2021年北京市中考数学选择题压轴题练习及答案 (26)

2021年北京市中考数学选择题压轴题练习
1．如图所示，直线与y轴相交于点D，点A1在直线上，点B1在X轴上，且△OA1B1是正三角形，记作第一个正三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线相交于点A2，点B2在X轴上，再以B1A2为边作正三角形A2B2B1，记作第二个正三角形；同样过B2作B2A3∥B1A2与直线相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作正三角形A3B3B2，记作第三个正三角形；…依此类推，则第n个正三角形
的顶点A n的纵坐标为（）
A．2n﹣1B．2n﹣2C．D．
【分析】可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO＝30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3…都是等腰三角形，且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．
【解答】解：设直线与x轴相交于C点．
令x＝0，则y＝；令y＝0，则x＝﹣1．
∴OC＝1，OD＝．
∵tan∠DCO＝＝，∴∠DCO＝30°．
∵△OA1B1是正三角形，∴∠A1OB1＝60°．
∴∠CA1O＝∠A1CO＝30°，∴OA1＝OC＝1．
∴第一个正三角形的高＝1×sin60°＝；
同理可得：第二个正三角形的边长＝1+1＝2，高＝2×sin60°＝；
第三个正三角形的边长＝1+1+2＝4，高＝4×sin60°＝2；
第四个正三角形的边长＝1+1+2+4＝8，高＝8×sin60°＝4；
…
第n个正三角形的边长＝2（n﹣1），高＝2（n﹣2）×．∴第n个正三角形顶点A n的纵坐标是2（n﹣2）×．
故选：D．。