2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第1章 第60课 课时分层训练4

课时分层训练(四)
A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)
1．设随机变量X 的概率分布为P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．
(1)求a ； (2)求P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
10<X ≤710. 【导学号：62172328】
[解] (1)由概率分布的性质，
得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a
＝1，所以a ＝1
15.
(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45. (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.
2．一袋中装有10个大小一样的黑球和白球，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7
9.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．
[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球〞为事件A ，设袋中白球的个数为x ，
那么P (A )＝1－C 210－x C 210
＝7
9，得到x ＝5.故白球有5个．
(2)X 服从超几何分布，
P(X＝k)＝C k5C3－k
5
C310
，k＝0,1,2,3.
于是可得其概率分布为
3.(2021·南京模拟)
十位数字大于百位数字，那么称n为“三位递增数〞(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数〞中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数〞的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得－1分；假设能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数〞；
(2)假设甲参加活动，求甲得分X的概率分布．
[解](1)个位数是5的“三位递增数〞有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数〞的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此
P(X＝0)＝C38
C39
＝2
3
，
P(X＝－1)＝C24
C39
＝1
14
，
P(X＝1)＝1－1
14
－2
3
＝11
42.
所以X的概率分布为
4.盒内有大小一样的9个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布.
【导学号：62172329】
[解] (1)P ＝1－C 37
C 39
＝712.
(2)记“取出1个红色球，2个白色球〞为事件B ，“取出2个红色球，1个
黑色球〞为事件C ，那么P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14
C 39＝542
.
(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，
P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k
6
C 39，k ＝0,1,2,3.
故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝5
21，
P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝15
28，
P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝3
14，
P (ξ＝3)＝C 33C 39
＝1
84，
ξ的概率分布为：
(建议用时：15分钟)
1．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，求随机变量ξ的概率分布．
[解] 假设两条棱相交，那么交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1
个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此
P (ξ＝0)＝8C 23C 212
＝8×366＝4
11.
假设两条棱平行，那么它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212
＝1
11，
于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6
11， 所以随机变量ξ的概率分布是
2.300元的顾客，将获得一次摸奖时机，规那么如下：
奖盒中放有除颜色外完全一样的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，假设摸到黑球那么停顿摸奖，否那么就要将奖盒中的球全部摸出才停顿．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
(1)求1名顾客摸球3次停顿摸奖的概率；
(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布． [解] (1)设“1名顾客摸球3次停顿摸奖〞为事件A ，那么P (A )＝A 23A 34＝14，
故1名顾客摸球3次停顿摸球的概率为1
4. (2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20. P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝1
6，
P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34
＝1
6，
P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34
＝1
6，
P (X ＝20)＝A 33A 44
＝1
4.
所以，随机变量X的概率分布为
3．甲箱中只放有y＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．假设从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．
(1)记取出的3个球的颜色全不一样的概率为P，求当P取得最大值时x，y 的值；
(2)当x＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．
[解](1)由题意知P＝C1x C1y C11
C26C14
＝xy
60≤
1
60⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋y
2
2＝320，
当且仅当x＝y时等号成立，
所以，当P取得最大值时x＝y＝3.
(2)当x＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
那么P(ξ＝0)＝C24C12
C26C14＝1 5
，
P(ξ＝1)＝C12C14C12＋C24C12
C26C14
＝7
15
，
P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C14C12
C26C14
＝3
10
，
P(ξ＝3)＝C22C12
C26C14
＝1
30.
所以红球个数ξ的概率分布为
/微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2021年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
质量到达一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．
[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量到达一级〞为事件A，那么
P(A)＝C13C27
C310
＝21
40.
(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝C k3C3－k
7
C310(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝C03C37
C310＝7
24
，P(ξ＝1)＝C13C27
C310
＝21
40
，
P(ξ＝2)＝C23C17
C310
＝7
40
，P(ξ＝3)＝C33C07
C310
＝1
120.
因此ξ的概率分布为。