2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 附加题部分 第6章 第73课 课时分层训练17

课时分层训练(十七)
A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)
1．(2021·泰州二中高三月考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
[解] ρ2＝2ρcos θ，圆ρ＝2cos θ的普通方程为：
x 2＋y 2＝2x ，(x －1)2＋y 2＝1，直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的普通方程为： 3x ＋4y ＋a ＝0，又圆与直线相切，所以|3·1＋4·0＋a |
32
＋4
2
＝1，解得a ＝2或a ＝
－8.
2．(2021·苏锡常镇调研二)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M (1,2)，倾斜角为π
3.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.假设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA ·MB 的值．
[解]
直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋1
2t ，y ＝2＋3
2t
(t 为参数)，
圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.
直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得t 2＋2(3－1)t －1＝0， 设该方程两根为t 1，t 2，那么t 1·t 2＝－1. ∴MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.
3．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
[解] (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t
(t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，
所以直线CD 与l 的斜率一样，tan t ＝3，t ＝π
3. 故D 的直角坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32. 4．(2021·常州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝t ＋1，
y ＝1－2t (t 为参数)
与曲线C 2：⎩⎨⎧
x ＝a sin θ，
y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，P (m ，n )为
曲线C 2上任一点，求m ＋n 的取值范围. 【导学号：62172380】
[解] 曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，
y ＝1－2t 的直角坐标方程为y ＝3－2x ，与x 轴交点为
⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a sin θ，y ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2＋y 29＝1，与x 轴交点为(－a,0)，(a,0)，由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，所以a ＝32.
所以2m ＋n ＝3sin θ＋3cos θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4，
所以m ＋n 的取值范围为[]
－32，32.
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2021·南通模拟)在直角坐标系xOy 内，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋2t
y ＝1＋4t (t
为参数)．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4.
判断直线l 和圆C 的位置关系. 【导学号：62172381】
[解] 将⎩⎨⎧
x ＝2＋2t
y ＝1＋4t 消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x －3；由ρ
＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4得ρ＝22⎝ ⎛⎭
⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 即x 2＋y 2＝2y ＋2x ，
∴⊙C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2；
又圆心C 到直线l ：2x －y －3＝0的距离d ＝|2－1－3|22＋12＝255＜2，∴直线l
和⊙C 相交．
2．(2021·苏州市期中)平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝r cos θ＋2y ＝r sin θ＋2
(θ为参数，r ＞0)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＋1＝0.
(1)求圆C 的圆心的极坐标；
(2)当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围． [解] (1)由C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos θ＋2
y ＝r sin θ＋2得(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，
∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆， ∴圆心的极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫22，π4. (2)由l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＋1＝0得l ：x ＋y ＋1＝0，
从而圆心(2,2)到直线l 的距离为d ＝
|2＋2＋1|
2
＝5
22，
∵圆C 与直线l 有公共点，∴d ≤r ，即r ≥5
2 2.
3．(2021·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，AB
＝10，求l 的斜率．
[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. AB ＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2
＝
144cos 2α－44.
由AB ＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－15
3.
4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α(α为参
数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝ 2.
(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；
(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求P A ＋PB .
[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2
＝1，
即C 的普通方程为x 29＋y 2
＝1.
由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.
(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos π
4，
y ＝2＋t sin π
4(t
为参数)，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
2t ，y ＝2＋2
2t
(t 为参数)，
代入x 29＋y 2
＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
那么t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝27
5＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，
所以P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝182
5.。