江西省南昌市莲塘一中2018学年高二上学期期中数学试卷

2018-2018学年江西省南昌市莲塘一中高二（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）
1．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个
焦点的距离为（）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）象限．
A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四3．命题“a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线y=2x2的准线方程为（）
A．B．C．D．
5．与圆都相切的直线有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．下列说法正确的是（）
A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
B．若p：∃x0∈R，x18﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”
7．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）
A． B．C．D．
8．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
10．下列说法正确的是（）
A．经过空间内的三个点有且只有一个平面
B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形
D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台
11．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）
A．B．3 C．D．
12．双曲线的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN
为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）
A．4 B．2 C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．
14．已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则
a的取值范围为．
15．同一个正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为．
16．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y=x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
④曲线W上的点到原点距离的最小值为2﹣
其中，所有正确结论的序号是．
三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）
17．设抛物线y=mx2（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．
18．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（Ⅰ）求该几何体的体积V；
（Ⅱ）求该几何体的面积S．
19．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x18+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
20．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．
21．已知函数f（x）=（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．
（1）若命题p：log2[g（x）]≥1是假命题．求x的取值范围；
（2）若命题q：x∈（﹣∞，3）．命题r：x满足f（x）＜0或g（x）＜0为真命题．￢r是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
22．已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：（a＞0，b＞0）有公共焦点
F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=相切，圆N：（x﹣2）2
+y2=1．过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
2018-2018学年江西省南昌市莲塘一中高二（上）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）
1．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个
焦点的距离为（）
A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．
【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．
根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．
故选D．
2．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）象限．
A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四【考点】直线的一般式方程．
【分析】把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置．
【解答】解：直线ax+by=c 即y=﹣x+，
∵ab＜0，bc＜0，∴斜率k=﹣＞0，
直线在y轴上的截距＜0，
故直线第一、三、四象限，
故选C．
3．命题“a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】四种命题．
【分析】根据四种命题的定义，分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假，综合可得答案．
【解答】解：命题“若a＞﹣5，则a＞﹣8”为真命题；
其逆命题“若a＞﹣8，则a＞﹣5”为假命题；
其否命题“若a≤﹣5，则a≤﹣8”为假命题；
其逆否命题“若a≤﹣8，则a≤﹣5”为真命题；
综上，命题“若a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个，
故选：B．
4．抛物线y=2x2的准线方程为（）
A．B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先把抛物线化为标准方程为x2=y，再求准线．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，
∴p=，开口朝上，
∴准线方程为y=﹣，
故选D．
5．与圆都相切的直线有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出两个圆的圆心与半径，判断两个圆的圆心距离与半径和与差的关系，可判断两个圆的位置关系，即可得出结论．
【解答】解：因为圆
的圆心坐标、半径分别为（﹣1，3），6；（2，﹣1），1．
所以圆心距为=5，
因为5=6﹣1，
所以两个圆的关系是内切，
所以两圆的公切线有1条．
故选A．
6．下列说法正确的是（）
A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
B．若p：∃x0∈R，x18﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误；
【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不
正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x18﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；
对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；
对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；
故选：D．
7．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）
A． B．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，根据圆柱和棱柱的体积公式得到两个几何体的体积，再相加得到结果．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，
上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，
∴圆柱的体积是π×0.82×2=，
下面是一个六棱柱，
棱柱的高是1.5，底面的边长是2，
∴六棱柱的体积是=，
∴组合体的体积是，
故选C．
8．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】方程ax2+by2=c即+=1表示双曲线，则＜0，解得ab＜0．反之不成立，例如c=0．即可判断出结论．
【解答】解：方程ax2+by2=c即+=1表示双曲线，则＜0，解得ab＜0．反之不成立，例如c=0．
∴“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的必要不充分条件．
故选：B．
9．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．
【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a ≥x2，恒成立
即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．
故选C
10．下列说法正确的是（）
A．经过空间内的三个点有且只有一个平面
B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形
D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面；在B中，直线上最多有一个点在平面α内；在C中，四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台．
【解答】解：在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故A
错误；
在B中，如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面α内，故B错误；
在C中，如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，
那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；
在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台．故D错误．
故选：C．
11．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）
A．B．3 C．D．
【考点】椭圆的应用．
【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2
＜90°，即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，进而可得点P到x轴的距离．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．
由于a=4，b=3，
∴c=＜b
∴∠F1MF2＜90°，
∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．
令x=±得
y2=9=，
∴|y|=．
即P到x轴的距离为，
故答案为：D
12．双曲线的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN
为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）
A．4 B．2 C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可知：以MN为直径的圆过原点O，则OM⊥ON，则AF⊥BF，
=（2﹣x0，﹣y0），=（2+x0，y0），由向量数量积的坐标表示求得x18+y18=4，由
k AB=，代入即可求得x18=，y18=，
代入双曲线方程得：=1，求得a2=1，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），由右焦点F（2，0），则c=2
∵以MN为直径的圆过原点O，
∴OM⊥ON，
又∵OM∥BF，ON∥AF，
∴AF⊥BF，
=（2﹣x0，﹣y0），=（2+x0，y0），
∴=（2﹣x0）（2+x0）﹣y18，
∴4﹣x18﹣y18=0，
即x18+y18=4，
由k AB=，
∴y18=x18，
∴x18+x18=4，
解得：x18=，y18=，
代入双曲线方程得：=1，
∴7b2﹣9a2=4a2b2，由b2=c2﹣a2=4﹣a2，
∴7（4﹣a2）﹣9a2=4a2（4﹣a2），解得：a2=1或a2=7（舍），
∴a=1，
∴e=2，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据展开图与圆锥的对应东西解出．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，
∴圆心角α==π．
故答案为：π．
14．已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为[﹣1，6] ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别解出p，q的x的范围，利用q是p的充分而不必要条件，即可得出．
【解答】解：p：|x﹣a|＜4，解得a﹣4＜x＜a+4．
q：﹣x2+5x﹣6＞0，解得2＜x＜3．
∵q是p的充分而不必要条件，
∴，解得﹣1≤a≤6，等号不同时成立．
∴a的取值范围为[﹣1，6]，
故答案为：[﹣1，6]．
15．同一个正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为．【考点】球的体积和表面积．
【分析】设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与各棱相切的球以及与其外接球的半径，然后求出体积比．
【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半
径为a，
与各棱相切的球的半径为：，
故所求的比为．
故答案为．
16．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y=x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
④曲线W上的点到原点距离的最小值为2﹣
其中，所有正确结论的序号是②③④．
【考点】轨迹方程．
【分析】根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距
离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．
【解答】解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，
∴|x|+|y|=，
∴|xy|+x+y﹣1=0，
∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0，
函数的图象如图所示
∴曲线W关于直线y=x对称；
曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最
小值为（﹣1）=2﹣，
∴所有正确结论的序号是②③④．
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）
17．设抛物线y=mx2（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】根据抛物线y=mx2写出它的准线方程y=﹣，再根据准线与直线y=1的距离为3，对m的正负进行讨论，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程．
【解答】解：当m＞0时，准线方程为y=﹣，1+=3，
∴m=，
此时抛物线方程为y=x2；
当m＜0时，准线方程为y=﹣，﹣﹣1=3，
∴m=﹣，
此时抛物线方程为y=﹣x2；
∴所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=﹣16y．
故答案为：x2=8y或x2=﹣16y．
18．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（Ⅰ）求该几何体的体积V；
（Ⅱ）求该几何体的面积S．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，由此能求出该几何体的体积．
（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，由此能求出该几何体的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，
∴该几何体的体积V==64．
（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h1==4，
另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为==5，
∴该几何体的面积S=2（）+8×6=88+24．
19．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x18+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【考点】四种命题的真假关系．
【分析】已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，即△≥0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围．
【解答】解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，a≤x2恒成立，
∵x∈[1，2]，
∴a≤1 ①；
若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，
△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，
即a≥1或a≤﹣2 ②，
对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，
综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．
20．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】分类讨论，利用条件，建立方程组，即可求椭圆方程和双曲线方程．
【解答】解：设焦点在x轴上的椭圆方程为，双曲线方程为，
由已知得，∴，a=7，m=3，
∴椭圆方程为，
若焦点在y轴上，同样可得方程为，．
21．已知函数f（x）=（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．（1）若命题p：log2[g（x）]≥1是假命题．求x的取值范围；
（2）若命题q：x∈（﹣∞，3）．命题r：x满足f（x）＜0或g（x）＜0为真命题．￢r是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）命题p：由log2[g（x）]≥1，可得g（x）≥2，即2x﹣2≥2，解得x范围．由于log2[g（x）]≥1是假命题，即可得出x的取值范围．
（2）对于命题r：由f（x）＜0解得2m＜x＜﹣m﹣3；由g（x）＜0解得x＜1．￢r是￢q的必要不充分条件，可得r是q的充分不必要条件．即可得出．
【解答】解：（1）命题p：由log2[g（x）]≥1，可得g（x）≥2，即2x﹣2≥2，即2x≥22，解得x≥2．
∵log2[g（x）]≥1是假命题，∴x＜2．
∴x的取值范围是x＜2．
（2）对于命题r：由f（x）＜0解得2m＜x＜﹣m﹣3；
由g（x）＜0解得x＜1．
￢r是￢q的必要不充分条件，∴r是q的充分不必要条件．
∴，m＜﹣1，解得﹣6＜m＜﹣1．
∴m的取值范围是﹣6＜m＜﹣1．
22．已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：（a＞0，b＞0）有公共焦点
F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=相切，圆N：（x﹣2）2
+y2=1．过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由已知条件推导出双曲线C2的焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0），且|AF2|=5，|AF1|=7，点A在双曲线C2上，由此能求出双曲线C2的方程．
（2）为定值．由已知条件求出设圆M的方程为M：（x+2）2+y2=3，设l1的方
程为kx﹣y+﹣k=0，设l2的方程为x+ky﹣k﹣1=0，由此利用点到直线的距离
公式和弦长公式能求出证明为定值．
【解答】解：（1）∵抛物线的焦点为F2（2，0），
∴双曲线C2的焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0），…
设A（x0，y0）在抛物线上，且|AF2|=5，
由抛物线的定义得，x0+2=5，
∴x0=3，∴，∴，…
∴|AF1|==7，…
又∵点A在双曲线C2上，由双曲线定义得：
2a=|7﹣5|=2，∴a=1，∴双曲线C2的方程为：．…
（2）为定值．下面给出说明．
设圆M的方程为：（x+1）2+y2=r2，
∵圆M与直线y=x相切，
∴圆M的半径为r=，
∴圆M：（x+2）2+y2=3．…
当直线j1的斜率不存在时不符合题意，…
设l1的方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y+﹣k=0，
设l2的方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+ky﹣k﹣1=0，
∴点F1到直线l1的距离为，
点F2到直线l2的距离为，…
∴直线l1被圆M截得的弦长：
S=2=2，…
直线l2被圆N截得的弦长t=2=2，…
∴=
==
，
∴为定值．…
2018年2月21日。