近5年台湾地区高考三次函数考点例析
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2019年第5期
5-31
近5年台湾地区高考三次函数考点例析
钟劲松刘源 （湖南教育出版社，湖南长沙410007）
1前言 在初中阶段学习一次函数 、二次函数和反
比例函数之后，三次函数作为多项式函数中的 一个重要函数模型，高中课程标准对三次函数 仅要求能利用导数求其极大值、极小值以及给 定区间上的函数的最大值、最小值等.台湾地 区课程标准有较多的多项式内容，要求也高. 主要表现在多项式函数的微积分，多项式的运 算与应用——乘法、除法（包括除式为一次式 的综合除法），除法原理（含余式定理、因式定 理）及其应用，插值多项式（次数不超过三次） 函数及其应用，实系数多项式的代数基本定 理，虚根成对定理,等等.本文就台湾地区近5 年高考中三次函数题进行解析和点评，旨在说 明台湾地区考题考点多，形式活，值得我们教 材编写者和命题人员借鉴. 2主要考点例析
例3考虑多项式函数/(x) = 4x3 - llx2 +
对于选项(3),函数/■的唯一极小值在％ = 弓■处取得，此时y扱小值=彳m =-活，故选项
(3)正确； 对于选项(4),显然，％ = 2是/(%)= 0的一
个根，因为函数/(乂)在［寸，+ 8)上单调递增,
且 7T >2,故/(!7)>/(2)= 0,故选项(4)正确；
图2 根据上面的两个草图可以发现，每种情况
5-32
欽学学
2019年第5期
下/均有极小值a,故选项(1)不正确.如图1、 2所示，/有极小值a,且极小值a满足-10 < a < 0,故选项(3)正确.
2. 重视三次函数与微积分基本定理、函数 零点、方程的综合考查•利用牛顿-莱布尼茨公 式进行多项式函数的积分运算，考查对牛顿-莱 布尼茨公式的本质的理解和运用.考查三次函 数的零点(判断重根)，一阶、二阶导数为零与图 形的极值点、某点的切线斜率,拐点的关系,并对 它们之间的关系有本质地认识和理解•
4qr
tt
对于选项(5),因为cos— < cos — = 0,所
以/(cos芋)< 0,故选项(5)错误.
2019年第5期
点评:本题的关键是根据三次函数的表达 式绘制出草图，根据表达式求出三次函数的极 值点，理解一阶导数的几何意义，并根据函数 图像判断函数值的大小.
例4设/(%)为实系数二次多项式,g(%) 为实系数三次多项式.已知y=/(%)的图像与％ 轴交于％ = -4与x = 0,而y=g(x)的图像与x 轴交于 x =- 4, x = 0 = 4,且/(%)与 g(%) 的(相对)极小值皆发生于-4 <x < 0.请选出 正确的选项.
例1设/为实系数三次多项式函数.已知 五个方程式的相异实根个数如下表所述 ：
方程式
/(X)-20 = 0 /(x) - 10 = 0
表1 相异实根的个数
1 3
方程式
fM = o
/(X)+ 10 = 0 /(x) + 20 = 0
续表 相异实根的个数
3 1 1
关于/的极小值a,试问下列哪一个选项 是正确的？
广⑷=-5, jr(x)dx=/,(x)|： =r(4)-r(i)
= -5-0=-5,
故选(1 )• 点评:本题看似复杂，实际上只需要得出
y =/(x)在x = 1, 4处的一阶导数即可.实际 上,本题考查了微积分基本定理——牛顿-莱 布尼茨公式和一阶导数与极值点、过函数图像 上某点的切线斜率之间的关系.
对于选项(2)，令/'(%) = 0可得衍=j,
3 %2 =y,可以大致绘制出的函数图像
(如图3),因为y =/(%)的极大值在% =^,处取 得，且彳寸=~ < 1,因此函数/的图形与直线
y = 1只有一个交点，选项(2)错误；
又因为图形y =/(%)在(4,/(4))的切线方程 的斜率为-5,因此有
3. 突出考查给定三次函数的表达式，通过 利用导数研究函数图像的形状,对其极值和图 形上某些点的函数值的正负进行判断.综合考 查二次函数与三次函数,会根据函数的零点正 确地构造函数表达式，进行简单的运算、论证 和求解.理解和运用三次函数图像的切线问 题,若一条直线与三次函数图像的某点相切， 且与三次函数图像只有一个交点，则该切点为 三次函数的拐点(反曲点)⑷.
（1） a 不存在；（2） - 20 < a < - 10； （3） - 10 < a < 0； （4） 0 < a < 10； （5） 10 < a < 20. 注:极小值是指相对最小值，或称为局部 极小值. 解析:依据题意画出/的草图，如图1、图2 所示.
2
V___
\总
图1
20
T\J _
1 -10
广(1) = 0,
6x.请选出正确的选项： (1) 函数/'的图像在点(1, -D处的切线
斜率为正； (2) 函数/的图像与直线y= 1交于三点； 9 (3) 函数/的唯一相对极小值为-了；
(4) /( TT)> 0; (5)^cosyj > 0.
解析：对于选项(1),因为/(%) = 4/ 11/ + 6x,则 f'(x) = 12x2 - 22x + 6,所以 f'(l) = 12 - 22 + 6 =- 4 < 0,所以选项(1) 错误；
(1) /(")与g(”)的最高次项系数皆为正； (2) /(x)的(相对)极小值发生于x=-2； (3) g(%)的(相对)极小值发生于x=-2； (4) g( - 1) =g( - 3)； (5) g( - 1) =- g( 1).
台湾地区高考对三次函数的考查可谓形 式多样，灵活新颖，主要的考点分布在以下几 个方面：
1.重视根据题干勾勒出三次函数的草图， 并根据草图分析三次函数的性质，并伴有一定 的计算、分析和解决问题的能力•像二次函数 一样，可以根据三次函数y =处’ +bx2 + ex+d 中的系数a、b、c、d讨论其图像，只是相比二 次函数复杂一点罢了，根据题意绘制出正确的 草图，是解决问题的关键.
例2已知一实系数三次多项式/(%)在 % = 1处有极大值3,且图形y =/(x)在(4, /(4))的切线方程为 y-/(4) +5(-4) = 0, 试问/r(x)dx之值为下列哪一选项？
(1) -5； (2) -3； (3) 0； (4) 3； (5) 5.
解析:根据题意实系数三次多项式/(%)在 x = 1有极大值3可知
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近5年台湾地区高考三次函数考点例析
钟劲松刘源 （湖南教育出版社，湖南长沙410007）
1前言 在初中阶段学习一次函数 、二次函数和反
比例函数之后，三次函数作为多项式函数中的 一个重要函数模型，高中课程标准对三次函数 仅要求能利用导数求其极大值、极小值以及给 定区间上的函数的最大值、最小值等.台湾地 区课程标准有较多的多项式内容，要求也高. 主要表现在多项式函数的微积分，多项式的运 算与应用——乘法、除法（包括除式为一次式 的综合除法），除法原理（含余式定理、因式定 理）及其应用，插值多项式（次数不超过三次） 函数及其应用，实系数多项式的代数基本定 理，虚根成对定理,等等.本文就台湾地区近5 年高考中三次函数题进行解析和点评，旨在说 明台湾地区考题考点多，形式活，值得我们教 材编写者和命题人员借鉴. 2主要考点例析
例3考虑多项式函数/(x) = 4x3 - llx2 +
对于选项(3),函数/■的唯一极小值在％ = 弓■处取得，此时y扱小值=彳m =-活，故选项
(3)正确； 对于选项(4),显然，％ = 2是/(%)= 0的一
个根，因为函数/(乂)在［寸，+ 8)上单调递增,
且 7T >2,故/(!7)>/(2)= 0,故选项(4)正确；
图2 根据上面的两个草图可以发现，每种情况
5-32
欽学学
2019年第5期
下/均有极小值a,故选项(1)不正确.如图1、 2所示，/有极小值a,且极小值a满足-10 < a < 0,故选项(3)正确.
2. 重视三次函数与微积分基本定理、函数 零点、方程的综合考查•利用牛顿-莱布尼茨公 式进行多项式函数的积分运算，考查对牛顿-莱 布尼茨公式的本质的理解和运用.考查三次函 数的零点(判断重根)，一阶、二阶导数为零与图 形的极值点、某点的切线斜率,拐点的关系,并对 它们之间的关系有本质地认识和理解•
4qr
tt
对于选项(5),因为cos— < cos — = 0,所
以/(cos芋)< 0,故选项(5)错误.
2019年第5期
点评:本题的关键是根据三次函数的表达 式绘制出草图，根据表达式求出三次函数的极 值点，理解一阶导数的几何意义，并根据函数 图像判断函数值的大小.
例4设/(%)为实系数二次多项式,g(%) 为实系数三次多项式.已知y=/(%)的图像与％ 轴交于％ = -4与x = 0,而y=g(x)的图像与x 轴交于 x =- 4, x = 0 = 4,且/(%)与 g(%) 的(相对)极小值皆发生于-4 <x < 0.请选出 正确的选项.
例1设/为实系数三次多项式函数.已知 五个方程式的相异实根个数如下表所述 ：
方程式
/(X)-20 = 0 /(x) - 10 = 0
表1 相异实根的个数
1 3
方程式
fM = o
/(X)+ 10 = 0 /(x) + 20 = 0
续表 相异实根的个数
3 1 1
关于/的极小值a,试问下列哪一个选项 是正确的？
广⑷=-5, jr(x)dx=/,(x)|： =r(4)-r(i)
= -5-0=-5,
故选(1 )• 点评:本题看似复杂，实际上只需要得出
y =/(x)在x = 1, 4处的一阶导数即可.实际 上,本题考查了微积分基本定理——牛顿-莱 布尼茨公式和一阶导数与极值点、过函数图像 上某点的切线斜率之间的关系.
对于选项(2)，令/'(%) = 0可得衍=j,
3 %2 =y,可以大致绘制出的函数图像
(如图3),因为y =/(%)的极大值在% =^,处取 得，且彳寸=~ < 1,因此函数/的图形与直线
y = 1只有一个交点，选项(2)错误；
又因为图形y =/(%)在(4,/(4))的切线方程 的斜率为-5,因此有
3. 突出考查给定三次函数的表达式，通过 利用导数研究函数图像的形状,对其极值和图 形上某些点的函数值的正负进行判断.综合考 查二次函数与三次函数,会根据函数的零点正 确地构造函数表达式，进行简单的运算、论证 和求解.理解和运用三次函数图像的切线问 题,若一条直线与三次函数图像的某点相切， 且与三次函数图像只有一个交点，则该切点为 三次函数的拐点(反曲点)⑷.
（1） a 不存在；（2） - 20 < a < - 10； （3） - 10 < a < 0； （4） 0 < a < 10； （5） 10 < a < 20. 注:极小值是指相对最小值，或称为局部 极小值. 解析:依据题意画出/的草图，如图1、图2 所示.
2
V___
\总
图1
20
T\J _
1 -10
广(1) = 0,
6x.请选出正确的选项： (1) 函数/'的图像在点(1, -D处的切线
斜率为正； (2) 函数/的图像与直线y= 1交于三点； 9 (3) 函数/的唯一相对极小值为-了；
(4) /( TT)> 0; (5)^cosyj > 0.
解析：对于选项(1),因为/(%) = 4/ 11/ + 6x,则 f'(x) = 12x2 - 22x + 6,所以 f'(l) = 12 - 22 + 6 =- 4 < 0,所以选项(1) 错误；
(1) /(")与g(”)的最高次项系数皆为正； (2) /(x)的(相对)极小值发生于x=-2； (3) g(%)的(相对)极小值发生于x=-2； (4) g( - 1) =g( - 3)； (5) g( - 1) =- g( 1).
台湾地区高考对三次函数的考查可谓形 式多样，灵活新颖，主要的考点分布在以下几 个方面：
1.重视根据题干勾勒出三次函数的草图， 并根据草图分析三次函数的性质，并伴有一定 的计算、分析和解决问题的能力•像二次函数 一样，可以根据三次函数y =处’ +bx2 + ex+d 中的系数a、b、c、d讨论其图像，只是相比二 次函数复杂一点罢了，根据题意绘制出正确的 草图，是解决问题的关键.
例2已知一实系数三次多项式/(%)在 % = 1处有极大值3,且图形y =/(x)在(4, /(4))的切线方程为 y-/(4) +5(-4) = 0, 试问/r(x)dx之值为下列哪一选项？
(1) -5； (2) -3； (3) 0； (4) 3； (5) 5.
解析:根据题意实系数三次多项式/(%)在 x = 1有极大值3可知