教育部课题椭圆及其标准方程第二节

还有其他运动方式轨迹可以产生椭圆吗？这实验有没有时代 生产水平即科技的限制？它在古达、近代、现代、当代都可以实 验吗？
答：《2.1.1椭圆及其标准方程》练习4。《2.1.2椭圆的简单几 何性质》P41例6。P42习题2.1A组7，B组1、2、3。
B组1的意思就是把圆按照某个方向均匀压缩或拉长就可以得到 椭圆。
把x0 x, y0 2y代入方程，得x2 4y2 4,
即 x2 y2 1.所以点M的轨迹是一个椭圆。
注：古代可以实验 但在近代才有代数
4
判断方法，几何判
断方法很难。
例2 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨 迹方程。
5、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2. 6、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
古希腊人已经知道这定义，当时当性质，但比较肤浅不深刻。 1579年蒙蒂强调此
椭圆的标准方程 y
M
F1
O
F2
x
y
F2
O F1
M
x
焦点F1(c,0), F2(c,0)
x2 a2

y2 b2
解：设点M的坐标为(x, y),因为点A的坐标是(5, 0),
所以，直线AM 的斜率k AM

y (x 5) x5
同理，直线BM的斜率kBM

y (x 5). x5
由已知有 y y 4 (x 5) x5 x5 9
“杂点” 可不要 忘了哟
化简，得点M的轨迹方程为 x2 y2 1(x 5) 25 100 9
1(a
b
0)
这里c2 a2 b2
焦点F1(0,c), F2(0,c) y2 x2 1(a b 0) a2 b2
这里c2 a2 b2
继续发现椭圆，上节课我们知道只要做那个实验，那轨迹是椭 圆，还会有其他的运动方式产生的轨迹是椭圆吗？这些运动方式会 受到年代生产力即科技水平的限制吗？也就是在古代、近代、现代、 当代都可以实验吗？
方程。古代还好判断， 近代很难判断。
圆C2：x2 y2 4x 60 0 ，动圆M和定圆C1外切和圆C2内
切，求动圆圆心M的轨迹方程。
分析：|MC1|=2+R |MC1|+|MC2|=10
|MC2|=8 -R
古代可以实 验且古代的 几何法也比 较好判断。
x2
答案：

y2
1
25 21
教育部重点课题新教育子课题 《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》
温州市瓯海区三溪中学 张明
椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距
离叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：
1 、必须在同一平面内;
F1
F2
2、F1、F2是两个不同的定点； 若|F1F2| =0 则M点的轨迹是一个圆 3、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 4、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
《 2.1.2椭圆的简单几何性质》P41例6的运动方式古希腊人 已经知道一点点，在公元前262到公元前192阿波罗尼著的《圆锥 曲线》里。里面对圆锥曲线进行了系统的研究。这是椭圆的第二定 义，第二定义古希腊人已经知道一点点，古希腊人知道圆锥曲线有 个焦点和准线，在阿波罗尼的《圆锥曲线》里，但比较肤浅。离心 率是17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变 到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的 阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率 ，给圆锥曲线的第二定 义铺平道路,第二定义也称统一定义。
例1 在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点
M的轨迹是什么？为什么？
y
P
解：设点M的坐标为(x, y),
M
点P的坐标为(x0 , y0 ),
oD
x
由D的坐标为(x0 , 0),则x
Байду номын сангаас

x0 , y

y0 2
.
因为点P(x0 , y0 )在圆x2 y2 4上，所以x02 y02 4
只有在近代 即笛卡尔时 代才可以实 验。
应用：
1）已知x轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆 x2 y2 1 上
的动点，求AQ中点M轨迹方程。
4
答案：2x 12 4 y2 1
4
古代可以实验，但用近 代语言表达。从此题看 出为什么那形式称标准
2）已知定圆C1： x2 y2 4x 0，