高中数学基础强化天天练必修1第15练 函数性质的综合运用

第15练 函数性质的综合应用
目标：熟练掌握判断函数奇偶性的方法；熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质；能利用函数的奇偶性和单调性解决一些简单问题．
一、填空题
1．.函数f (x )=－1x
+1的单调增区间为 ． 【答案】（－∞，0），（0，+∞）
【解析】 函数的两个单调增区间不能取并集．
2.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋1在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围__________.
【答案】a ≤－3
【解析】 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.
3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时， ()23f x x =-，则()2f -的值为__________．
【答案】-1
【解析】因为()f x 为奇函数，故()()221f f -=-=-，故填1-.
4. 已知函数
2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，实数m 的值为 ．
【答案】1
【解析】∵
2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，∴()()f x f x -=恒成立， 即
2(2)()(1)()3m x m x --+--+=2(2)(1)3m x m x -+-+恒成立， ∴2(1)0m x -=恒成立，∴10m -=，即1m =．
5.已知偶函数ƒ(x)在[0,π]上单调递增，且a=ƒ(-π),b=ƒ(2π-
),c=ƒ(-2),则a,b,c 的大小为 ．
【答案】a>c>b
6. 判断函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0320
203222x x x x x x x x f 的奇偶性为 ．（用“奇函数”，“偶
函数”，“非奇非偶函数”填空）
【答案】非奇非偶函数
【解析】利用图像法可以判定该函数为非奇非偶函数．
7．设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．
①y =－| f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y = f （x ）－f （－x ）．
中必为奇函数的有____ ____．（要求填写正确答案的序号）．
【答案】②④
【解析】根据奇函数的定义可知②④必为奇函数.
8.定义在[－2，2]上的奇函数f (x )为减函数，若f (1－2a )＋f (a ＋1)＜0，则实数a 的取值范围是______________．
【答案】[－12
，1] 【解析】－2≤2a －1＜a ＋1≤2⇒a ∈[－12
，1]．
9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足不等式()()213f x f -<的x 的取值范围是__________．
【答案】
()1,2- 【解析】()f x 为偶函数，且在[)0,+∞单增，则在(),0-∞上单减， ()()213f x f -<， ∴3213x -<-<，即12x -<<，故答案为
()1,2-. 10. 定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且()f x 在()0,+∞是增函数, ()30,f =则不等式()0f x >的解集为__.
【答案】
()()3,03,-⋃+∞ 【解析】()f x 在R 上是奇函数，且()f x 在()0+∞，
是增函数 ()f x ∴在()0-∞，
上也是增函数 ()30f =
()0f x ∴>等价于()()0{
3x f x f >>，或()()0{ 3x f x f <>- 0
{ 3x x >∴>或0{
3x x <>- 3x ∴>或30x -<<
则不等式()0f x >的解集为()()303-⋃+∞，，
二、解答题
11. 定义在实数集上的函数f (x )，对任意x y R ，∈，有f x y f x y f x f y ()()()()++-=2且
f ()00≠．求证：
（1）f ()01=；（2）y f x =()是偶函数． 解（1）令x y ==0，则有20202f
f ()[()]=， f f ()()0001≠∴=，
（2）令x =0，则有f y f y f f y f y ()()()()()+-=⋅=202，
∴-=f y f y ()()这说明f x ()是偶函数．
10.已知函数()2x a f x b x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）用定义证明：
()f x 在()1,1-上是增函数； （2）若实数m 满足
()()1120f m f m -+-<，求m 的取值范围． 解:函数()2x a f x b x
+=+是定义在()1,1-上的奇函数， ∴()00f =， 0a b
=， 0a =， 又∵1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴1b =， ∴()21x f x x =
+． （1）证明：设1x ， 2x 是()1,1-上任意两个实数，且1211x x -<<<，
∴()()()()()()
211221212222212111111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1x ，
()21,1x ∈-，且210x x ->， 1210x x ->， ∴()()()()211222
211011x x x x x x -->++，
∴()()21f x f x >，∴()f x 在()1,1-上单调递增．
（2）解：∵()21x f x x =
+是()1,1-上的奇函数且单调递增，
又∵()()1120f m f m -+-<，∴()()121f m f m -<-，
∴111,
{1211, 121,
m m m m -<-<-<-<-<-综上得01m <<．。