沁县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

沁县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数)63sin(2)(π+
=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(2)(--
=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 2． 函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ≤π2）的部分图象如图所示，则φ
ω
的值为（ ）
A.1
8 B ．14
C.12
D ．1
3． 二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）
A ．﹣7
B ．﹣1
C ．﹣1或﹣7
D ．
5． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．13
6． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
7． 已知双曲线
（a ＞0，b ＞0）的右焦点F ，直线x=
与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到 D ．向左右平移
个单位得到
9． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）
A ．（1）与（2）
B ．（1）与（3）
C ．（2）与（4）
D ．（3）与（4）
10．已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2
+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x+y=0 B ．x+y=2 C ．x ﹣y=2 D ．x ﹣y=﹣2
11．如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长
为（ ）
A ．22
B ． C. D ．42+2 12．在AB
C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．725- C. 725± D ．2425
13．若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ）
A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
14．四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
15．已知函数(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，则(2016)f -=（ ） A ．2
e B ．e C ．1 D ．
1
e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
二、填空题
16．已知
a=
（
cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2
﹣）6展开式中的常数项是 ．
17．如图，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的 周长为 ．
1111]
18．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力． 19
．= ．
三、解答题
20．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
21．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=，g （x ）=
，其中n ∈N *
（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及函数g （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
22．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
23．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？
24．已知函数f（x）=x3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；
（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．
25．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
2sin （θ＋π4
）
.
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝3π
4（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
积．
沁县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
2． 【答案】
【解析】解析：选B.由图象知函数的周期T ＝2， ∴ω＝2π
2
＝π，
即f （x ）＝sin （πx ＋φ），由f （－1
4）＝0得
－π4＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4. 又－π2≤φ≤π2，∴当k ＝0时，φ＝π4，
则φω＝1
4，故选B. 3． 【答案】B
【解析】因为(1)(N )n x n *
+?的展开式中3x 项系数是3C n ，所以3
C 10n =，解得5n =，故选A ．
4． 【答案】A
【解析】解：因为两条直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8，l 1与l 2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A ．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
5． 【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得
=||||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
==．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
7．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣3）e x，
∴f′（x）=e x+（x﹣3）e x=（x﹣2）e x，
令f′（x）＞0，
即（x﹣2）e x＞0，
∴x﹣2＞0，
解得x＞2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．
8．【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），
y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，
∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
9．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；
∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；
故选B．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．
10．【答案】D
【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），
∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，
∴•k=﹣1且=k•+b，
解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，
故选：D．
11．【答案】C
【解析】
考点：平面图形的直观图.
12．【答案】A
【解析】
考点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2
2
2
2
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化. 13．【答案】B 【解析】
考
点：圆的方程.1111] 14．【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面PQMN ，
所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD 所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==
，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1 考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 15．【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ．
二、填空题
16．【答案】 240 ．
【解析】解：a=
（
cosx ﹣sinx ）dx=（
sinx+cosx ）
=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x 2﹣）6=（x 2+）6
展开始的通项公式为T r+1=
•2r •x 12﹣3r ，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x 2
﹣）6
展开式中的常数项是
•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
17．【答案】8cm 【解析】
考点：平面图形的直观图． 18．
【答案】2]
（02x ＃，02y ＃）上的点(,)x y 到定点(2,2)
，最大值为2，故MN 的取值
范围为2]．
2
2
y
x
B 19．【答案】 2 ．
【解析】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
三、解答题
20．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2
2
28x y -+=． 【解析】
试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线
AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得
矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求
得矩形ABCD 外接圆的方程.
（2）由360
320
x y x y --=⎧⎨
++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-,
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,
所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM =
=从而距形ABCD 外接圆的方程为()2
2
28x y -+=.1 考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.
【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
x f x f x
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．
22．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
23．【答案】
【解析】解：设至少需要同时开x个窗口，则根据题意有，．
由①②得，c=2b，a=75b，代入③得，75b+10b≤20bx，
∴x≥，
即至少同时开5个窗口才能满足要求．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f （x ）的导数f ′（x ）=x 2
+a ，
即有f （1）=a+，f ′（1）=1+a ，
则切线方程为y ﹣（a+）=（1+a ）（x ﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x +m[f ′（x ）﹣a]≥m 2
x 对x ≥0时恒成立， 得xe x +mx 2﹣m 2
x ≥0对x ≥0时恒成立， 即e x +mx ﹣m 2
≥0对x ≥0时恒成立， 则（e x +mx ﹣m 2
）min ≥0， 记g （x ）=e x +mx ﹣m 2
，
g ′（x ）=e x +m ，由x ≥0，e x ≥1，
若m ≥﹣1，g ′（x ）≥0，g （x ）在[0，+∞）上为增函数，
∴
，
则有﹣1≤m ≤1，
若m ＜﹣1，则当x ∈（0，ln （﹣m ））时，g ′（x ）＜0，g （x ）为减函数， 则当x ∈（ln （﹣m ），+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）为增函数，
∴
，
∴1﹣ln （﹣m ）+m ≥0，
令﹣m=t ，则t+lnt ﹣1≤0（t ＞1）， φ（t ）=t+lnt ﹣1，显然是增函数，
由t ＞1，φ（t ）＞φ（1）=0，则t ＞1即m ＜﹣1，不合题意． 综上，实数m 的取值范围是﹣1≤m ≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
25．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α（α为参数）
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9. 即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，
由C 2：ρ＝
2
sin （θ＋π
4
）
得
ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得 x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 将θ＝3π
4代入上式得
ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，
∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝3 2.
C 3：θ＝3
4
π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝2
2
＝ 2.
∴△PMN 的面积为S ＝12|MN |×d ＝1
2×32×2＝3.
即△PMN 的面积为3.。