2014-2015年内蒙古赤峰市箭桥中学高二上学期期末数学试卷与解析

2014-2015学年内蒙古赤峰市箭桥中学高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）下列命题是真命题的为（）
A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1
C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y2
2．（5分）与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）
C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
3．（5分）设命题p：方程x2+3x﹣1=0的两根符号不同；命题q：方程x2+3x﹣1=0的两根之和为3，判断命题“¬p”、“¬q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3
4．（5分）样本a1，a2，…，a10的平均数为，样本b1，L，b10的平均数为，则样本a1，b1，a2，b2，…，a10，b10的平均数为（）
A．B．（+）C．2（）D．（）
5．（5分）椭圆的焦距为2，则m的值等于（）
A．5或3B．8C．5D．或
6．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）
A．B．
C．D．
7．（5分）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．0
8．（5分）已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3=0，则该双曲线的离心率为（）
A．5或B．或C．或D．5或
9．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（）
A．a≤1B．a≤3C．a≥1D．a≥3
10．（5分）小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到2点内到达，且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（）
A．B．C．D．
11．（5分）如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B 是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等
边三角形，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P 的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是．
14．（4分）若双曲线x2﹣4y2=4的焦点是F1，F2过F1的直线交左支于A、B，若|AB|=5，则△AF2B的周长是．
15．（4分）若，，则以为邻边的平行四边形
面积为．
16．（4分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为
．
其中真命题的序号为．
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．（12分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p，q只有一个为真，
求实数m的取值范围．
18．（12分）（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y=﹣x，焦距为2，求此双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程．19．（2分）对某种电子元件的使用寿命进行调查，抽样200个检验结果如表：
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的频率；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的频率．
20．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
21．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，A′A⊥平面ABCD．
（1）求证：A′C∥平面BDE；
（2）求证：平面A′AC⊥平面BDE
（3）求平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的正切值．
22．已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N，与y轴交于R点．若，，证明：λ+μ 为定值．
2014-2015学年内蒙古赤峰市箭桥中学高二（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）下列命题是真命题的为（）
A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1
C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y2
【解答】解：A、由得=0，则x=y，为真命题；
B、由x2=1得x=±1，x不一定为1，为假命题；
C、若x=y，不一定有意义，为假命题；
D、若x＜y＜0，x2＞y2，为假命题；
故选：A．
2．（5分）与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）
C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
【解答】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
3．（5分）设命题p：方程x2+3x﹣1=0的两根符号不同；命题q：方程x2+3x﹣1=0的两根之和为3，判断命题“¬p”、“¬q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3
【解答】解：命题P为真，命题q为假，故“¬p”为假、“¬q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C．
4．（5分）样本a1，a2，…，a10的平均数为，样本b1，L，b10的平均数为，则样本a1，b1，a2，b2，…，a10，b10的平均数为（）
A．B．（+）C．2（）D．（）【解答】解：因为样本a1，a2，…，a10的平均数为，
所以，即，
同理可得，，
所以样本a1，b1，a2，b2，…，a10，b10的平均数为：
=，
故选：B．
5．（5分）椭圆的焦距为2，则m的值等于（）
A．5或3B．8C．5D．或
【解答】解：由椭圆得：
2c=2得c=1．
依题意得4﹣m=1或m﹣4=1
解得m=3或m=5
∴m的值为3或5
故选：A．
6．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意
=++
=+﹣+
=﹣++﹣
=﹣++
又=，=，=
∴=﹣++
故选：B．
7．（5分）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．0
【解答】解：∵抛物线的标准方程为，
∴，准线方程为，
令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即
故选：B．
8．（5分）已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3=0，则该双曲线的离心率为（）
A．5或B．或C．或D．5或
【解答】解：对称轴为坐标轴的双曲线的标准方程可设为或（a，b＞0）．
可得渐近线方程为或．
∵有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3=0，
∴一条渐近线方程为x+2y=0．
∴．
∴该双曲线的离心率e===．
故选：B．
9．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（）
A．a≤1B．a≤3C．a≥1D．a≥3
【解答】解：∵不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，
设不等式的解集为A，则（0，4）⊊A
当a≤0时，A=∅，不满足要求；
当a＞0时，A=（1﹣a，1+a）
若（0，4）⊊A
则
解得a≥3
故选：D．
10．（5分）小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到2点内到达，且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜60}
集合对应的面积是长为60的线段，
而满足条件的事件对应的集合是A={x|30＜x＜50}
得到其长度为20
∴两人能够会面的概率是=，
故选：D．
11．（5分）如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B
是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等
边三角形，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，
把A代入椭圆，得，
∴（a2﹣c2）c2+3a2c2=4a2（a2﹣c2），
整理，得e4﹣8e2+4=0，
∴，
∵0＜e＜1，∴．
故选：D．
12．（5分）已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P 的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定
【解答】解：∵10=|3x+4y+2|，即
，
其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，
由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
14．（4分）若双曲线x2﹣4y2=4的焦点是F1，F2过F1的直线交左支于A、B，若|AB|=5，则△AF2B的周长是18．
【解答】解：根据题意，
|AF2|﹣|AF1|=2a=4 ①
|BF2﹣|BF1|=2a=4 ②
而|AB|=5
①+②
得：|AF2|+|BF2|=13
∴周长为18
故答案为：18
15．（4分）若，，则以为邻边的平行四边形
面积为6．
【解答】解：设向量的夹角为θ
∵，，
∴cosθ===﹣
由同角三角函数的关系，得sinθ==
∴以为邻边的平行四边形面积为S=•sinθ=××=6
故答案为：6
16．（4分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程2x 2﹣5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点A （5，0）及定直线
的距离之比为
的点的轨迹方程为
．
其中真命题的序号为 ②③④ ．
【解答】解：根据椭圆的定义，当k ＞|AB |时是椭圆，∴①不正确； 双曲线
与椭圆
有相同的焦点，焦点在x 轴上，焦点坐标为（±
，0），∴②正确；
方程2x 2﹣5x +2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确；
④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，直线为双曲线的准线，
且a=4，b=3，c=5，则双曲线的方程，∴④正确；
故②③④正确． 故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（12分）已知命题p ：方程
表示焦点在y 轴上的椭圆，
命题q ：双曲线的离心率e ∈（1，2），若p ，q 只有一个为真，
求实数m 的取值范围．
【解答】解：若命题p ：方程表示焦点在y 轴上的椭圆为真命题，
则﹣（m ﹣1）＞2m ＞0， 解得：m ∈（0，）， 若命题q ：双曲线
的离心率e ∈（1，2）为真命题，
则，
解得：m∈（0，15），
若p，q只有一个为真，则p真q假，或p假q真，
当p真q假时，不存在满足条件的m值，
当p假q真时，m∈[，15）
则m∈[，15）
18．（12分）（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y=﹣x，焦距为2，求此双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程．
【解答】解：（1）根据题意，由于双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为；
分两种情况讨论：
①当λ＞0时，其方程为：﹣=1，焦点在x轴上，
则有4λ+9λ=13，解可得λ=1，
则双曲线方程为﹣=1，
②当λ＜0时，方程为﹣=1，
则有（﹣9λ）+（﹣4λ）=1，解可得λ=﹣1，
则双曲线方程为﹣=1，
综上所述，双曲线方程为﹣=1或﹣=1；
（2）已知双曲线﹣=1，
所以该双曲线的焦点坐标为（0，5）和（0，﹣5），顶点为（0，4）和（0，﹣4）．
所以椭圆的焦点坐标是（0，4）和（0，﹣4），顶点为（0，5）和（0，﹣5）所以该椭圆的标准方程为+=1．
19．（2分）对某种电子元件的使用寿命进行调查，抽样200个检验结果如表：
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的频率；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的频率．
【解答】解：（1）
（2）
（3）P（100h，400h）=0.10+0.15+0.40=0.65（15分），
∴估计电子元件寿命在100h～400h以内的频率为0.65．
（4）P（400h，600h）=0.2+0.15=0.35
20．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个
（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123：P（E）==0.05
（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，
P（F）==0.45
（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，
P（G）=（4）=0.1，
假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1﹣10×5=40，每月可赚1200元
21．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，A′A⊥平面ABCD．
（1）求证：A′C∥平面BDE；
（2）求证：平面A′AC⊥平面BDE
（3）求平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的正切值．
【解答】解：（1）证明设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，
所以M为AC中点，
又∵E为A'A的中点
∴ME为△A'AC的中位线
∴ME∥A'C
又∵ME⊂平面BDE，A'C⊄平面BDE
∴A'C∥平面BDE．（4分）
（2）∵ABCD为正方形
∴BD⊥AC
∵AA'⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA'⊥BD
∴BD⊥平面A'AC，而BD⊂平面BDE
∴平面A′AC⊥平面BDE
（3）平面BDE与平面ABCD交线为BD
由（2）已证BD⊥平面A'AC．
∴BD⊥AM，BD⊥EM
∴锐角∠AME为平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的平面角
∵AA'⊥平面ABCD∴AA'⊥AM
在边长为a的正方形中AM=AC=a
而AE=AA'=
∴tan∠AME==为所求．
22．已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，
P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N，与y轴交于R点．若，，证明：λ+μ 为定值．【解答】解：（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵P是线段AB的中点，∴…（2分）
∵A、B分别是直线和上的点，
∴和．
∴…（4分）
又，∴．…（5分）∴，∴动点P的轨迹C的方程为．…（8分）
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
设M（x 3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣9=0，…（10分）
∴，①．②…（12分）
∵，∴（x3，y3）﹣（0，y5）=λ[（1，0）﹣（x3，y3）]．
即，∴x3=λ（1﹣x3）．
∵l 与x 轴不垂直，∴x 3≠1， ∴
，同理
． …（14分）
∴λ+μ====﹣．
∴为定值． …（16分）
赠送—高中数学知识点
【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则
[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．
y
x
o
（2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函
数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，
都有()f x M ≤；
（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），
两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。