八年级上学期第二次月考数学试卷 (解析版)

八年级上学期第二次月考数学试卷 （解析版） 一、选择题 1．4的平方根是（ ）
A ．2
B ．2±
C ．2
D ．2±
2．如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数为（ ）
A ．12+
B ．21-
C ．2
D ．32
3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是边BC 上的中线，若5AB =，6BC =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．7
C ．4
D ．11
4．如图，在放假期间，某学校对其校内的教学楼（图中的点A ），图书馆（图中的点B ）和宿含楼（图中的点C ）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A ，点B 和点C 的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）
A ．AC 、BC 两边高线的交点处
B ．在A
C 、BC 两边中线的交点处
C ．在A ∠、B 两内角平分线的交点处
D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处
5．下列四个图形中轴对称图形的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如果0a b -<，且0ab <，那么点(),a b 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 7．4 的算术平方根是( )
A ．16
B ．2
C ．-2
D ．2± 8．在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为（ ）
A ．(2,0)
B ．(-2,0)
C ．(6,0)
D ．(-6,0)
9．已知：如图，点P 在线段AB 外，且PA=PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A ．作∠AP
B 的平分线P
C 交AB 于点C
B ．过点P 作P
C ⊥AB 于点C 且AC=BC
C ．取AB 中点C ，连接PC
D ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C
10．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点D ，△ABD 的周长为16cm ，AC 为5cm ，则△ABC 的周长为( )
A ．24cm
B ．21cm
C ．20cm
D ．无法确定
二、填空题
11．地球的半径约为6371km ，用科学记数法表示约为_____km ．（精确到100km ）
12．若关于x 的分式方程122x x a x x
--=--有增根，则a 的值_____________. 13．如图，在平面直角坐标系中，点P (﹣1，a )在直线y ＝2x +2与直线y ＝2x +4之间，则a 的取值范围是_____．
14．2x -x 可以取的最小整数为______．
15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是___．
16．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
17．若函数y=kx +3的图象经过点（3，6），则k=_____．
18．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是_____．
19．计算：16=_______．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,4、()3,4，若直线y kx =与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为__________．
三、解答题
21．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）（1）如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E .由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠.又
90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌.进而得到AC = ，
BC = .我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）（2）①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G .求证：点G 是DE 的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点.若AOB ∆是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标.
22．已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （—1，—5），且与正比例函数
的图象相
交于点B （2，a ）．
（1）求a 的值；
（2）求一次函数y=kx+b 的表达式；
（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象，并求这两条直线与y 轴围成的三角形的面积．
23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,6)A -，(1,2)B -，(5,4)C -
（1）作出三角形ABC 关于y 轴对称的三角形111A B C
（2）点1A 的坐标为 .
（3）①利用网络画出线段AB 的垂直平分线L ；②P 为直线上L 上一动点，则PA PC +的最小值为 .
24．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，∠A=∠D ，∠B=∠DEF ，BE=CF ．
求证：AC=DF ．
25．已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角形．（要求：写作法，用尺规作图，保留作图痕迹）．
四、压轴题
26．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．
（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；
（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．
27．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF
28．如图，在平面直角坐标系中，直线
3
3
4
y x
=-+分别交,x y轴于A B
，两点，C为线段AB的中点，(,0)
D t
是线段OA上一动点（不与A点重合），射线//
BF x轴，延长DC 交BF于点E．
（1）求证：AD BE
=；
（2）连接BD，记BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在t的值，使得BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
29．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）
30．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．
（1）求证：∠ACN=∠AMC；
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：1
2
S AC
S AB
=；
（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方根的定义直接作答.
【详解】
±
解：4的平方根是2
故选：D
【点睛】
本题考查平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是本题的解题关键. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】
22
+2，
11
∴点A2.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．3．C
解析：C
【解析】
首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC
1
2
=CB，AD⊥BC，再利
用勾股定理求出AD的长．
【详解】
∵AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴DB=DC
1
2
=CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD==4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质判断即可.
【详解】
作AC，BC两边的垂直平分线，它们的交点为P，由线段垂直平分线的性质，
P A=PB=PC，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质要点是解决本题的关键.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：根据轴对称图形的定义可知：第1，2，3个图形为轴对称图形，第4个图形不是轴对称图形，轴对称图共3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
6．B
【解析】
【分析】
根据0a b -<，且0ab <可确定出a 、b 的正负情况，再判断出点(),a b 的横坐标与纵坐标的正负性，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】
解：∵0a b -<，且0ab <，
∴a 0,0b <>
∴点(),a b 在第二象限
故选：B
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义直接求解即可.
【详解】
解：42=，
故选B.
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出平移后的解析式，继而令y=0，可得关于x 的方程，解方程即可求得答案.
【详解】
根据函数图象平移规律，可知3y x =向上平移6个单位后得函数解析式应为36y x =+， 此时与x 轴相交，则0y =，
∴360x +=，即2x =-，
∴点坐标为(-2，0)，
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解题的关键.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
由垂直平分线可得AD＝DC，进而将求△ABC的周长转换成△ABD的周长再加上AC的长度即可.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长=AB+BD+AD=16，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=16+5=21．
故选：B．
【点睛】
考查线段的垂直平分线的性质，解题关键是由垂直平分线得AD＝DC，进而将求△ABC的周长转换成△ABD的周长再加上AC的长度．
二、填空题
11．4×103．
【解析】
【分析】
先把原数写成科学记数法，再根据精确度四舍五入取近似数，即可．
【详解】
6371 km =6.371×103 km≈6.4×103 km（精确到100km）．
故答
解析：4×103．
【解析】
【分析】
先把原数写成科学记数法，再根据精确度四舍五入取近似数，即可．
【详解】
6371 km =6.371×103 km ≈6.4×103 km （精确到100km ）．
故答案为：6.4×103
【点睛】
本题主要考查科学记数法和近似数，掌握科学记数法的定义和近似数精确度的意义是解题的关键．
12．4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】
方程变形得：，
去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-
解析：4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】 方程变形得：
+122
x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-2， ∵方程
122x x a x x
--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点睛】 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．【解析】
计算出当P 在直线上时a 的值，再计算出当P 在直线上时a 的值，即可得答案．
【详解】
解：当P 在直线上时，，
当P 在直线上时，，
则．
故答案为
【点睛】
此题主要考查了一次函数与
解析：0a 2<<
【解析】
【分析】
计算出当P 在直线y 2x 2=+上时a 的值，再计算出当P 在直线y 2x 4=+上时a 的值，即可得答案．
【详解】
解：当P 在直线y 2x 2=+上时，()a 212220=⨯-+=-+=，
当P 在直线y 2x 4=+上时，()a 214242=⨯-+=-+=，
则0a 2<<．
故答案为0a 2<<
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
14．2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x 可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据
解析：2
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于列式求解即可，比较简单．15．10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D 的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面
解析：10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10．
16．5或
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的
解析：57
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4=
②长为3、45；
∴
或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
17．1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
∴，解得：k=1.
故答案为：1.
解析：1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
k+=，解得：k=1.
∴336
故答案为：1.
18．15
【解析】
【分析】
试题分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分
解析：15
【解析】
【分析】
试题分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是:1
2×DE×BC=
1
2
×10×3=15，
故答案为15．
考点：角平分线的性质．
19．4
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】
解：原式==4．
故答案为4．
【点睛】
此题主
解析：4
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】
解：原式24．
故答案为4．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
20．【解析】
【分析】
由直线与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵点A 、B 解析：443
k ≤≤ 【解析】
【分析】
由直线y kx =与线段AB 有公共点，可得出点B 在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵点A 、B 的坐标分别为()1,4、()3,4，
∴令y=4时， 解得：4x k
= ， ∵直线y=kx 与线段AB 有公共点，
∴1≤4k
≤3， 解得：443
k ≤≤． 故答案为：
443k ≤≤． 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k 的一元一次不等式是解题的关键．
三、解答题
21．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②()3,1，()1,3-
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①作DM ⊥AH 于M ，EN ⊥AH 于N ，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM ，同理AH=EN ，求得EN=DM ，由全等三角形的性质得到DG=EG ，于是得到点G 是DE 的中点；
②过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM ，根据全等三角形的性质得到AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，从而得到结论．
【详解】
解：（1）AC=DE ，BC=AE ；
故答案为：DE ，AE
（2）①如图，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，
∵BC AF ⊥，
∴90BFA AMD ∠=∠=︒，
∵90BAD ∠=︒，
∴12190B ∠+∠=∠+∠=︒，
∴1B ∠=∠，
在ABF ∆与DAM ∆中，BFA AMD ∠=∠，2B ∠=∠，AB DA =，
∴ABF DAM ∆∆≌（AAS ），
∴AF DM =，
同理AF EN =，
∴EN DM =，
∵DM AF ⊥，EN AF ⊥，
∴90GMD GNE ∠=∠=︒，
在DMG ∆与ENG ∆中，DMG ENG ∠=∠，MGD NGE ∠=∠，DM EN =， ∴DMG ENG ∆=（AAS ），
∴DG EG =，
∴点G 是DE 的中点；
②如图，过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，
∴∠M=90°，
∵∠OBA=90°，
∴∠ABM+∠OBN=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠OBN=∠BAM，
在△OBN与△BAM中，
M ONB
OBN BAM
OB AB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△OBN≌△BAM（AAS），
∴AM=BN，ON=BM，
设AM=x，则BN=AM=x，
∴ON= x+2，
∴MB+NB=x+x+2=MN=4，
∴x=1，x+2=3，
∴点B的坐标（3,1）；
如图
同理可得，点B的坐标（-1,3），
综上所述，点B的坐标为()
3,1，()
1,3
-
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（1）a=1 （2）y=2x-3 （3）3
【解析】
【分析】
（1）将点（2，a）代入正比例函数解析式求出a的值；
（2）将（－1，－5）和（2，1）代入一次函数解析式求出k和b的值，从而得出函数解析式；
（3）根据描点法画出函数图象．
【详解】
解：（1）∵正比例函数y=
1
2
x的图象过点（2，a）
∴ a=1
（2）∵一次函数y=kx+b的图象经过两点（－1，－5）（2，1）
∴
5
21
k b
k b
-+=-
⎧
⎨
+=
⎩
解得
2
3 k
b
=⎧
⎨
=-⎩
∴y=2x－3
（3）函数图像如图
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式；描点法画函数图象
23．（1）见解析（2）点1A的坐标为(3,6)；（3）①见解析②20.
【解析】
【分析】
（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置A1、B1、C1，再连接即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据平面直角坐标系写出点1A的坐标；
（3）①根据垂直平分线的定义画图即可；
②根据轴对称的性质以及两点之间线段最短得PA PC
+的最小值为BC的长，再由勾股定理求解即可.
【详解】
（1）如图所示：
（2）点1A的坐标为(3,6)；
（3）①如图所示：
②PA PC +的最小值为BC 的长，即BC=2224+=
20.
【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及三角形的面积，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，画一个图形的轴对称图形时，就是确定一些特殊的对称点．
24．证明见解析
【解析】
试题分析：要证明AC ＝DF 成立，只需要利用AAS 证明△ABC ≌△DEF 即可．
试题解析：证明：∵BF ＝EC （已知），
∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，
即BC ＝EF ，
在△ABC 和△DEF 中， ，
∴△ABC ≌△DEF （AAS ），
∴AC ＝DF
考点：全等三角形的判定与性质．
25．详见解析.
【解析】
【分析】
根据题目要求画出线段a 、h ，再画△ABC ，使AB=a ，△ABC 的高为h ；首先画一条直线，再画垂线，然后截取高，再画腰即可．
【详解】
解：作图：
①画射线AE ，在射线上截取AB=a ，
②作AB 的垂直平分线，垂足为O ，再截取CO=h ，
③再连接AC 、CB ，△ABC 即为所求．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
四、压轴题
26．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;
（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出
∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．
【详解】
解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,
∵A（﹣2,2）、B（4,4）,
∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,
∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝1
2
×（2+4）×6﹣
1
2
×2×2﹣
1
2
×4×4＝8;
（2）作CH // x轴,如图2,
∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,
∴DM // x轴,
∴CH // OG // DM,
∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,
∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,
∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,
∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;
（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,
而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,
∴∠NEC＝∠HEC,
∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,
∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,
∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
27．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；
（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出
∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°
在△ACD与△CBE中，
AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴CD=BE，即CD和BE始终相等；
（2）证明：根据题意得：CE=AD，
∵AB=AC，
∴AE=BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠EAB=∠DBC，
在△BCD和△ABE中，
BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE
∴△BCD≌△ABE（SAS），
∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：
如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD=DG=CE，
在△DGF和△ECF中，
∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC
∴△DGF≌△EDF（AAS），
∴DF=EF.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
28．（1）详见解析；（2）
3
6(04)
2
BDE
t t
S-+≤<
=；（3）存在，当
7
8
t=或
4
3
时，使
得BDE是以BD为腰的等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）先判断出EBC DAC
∠=∠，CEB CDA
∠=∠，再判断出BC AC
=，进而判断出
△BCE≌△ACD，即可得出结论；
（2）先确定出点A，B坐标，再表示出AD，即可得出结论；
（3）分两种情况：当BD BE
=时，利用勾股定理建立方程222
3(4)
t t
+=-，即可得出结论；当BD DE
=时，先判断出Rt△OBD≌Rt△MED，得出DM OD t
==，再用
OM BE
=建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：射线//
BF x轴，
EBC DAC
∴∠=∠，CEB CDA
∠=∠，
又C为线段AB的中点，
BC AC
∴=，
在△BCE和△ACD中，
CEB CDA
EBC DAC
BC AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
BE AD
∴=；
（2）解：在直线
3
3
4
y x
=-+中，
令0x =，则3y =，
令0y =，则4x =，
A ∴点坐标为(4,0)，
B 点坐标为(0,3)，
D 点坐标为(,0)t ，
4AD t BE ∴=-=，
113(4)36(04)222
BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<；
（3）当BD BE =时，
在Rt OBD ∆中，90BOD ∠=︒，
由勾股定理得：222OB OD DB +=，
即2223(4)t t +=-
解得：78
t =； 当BD DE =时，
过点E 作EM x ⊥轴于M ， 90BOD EMD ∴∠=∠=︒，
//BF OA ，
OB ME ∴=
在Rt △OBD 和Rt △MED 中，
==BD DE OB ME ⎧⎨⎩
， ∴Rt △OBD ≌Rt △MED （HL ），
OD DM t ∴==，
由OM BE =得：24t t =- 解得：43t =
， 综上所述，当78t =或43
时，使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
29．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；
（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝
3
2
AD，由AD＝AE，
AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）CD2AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴DE2AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD2AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，
∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝1
2 AD，
∴DH22
AD AH
3
，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，
故答案为：CD3+BD．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；
（2）过点N作NE⊥AC于E，由“AAS”可证△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N作NE⊥AC于E，由“SAS”可证△NEA≌△CDP，可得AN=CP．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC；
（2）过点N作NE⊥AC于E，
∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN，
∴△NEC≌△CDM（AAS），
∴NE=CD，CE=DM；
∵S11
2
=AC•NE，S2
1
2
=AB•CD，
∴1
2
S AC
S AB
=；
（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，
理由如下：过点N作NE⊥AC于E，
由（2）可得NE=CD，CE=DM．
∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，
∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，
∴AE=BD+BP=DP．
∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，
∴△NEA≌△CDP（SAS），
∴AN=PC．
【点睛】
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。