2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)指数及其运算(解析版)

第14讲指数及其运算
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测
1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂
的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.
知识点1根式
1、n 次方根的定义与性质
（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N ．（2）性质：
①当n 是奇数时，0,0
0,0
>>⎧⎨
<<⎩a x a x ，x
；
②当n 是偶数，0>a 时，x
的有两个值，且互为相反数，记为；0<a 时，x 不存在；③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是0
0(,1)n N n +=∈>．2、根式的定义与性质
（1
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：（1n >，且n *∈N
）
n =a
；,,,.
⎧⎪=⎨
⎪⎩为奇数为偶数n a n a n 知识点2指数幂
1、分数指数幂
（1）正分数指数幂：规定：m
n a
=()
0,,,1
a m n n *
>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1m
n m n
a
a
-=
=
()
0,,,1a m n n *
>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：
①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂m
n
a 不可理解为
m
n
个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
化成分数指数幂的形式时，不要轻易对
m
n
进行约分．③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如()
23
5-=
(
)34
5-=
就没有意义．
2、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()
=s
r
a rs a (0,,)a r s >∈R ．
③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
知识点3指数幂运算解题方法与技巧
1、指数幂的运算中常用的乘法公式
（1）完全平方公式：2
2
2
()2a b a ab b -=-+；2
2
2
()2a b a ab b +=++；（2）平方差公式：2
2
()()a b a b a b -=-+；（3）立方差公式：3
3
2
2
()()a b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3
3
2
2
()()a b a b a ab b +=+-+；
（5）完全立方公式：3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b -=-+-；3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b +=+++．2、条件求值问题的解题思路
（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；
（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．
考点一：根式的概念及辨析
例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）
A
B C D 【答案】D
【解析】A.R a ∈有意义；
B.
R a ∈有意义；C.R a ∈有意义；
D.
a<0无意义；故选：D
【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）R a ∈，下列各式一定有意义的是（
）
A ．2
a -B ．1
4
a C ．2
3
a D ．0
a
【答案】C
【解析】对于A ，当0a =时，2a -无意义，A 不是；
对于B ，当a<0时，1
4a 无意义，B 不是；对于C ，2
3a =C 是；对于D ，当0a =时，0a 无意义，D 不是.故选：C
【变式1-2】（2023高一·江苏·a 的取值范围是（
）
A ．0a ≥
B ．1a ≥
C ．2a ≥
D ．R
a ∈【答案】B
有意义，得10
2R a a -≥⎧⎨-∈⎩
，解得1a ≥，
所以a 的取值范围是1a ≥.故选：B
【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若3
4(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为
【答案】1
(,)
2
-∞【解析】由34
(12)
x --120x ->，解得12
x <
，故答案为：1
(,2
-∞．
考点二：利用根式的性质化简求值
例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（）
A 3=-B
x
=C 2
=D ．01
a =【答案】C
【解析】A 3=，故A 错误；
B x =，故B 错误；C
2=，故C 正确；
D ：01a =，当0a ≠时成立，故D 错误；故选：C.
【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若0ab <，则化简）A ．-1B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】=a b a b ⎛=+ ⎝因为0ab <，所以,a b 异号，0a b a b +=，所以0a b a b a b a b a b
++==，
所以，0=.故选：B.
【变式2-2】（23-24高一上·全国·+【答案】6
-
6(446-+=-．
【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若4
12x
<-3的结
果可能为（
）
A ．210x -
B ．46
x -C ．24
x -+D ．410
x --【答案】AC 【解析】由题意知
412x <-，即4102x
-<-，即2
02x x +>-，故(2)(2)0,2x x x +->∴<-或2x >，
3|2|3
x =+-3523210,2
3523352324,2x x x x x x x x x x ----=->⎧=--+-=⎨-+++-=-+<-⎩
，故选：AC
考点三：根式与分数指数幂互化
例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于n
m a -(),m n *
∈N 的形式的运算正确的是（
）
A
．53
8
-
=
B
．53
8
-
=
C
．53
8
-=D ．()
32
8-
-【答案】A
【解析】由于53
53
8
18
-=
=
A 正确，
B ，
C 错误；
(
)
32
8-
-=
D 错误，故选：A
【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（
）
A ．4
6a
=B 5
=-C
．(36
=
D ．2
3a -=【答案】AC
【解析】对于
A ：4
2
63a a ==A
正确；
对于B 5=，故B 错误；
对于C
：(
2636===，故C 正确；
对于D
：23
23
1a
a
-=
=
D 错误.故选：AC
【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（
）
A ．)
13
0x
x -=≠B
()1
20a a =≥C
．213
20,0)
x y x y -
=>>D ．3
1
4
2(0)
x x ⎤=->【答案】BC
【解析】对选项
A ：)13
0x
x -
=
≠，错误；对选项B
()131
3
2
20a a a ⎛⎫
==≥ ⎪⎝⎭
，正确；
对选项C
22133
212
(0,0)y x y x y x
-
=
=>>，正确；
对选项D：
3
321
4
432(0)
x x x
⎛⎫
==>
⎪
⎝⎭
，错误；故选：BC
【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.
1
5
4
m⋅
【答案】(1)14b；(2)1
【解析】（1
=
1
11
2
24
b b
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
.
（2
）1
5
4
m⋅
1
11
115
3
24
236
51
64
1
m m m m m
m m
+-
⋅⋅
=
===
⋅
.
考点四：利用指数幂运算性质化简
例4.（23-24高一上·全国专题练习）下列等式一定成立的是（）
A．13
32
a a a
⋅=B．
11
220
⋅=
a a C．329
()a a=D．11
1
36
2
a a a
÷=【答案】D
【解析】对于A：11311
3
3326
2
a a a a
+
⋅==，故A错误；
对于B：11
2
1
222
1
⋅==
a a a a，故B错误；
对于C：326
()a a=，故C错误；
对于D：1111
1
3236
2
a a a a
÷==，故D正确；故选：D
【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中）102
x=，103
y=，则10x y+=．【答案】6
【解析】102
x=
Q，103
y=，101010236
x y x y
+
∴=⋅=⨯=，
故答案为：6．
【变式4-2】（23-24高一上·河南·
期中）若a b =，则()2
31
2222a b ab ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
.
【答案】1
【解析】由题意，0,0a b >>，所以()()2
31
222232
246a b ab a b a b -----⎡==⎤⎢⎥⎣⎦
，
又11
3
2
2,2a b -
-
==
=，
所以原式6
4
1
12232
22221----⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：1.
【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．
(1)121
12
13
32a b a b ---⎛⎫ ⎪；
(2)()
1
0.5
233
2770.02721259-
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．【答案】(1)1a
；(2)0.09
【解析】（1）原式21111111115323
2
21326
236
156
6
1a
b a b
a
b
a a
a b
⎛⎫⨯--
⎪⎝⎭
---+--⋅=
===
.（2
）原式2233
3
27355
0.0910001033
⨯
⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭.
考点五：解简单的指数方程
例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程1
1
416
x -=
的解为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1
D ．1
【答案】C 【解析】∵1
21
4
416
x --=
=，∴x ﹣1＝﹣2，∴x ＝﹣1．故选：C ．
【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于x 的方程112250x x +--+=的解的个数为（
）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】解：原方程即2
22502
x
x ⨯-
+=，化简可得()
2
225220x x ⨯+⨯-=，
令2(0)x t t =>，可得22520t t +-=，该方程有且只有一个正根，
由于2x t =单调递增，所以t 与x 一一对应，即原方程只有一个解.故选：B .
【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x 的方程422x x -=的解为．
【答案】1
x =【解析】由422x x -=可得()2
2220x x --=，即()()
21220x x
+-=，
因为20x >，可得22x =，故1x =.
所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.
【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程(252
2x
x x -+
=的解为
．
【答案】5x =或12
x =
【解析】由题意可得(25992
222
22x
x
x x x -+
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，所以2
5922x x x -+
=，即221150x x -+=，解得5x =或12
x =，故答案为：5x =或1
2
x =
考点六：整体换元法解决条件求值
例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知1
2a a
+=，则1122a a -+等于（）
A ．2
B ．4
C ．2
±D ．4
±【答案】A
【解析】112
2
21
()2224a a a a
-
+=+
+=+=，所以11222a a -+=.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11
223a a -+=，则332
2112
2
a a a a
-
-
++的值为．
【答案】6
【解析】因为1122
3a a
-+=，所以2
11222
3a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，即129a a -++=，所以17a a -+=，
所以3333
112
2
22a a
a a -
-⎛⎫⎛
⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111222222a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥
=+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()
()1
112
2371181a a a a --⎛⎫=++=⨯- ⎝-=⎪⎭
，所以
332
21
12
2
18
63
a a a a
-
-
+=
=+．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知1122
3x x -+=，计算：
22111
2
2
7x x x x x x
---+-+++.
【答案】4
【解析】因为112
2
3x x
-+=，所以2
1
122
9x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，所以129x x -++=，
所以17x x -+=，所以()2
127x x -+=，即22249x x -++=，所以2
2
47x x -+=，所以
221
11
2
2
7477
473
x x x x x x
---+--=
=++++.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知11
223a a -+=，求下列各式的值：(1)1a a -+；(2)332
2
2232a a a a --+-+-．【答案】(1)7；(2)
13
【解析】（1）由题意1122
3a a
-+=，所以2
111222
2327a a a a --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭
.
（2）由题意1
1
223a a -+=，
所以()()1111
2
1223
32
222222
13
371331512744534
a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯--+-⎝⎭⋅⎝⎭==-==+--+++-
.一、单选题
1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知R a ∈，则下列各式一定有意义的是（）
A ．2a -
B ．1
3
a C ．1
2
a D ．0
a 【答案】B
【解析】对于A ，由2
2
1
a
a -=
可知，0a =时表达式无意义；对于B ，根据幂函数性质可知，R a ∈时，表达式1
3a 恒有意义；对于C
，易知1
2a =a<0时，表达式无意义；对于D ，当0a =时，0a 无意义；故选：B
2．（23-24高一上·陕西咸阳·
期末）化简3
2
的结果为（
）
A ．5B
C ．5
-D
．【答案】A
【解析】3
322
32232
33
2555⨯⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
=，故选：A
3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知0a >
=（）
A ．1
2a B ．3
2
a C ．2
a D ．3
a 【答案】A
1
2a ==，故选：A
4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改编）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（）
A
()
1
20a a =>B
．)
34
0x
x -
=>
C
．)
213
20,0x y x y -
=>>D ．
()3
21
4
0x x =>【答案】B
【解析】对于A
()131
3
2
20a a a ⎛⎫
==> ⎪⎝⎭
，故A 正确；
对于B
选项，)334
4
10x
x x -
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C
，)213
2
1210,
0x y x y x
-=>>，故C 正确；
对于D ，
)
()333
21
4
4
4
3
20x x x ⎛⎫
=
==> ⎪⎝⎭
，故D 正确．故选：B ．5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知14x x -+=，则22x x -+等于（）
A ．6
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】C
【解析】由14x x -+=可得：()2
122216x x x x --+=++=，则2214x x -+=.故选：C.6．（23-24高一上·四川德阳·
月考）0
10.2563
71.586-⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭（
）
A ．110
B ．109
C ．108
D ．100
【答案】A
【解析】原式()
1
11
3333
311
23
4
41
3144
2222223221083331210810
231-
⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯-=⨯+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.故选：A.二、多选题
7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（）A
B ．
C ．D
【答案】BCD 【解析】对于A
π44π=-=-
，不合题意；
对于B ，2=
，符合题意；对于C ，()22=--=，符合题意；对于
D 22=-=，符合题意.故选：BCD
8．（23-24高一上·浙江·月考）已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（
）
A π3
=-B 1=C ．
m n
a
-=
D ．12
113
3
3
32463b a
b a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭
【答案】ABD
【解析】A 选项：由π30->π3=-，A 选项正确；
B (
)
11111
12
361231260022222
1a b b a a
b a b ⎛⎫⎛⎫
-⨯-+⨯ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
⎡⎤====⎢⎥⎣
⎦
，B 选项正确；C 选项：m n
a
-=
C 选项错误；
D 选项：112121101333333
331
246663b a
b a a b a b b ⎛⎫⎛⎫-----
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷-=-=-=- ⎪⎝⎭
，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题
9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简()
222
a b ⋅=（其中0a >，0b >）．
【答案】4ab
【解析】()
((42222222a b ab a
b ⨯⋅=⋅=.
故答案为：4ab .
10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程2129240x x +-⋅+=的解集是．
【答案】{1,2}
-【解析】令2x t =，则0t >，
方程可化为22940t t -+=，解得1
2
t =
或4t =，所以，1
22
x
=
或24x =，解得=1x -或2x =.所以，方程的解集为{1,2}-.故答案为：{1,2}-.
11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知1
2102α-=，131032β=，则31
4210βα+=（填数值）
【答案】2【解析】()()
3113111
3113
14
2
5134223
42
2
42
10
10
10=322222βαβ
α
⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭.
故答案为：2
四、解答题
12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：
(1)()12
120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭
(2)20.5
2
3
1103522216274-
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⨯-⨯
÷ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
；
【答案】(1)5
2
；(2)0
【解析】（1）()12
0120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭
1
2
93511422⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.（2
）2
0.5
2
3
1103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯
÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭2
222
3
64493322220
273444-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯-÷=-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数a 满足1
1
221a a --=.(1)求1a a -+的值；(2)求
332
21122
a a a a
--
-+的值.
【答案】(1)3；
(2)
5
【解析】（1）将1
1
221a a --=两边平方得121a a -+-=，所以13a a -+=.
（2）因为a 是正实数，令11
22(0)a a x x -+=>，则2125x a a -=++=
，所以x =可得()331
112
2
2
214a a
a a a a ---⎛⎫-=-++= ⎪⎝⎭
，
所以
33221
12
2
a a a a
--
-=
=+。