“公共弦”的那些事儿

为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦A B为直径的圆过原
点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
思路分析院这是一道存在性的探究题，首先，解题时
要注意答题格式的规范性，其次，如何理解并转化“使得
以l被圆C截得的弦A B为直径的圆过原点”这句话？一种
理解：将以A B为直径的圆的方程表示出来，并代入原点
-2 O 2 -2 C
B（4x2，y62）x
m，与圆C的两个交点分别为 A（x1，y1）-4
A（x1，y1），B（x2，y2），以A B为直 径的圆过 原点，如 图4所 示，
-6 图4
将直线l的 方 程 y=x+m 代入 圆 C的 方 程 中，整 理 得2x2+
（2m+2）x+m2+4m -4=0.因 为 直 线l与 圆 C相 交 ，所以 驻 =
圆的公共弦所在的直线方程.
嗓 解法2院
将两圆的方程联立得
x2+y2=1，
将
x2+y2-2x-2y+1=0，
两个方程相减，整理得x+y-1=0，所以圆C1与圆C2的公共 弦所在的直线方程为x+y-1=0.
点评院很明显袁在解法1中袁由于需要解二元二次方
程组袁其计算量不言而喻袁这也是大部分学生不希望遇
到的袁而解法2避开了解方程组袁大大弱化了计算量袁也 为我们提供了一种便捷的求公共弦所在直线方程的途 径袁即两圆方程相减袁消去二次项袁便可得到公共弦所在 的直线方程.
9-
9 5
=
6姨 5
5
.故公共弦长|A B|=2|A H |=
12 姨 5 . 5 点评院解法2与解法3侧重于图形中的几何运算袁也
是直线与圆中解决弦长问题最常用的方法袁点到直线的 距离公式的记忆以及对圆中与弦有关的性质的熟练掌 握是解题的关键.
三尧与公共弦有关的综合问题
题目3 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率
嗓 x12+y12=1， 淤
x12+y12-2x1-2y1+1=0， 于
于
C1
C2
B（x2，y2）
图1
是淤-于可得x1+y1-1=0，这就说明点A（x1，y1）在直线x+y-
1=0上.同理可得点B（x2，y2）也在直线x+y-1=0上，这样由
点A（x1，y1），B（x2，y2）确定的直线方程就是x+y-1=0，即两
（2m+2）2-8（m2+4m-4）>0，解得-3-3 姨 2 <m<-3+3 姨 2 ，
且x1+x2=-m-1，
y=-3
扇设
x= 设
设 设 设 设 缮设 设
y= 设
设 设 墒设
12 5
9 5
，
即 ，
两圆的交点
为（0，-3），
12 5
，9 5
，所以
姨蓸 蔀 蓸 蔀 公共弦长为
0-
12 5
2
+
-3-
9 5
2 = 12 姨 5 . 5
思路分析2院我们常用的求弦长的方法是：作出圆心
到 弦 的 距 离 ，连 接 圆 心 与 两 圆 的 交 点 ，从 而 构 造 出 直 角
坐标来求解；另一种理解：因为A B为直径，所以蚁A OB=
90毅，再 将 直 角 关 系 转 化 为 两 垂 直 直 线 的 斜 率 之 间 的 关
系，或者转化成两垂直向量之间的数量积关系.
解法1院假设存在斜率为 1的直线l，使得以l被圆C截得
y 2
l
的弦AB为直径的圆过原点， 不 妨设 直 线l的 方程 为 y=x+
二尧求公共弦长
题目2 求圆C1：x2+y2=9与圆C2：x2+y2-4x+2y-3=0的 公共弦长.
思路分析1院 只要求出圆C1和圆C2的两个公共点的 坐标，然后利用平面上两点之间的距离公式即可求得公
共弦长.
嗓 解法1院
联立两圆的方程得
x2+y2=9，
解得
x2+y2-4x+2y-3=0，
嗓 蓸 蔀 x=0，或
三角形，进而利用勾股定理解题.
解法2院如图2所示，作出圆C1和圆C2的简 图，将 圆 C1与圆C2的方程相减，得到公共弦A B所在的直线方程 2x-y-3=0，又圆心C（1 0，0），则圆心C1到公共弦A B的距
离|C1H |= 3 姨5
= 3姨 5 5
，而圆C1的半径r1=3，所以 |A B|=
姨 2|A H|=2 姨r12-|C1H|2 =2
教学 参谋
解法探究
2019 年 7 月
野 公共弦冶的那些事儿
筅黑龙江省大庆市大庆实验中学 陈永志
苏教版高中数学《必修2》在“平面解析几何”一章中 主要介绍了直线与圆的相关知识，这两部分内容都是高 考考查的重点和热点，解析几何的本质就是运用代数方 法来研究几何问题，所以此处必少不了相关的几何作图 与代数运算，而学生往往由于作图能力与计算能力比较 薄 弱 ，从 而 害 怕 求 解 解 析 几 何 的 题 目 . 本 文 主 要 针 对 几 道有关两圆相交时涉及的公共弦问题加以剖析，与大家 共勉.
9-
9 5
=
12
姨 5
5
.
A
A
C1 H C2 B
C1 H C2 B
图2
图3
解 法 3院我 们 知 道 ，两 圆 相 交 时 ，两 圆 圆 心 的 连 线 垂
48
高中
2019 年 7 月
直 平 分 公 共 弦 ，于 是 连 接 C1C2，交 A B 于 点 H，连 接 C1A 、 C2A ，如图3所示，根据圆心C（1 0，0），C（2 2，-1），易求得圆
解
x2+y2-2x-2y+1=0，
嗓 嗓 得
x=0，或 y=1
xy==10，，即 两 圆 的 交 点 为（0，1），（1，0），所 以 公
共弦所在直线的斜率为k=-1.故公共弦所在的直线方程
为y=-x+1. 思路分析2院 如图1所示，
A（x1，y1）
不妨设两个公共点的坐标分
别 为 A（x1，y1），B（x2，y2），所 以
一尧求公共弦方程
题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2-2x-2y+1=0， 试求两圆的公共弦所在的直线的方程.
思路分析1院 因为两圆的公共弦由两圆相交时产生
的两个交点确定，所以最直接的解法就是先求出两圆的
交点坐标，然后再去求公共弦所在的直线方程.
嗓 解法1院
将两圆的方程联立得
x2+y2=1，
心距|C1C2|= 姨 5 ，而|C1A |=3，|C2A |=2 姨 2 ，可设|C1H |=x，
则|C2H |= 姨 5 -x，利用勾股定理有|C1A |2-|C1H |2=|C2A |2-
|C2H |2，即9-x2=8-（姨
5
-x）2，解 得 x =
3姨 5
5
，所以|A H |=
姨 姨|C1A |2-|C1H|2 =