吉林省实验中学2016年高三数学下册第三次模拟试卷

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有
一项是符合题目要求的．
1.设集合{}|2A x x =>，若ln e
m e =（e 为自然对数底），则（ ）
A ．A ∅∈
B ．m A ∉
C ．m A ∈
D ．{}|A x x m ⊆>
【答案】C 【解析】
试题分析：因为ln 2e
m e e ==>，所以m A ∈，故选C ． 考点：元素与集合间的关系．
2.若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．4- B ．4
5
-
C ．4
D ．
45
【答案】D 【解析】
试题分析：由()34435i z i -=+=，得i i i i i z 5
4
53)43)(43()43(5435+=+-+=-=
，所以复数z 的虚部为4
5
，故选D ．
考点：复数的概念及运算．
3.5
232x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为（ ）
A ．80
B ．80-
C ．40
D ．40-
【答案】C
考点：二项式定理．
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3426235a a a +-=，则7S 等于（ ） A ．28
B ．21
C ．14
D ．7
【答案】D 【解析】
试题分析：由3426235a a a +-=，得4446()23(2)5a d a a d -+--=，即455a =，所以
41a =，所以7S ＝
174
7()72722
a a a ⨯+⨯==，故选D ．
考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式；3、等差数列的前n 项和公式． 【一题多解】由3426235a a a +-=，得
111116(2)2(3)3()5155(3)5a d a d a d a d a d +++-+=+=+=，即455a =，所以41a =，
所以7S ＝
1747()72722
a a a ⨯+⨯==，故选D ．
5.设命题p ：()3,1a =，(),2b m =，且a b ；
命题q :关于x 的函数()255x
y m m a =--（01a a >≠且）
是指数函数，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
B ．充要条件
D ．既不充分也不
必要条件 【答案】A
考点：1、充分条件与必要条件；2、向量平行的充要条件；3、指数函数的概念． 6.执行右边的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）
A ．1111+2310+++……
B ．11112!3!10!++++……
C ．1111+2311
+
++…… D ．111
12!3!11!
+
+++…… 【答案】B
考点：程序框图．
7.给出下列关于互不重合的三条直线m l n 、、和两个平面α、β的四个命题： ①若,m l
A αα⊂=，点A m ∉，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，l α，m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥； ③若,,l m αβα
β，则l m ；
④若,,,,l m l m A l m ααββ⊂⊂=，则αβ，
其中为真命题的是（ ） A ．①③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③
【答案】C 【解析】
试题分析：①中，由异面直线判定定理可得l 与m 异面，故①为真命题；②中，根据条件可以在α内找到两条相交线，使得它们都与n 垂直，故可得n α⊥，故②为真命题；③中l 与
m 可能平行，也可能相交，也可能异面，故③为假命题；④中命题是面面平行的判定定理
的符号表示式，故④为真命题，故选C ． 考点：空间直线与平面的位置关系．
8.袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次取出2个小球，
则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ）． A ．
3
10
B ．
35
C ．
12
D ．
14
【答案】C 【解析】
试题分析：因为第一次摸到红球的概率为
3
5
，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为3235410
⨯=，所以所求概率为3
1
10325
==，故选C ．
考点：1、条件概率；2、独立事件． 9.函数()()2sin ,0,2
2f x x π
πωϕωϕ⎛⎫
=+>-<<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π 【答案】A
考点：三角函数的图象与性质．
【思路点睛】根据三角函数的图象求函数解析式的基本思路为：先由图中已知两点的横坐标
之差得到周期T，从而由
2
T
π
ω=，求出ω的值，再把图象所过的一个点的坐标代入方程做
出初相，写出解析式，代入数值得到结果．
10.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
A．21B．18C．21D．18
【答案】A
考点：1、空间几何体的三视图；2、多面体的表面积．
11.过曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切
点为M ，延长
FM 交曲线()2
3:20C y px p =>于点N ，其中曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，若点M 为
线段FN 的中
点，则曲线1C 的离心率的平方为（ ）
A
B ．
2
C 1
D ．
1
2
【答案】D 【解析】
试题分析：在NMF ∆中，OM FN ⊥，||OM a =，||OF c =，则||MF b =，所以
||2NF b =．因为曲线1C 与3C 共同焦点为F ，所以23:4C y cx =，其准线l 过抛物线的左焦点1F ．如图，过点N 作ND l ⊥于点D ，ND x ⊥轴于点E ，则由抛物线的定义知||||2NF ND b ==，所以1||||2ND F E b ==．设(,)N x y ，则2
x c b +=，即2x b c =-．在
1
N FE ∆中，222(2)(2)a b y =+，即22444(2)a b c b c =+-，结合b =
整理得42240c a c a --=，即42
10e e --=，解得2
e =
，故选D ．
考点：1、双曲线的几何性质；2、抛物线的定义．
【思维点睛】如果试题涉及到圆锥曲线的焦点或准线，则通常要利用圆锥曲线的定义来求解，特别是解答焦点三角形问题，主要就是要利用圆锥曲线的定义、正弦定理与余弦定理（勾股定理），通过建立方程（组）来解决． 12.设函数()()()
2
2
2
ln 2f x x a x a
=-+-，其中0,x a R >∈，存在0x R ∈，使得
()04
5
f x ≤
成立，则实 数a 的值是（ ） A ．
15
B ．25
C ．12
D ．1
【答案】A
考点：1、函数图象；2、导数与函数最值的关系；3、点到直线的距离．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知,a b 均为正数，且2是2a 与b 的等差中项，则
1
ab
的最小值为 . 【答案】
12
【解析】
试题分析：由题意，
得42a b =+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立，所以02ab <≤，所以
112ab ≥，所以1ab 的最小值为1
2
． 考点：1、等差数列的性质；2、基本不等式．
14.向区域201
01x y y x ⎧≤≤⎪
≤≤⎨⎪≥⎩
内随机投入一点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率
为 . 【答案】
34
考点：1、几何概型；2、定积分．
【方法点睛】利用定积分求曲边多边形面积的基本步骤：（1）画出曲线的草图；（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，找出积分的上、下限；（3）将曲边多边形的面积表示成若干个定积分的和或差；（4）计算定积分，写出答案．
15.已知函数(
)1sin 1cos 22f x a x a x ⎛⎫⎛=++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭
，将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到函数
()g x 的图象，若对任意x R ∈，都有()4g x g π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立，则a 的值为 .
【答案】2 【解析】
试题分析：()1sin cos cos sin()2cos()2233f x a x a x x x a x x ππ=++=+++
)
3
x π
α+
+（其中cos α=
sin α=
．将()f x 图象向右
平移
3
π个单位长度得()))33g x x x ππαα=-++=+≤
|sin()|
4πα+=4πα=，2=
2a =． 考点：1、辅助角公式；2、三角函数图象的平移变换；3、正弦函数的图象与性质；4、两角和与差的正弦．
【方法点睛】(1)对此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用；(2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确；(3)对sin cos a x b x ＋化简时，辅助角ϕ的值如何求要清楚．辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位．
16.函数()y f x =图像上不同的两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定(),A B k k A B AB
ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下
命题：
①函数3
2
1y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(),A B ϕ>
②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x y e =上不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且121x x -=，若t ⋅(),1A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞. 以上正确命题的序号为 . 【答案】②③
考点：1、新定义；2、命题真假的判定．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1,前n 项和n S
满足
()12n =≥.
(Ⅰ)求n S 与数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设()*1
1
n n n b n N a a +=
∈，求使不等式1212
25
n b b b +++>
成立的最小正整数n . 【答案】(Ⅰ) 21n a n =-；(Ⅱ)13．
考点：1、等差数列的定义；2、n a 与n S 的关系；3、裂项法求数列的和． 【方法点睛】给出n S 与n a 的递推关系，要求n a ，常用思路是：一是利用
12()n n n S S a n -=≥－转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，
先求出n S 与n 之间的关系，再求n a ．同时特别要注意验证1a 的值是否满足“2n ≥”的一般性通项公式．
18.（本小题满分12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问巻．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：
（Ⅰ）现按女生是否能做到光盘进行分层，从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
独立性检验临界表：
【答案】（Ⅰ）分布列见解析，
3
Eξ=；（Ⅱ）0.1，理由见解析．
随机变量ξ的分布列可列表如下：
所以510514
0123422114213
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………..7分（期望占2分）
（Ⅱ）()()()()()
()2
2
2
10045153010100 3.0355********n ad bc K a b c d a c b d -⋅-⋅=
==≈++++⋅⋅⋅.…10分 因为100
2.706
3.03 3.84033
<
≈<， 所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即最精确的P 值应为0.1.
考点：1、独立性检验；2、分布列；3、数学期望．
19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面
ABCD ，PA BE ，4AB PA ==，2BE =.
（Ⅰ）求证：CE
平面PAD ；
（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AF
AB
的值；如果不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6
；（Ⅲ）35．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG DG ，，易证得四边形BEGA 为平行四边形，
从而结合正方形ABCD的性质得到四边形CDGE为平行四边形，进而使问题得证；（Ⅱ）以点B的原点建立空间坐标
系，得到相关点坐标及向量，求出平面PCE的一个法向量，从而由空间夹角公式求解；（Ⅲ）由平面DEF 平面PCE，得到两平面的法向量乘积为0，从面求得F点的坐标，进而求
得AF
AB
的值．
考点：1、空间直线与平面平行的判定；2、空间直线与平面所成角；3、平面与平面垂直的性质；4、空间向量的应用．
20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，点,A B 的坐标分别是())
,
,点G 是
ABC ∆的重心，y
轴上一点M 满足GM
AB ，且MC MB =.
(Ⅰ)求ABC ∆的顶点C 的轨迹E 的方程；
(Ⅱ)直线:l y kx m =+与轨迹E 相交于,P Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使四边形
OPRQ 为平行四边形(其中O 为坐标原点)，求m 的取值范围.
【答案】(I) ()221026x y y +=≠
；（Ⅱ）6(,
[,)-∞+∞． （Ⅱ）设直线:l y kx m =+与
22
126
x y +=的两交点为()11,P x y ,()22,Q x y 联立：22
36
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：()222
3260k x kmx m +++-= ......6分 ()()()222222443612260k m k m k m ∴∆=-+-=-+>.. (1)
且212122226
,.33
km m x x x x k k -+=-=++ …………7分
因为四边形OPRQ 为平行四边形，所以线段PQ 的中点即为线段OR 的中点，所以R 点的坐标为()1212,x x y y ++，整理得2
226,33km m R k k -⎛⎫
⎪++⎝⎭
…………8分 由点R 在椭圆上，所以
2
2
222633126
km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得2223m k =+…...（2）…10分
将（2）代入（1）得2
0m >，0m ∴≠，由（
2）得2
23m ≥
，2m ∴≥
或2
m ≤-， 所以m 的取值范围为6
(,[,)22
-∞-
+∞．
…………12分
考点：1、轨迹方程；2、直线与椭圆的位置关系．
【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程；第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程；第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根；第四步：写出根与系数的关系；第五步：根据题设条件求解问题中结论．
21.（本小题满分12分）己知函数()ln ln f x x a =-，()x g x ae =，其中a 为常数，函数
()y f x =与x 轴
的交点为A ，函数()y g x =的图象与y 轴的交点为B ，函数()y f x =在A 点的切线与函数()y g x =在 点B 处的切线互相平行. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求函数()()()1F x f x g x =--的单调区间；
（Ⅲ）若不等式()()()120xf x k x f f x -+-≤⎡⎤⎣⎦在区间[1,)+∞上恒成立,求实数k 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)1a =；（Ⅱ）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞； (Ⅲ) 1
[,)2
+∞．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()ln ,x
f x x
g x e ==，()1
ln x F x x e
-=-，()0,x ∈+∞
()1
111x x xe F x e x x
---'∴=-=…………4分
令()11x h x xe -=-，显然函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，且()10h = 当()0,1x ∈时，()0h x >，()()0,F x F x '∴>∴在()0,1上单调递增 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()()0,F x F x '∴<∴在()1,+∞上单调递减 故()F x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞. …………6分
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式恒成立问题．
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接
AE BE ，，APE ∠
的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30APE ∠=︒. （Ⅰ）求证:
ED PB PD
BD PA PC
⋅=； （Ⅱ）求PCE ∠的大小.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）75︒．
考点：1、弦切角定理；2、相似三角形．
【技巧点睛】证明相似三角形的一般思路：（1）先找两对内角对应相等；（2）若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；（3）若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．利用弦切角定理时，一定要注意是弦切角与同弧上的圆周角相等． 23.（本小题满分10分)选修44-；坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：24cos 20ρρθ-+=
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点()P x y ，在该圆上，求x y ＋的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）22420x y x +-+=；（Ⅱ）最大值4，最小值0．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据222x y ρ＝＋，cos x ρθ＝，sin y ρθ＝化为普通方程；（Ⅱ）将圆的方程化为参数方程，利用参数的性质求解．
试题解析：（Ⅰ）222x y ρ＝＋，cos x ρθ＝，sin y ρθ＝，
2224cos 242x y x ρρθ-+=+-+，
∴圆的普通方程为22420x y x +-+= …………5分
（Ⅱ）由22420x y x +-+= ⇒22 22()x y －＋＝ …………7分
设2x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数
)
)2cos sin 22sin 4x y πααα⎛⎫+=+=++ ⎪⎝
⎭ 所以x y ＋的最大值4，最小值0
………………10分
考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、圆的参数方程；3、两角和与差的正弦；4、正弦函数的性质．
24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()f x x =，()4g x x m =--+
（Ⅰ）解关于x 的不等式()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦；
（Ⅱ）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）()()6,22,6--；（Ⅱ）4m <．
考点：1、绝对不等式的解法；2、双值绝对值的性质．沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。

莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。