 2－163x ＋84＝0，
则x 1＋x 2＝163， y 1＋y 2＝
3
3(x 1＋x 2
)－4＝12. ∴⎩⎨⎧
x 0y 0
＝433，x 20
12－y
20
3＝1.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝43，y 0＝3.
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。