人教版高中数学《反证法》

证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个不小于60° 证明： 假设 的三个内角∠A， ∠ B， ∠ C都小于60°， 所以∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.
1 x 1 y 与 所以 中至少有一个小于2。 y x 注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法
将两式相加得:x+y≤2，与已知x+y>2矛盾，
常用的互为否定的表述方式： ≥1 ＜1
≥3 ＜3 至少有一个 —— 一个也没有 至少有三个 ≥—— n ＜n 至多有两个 至少有n个—— ≤1 至多有(n＞ 1个 -1) 至多有一个—— 至少有两个
用反证法证明否定性命题
解题反思：
1、证明时，怎么才想到反证法的？ 2、反证法中归谬是核心步骤，上面题中得
到的逻辑矛盾是什么？
小结：
1、哪些命题适宜用反证法加以证明？
（1）直接证明有困难 （2）至多，至少型命题 （3）否定性命题 （4）唯一性命题
正难则反!
2、常见的逻辑性矛盾：
（1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与已有定义、公理、定理、事实矛盾。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
x ≠a且x ≠b 从而______________________.
直 接 证 难
练：在△ABC中,若∠C是直角，那么
∠B一定是锐角. 直角或______. 钝角 证明：假设结论不成立,则∠B是_____ 直角 ∠B+ ∠C= 180° 当∠B是_____时，则_____________
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b.
x=a x=b 证明 假设_________ 或_________,
(x-a)(x-b)=0 x = a 由于____________时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
(x-a)(x-b)=0 x=b 又_________时,_________________,
反证法
温故迎新
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法: 已知条件 分析法: 结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路， 再由综合法书写过程.
2
问题情景
A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒 谎.则C必定是在撒谎，为什么?
例2：已知x>0,y>0，x+y>2，
求证：
1 x 1 y 中至少有一个小于2。 , y x
分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至
1 x 1 y 1 x 1 y 与 证明: 假设 均不小于2，则 2, 2 y x x y ∵ x>0,y>0 ∴1+x≥2y，1+y≥2x
三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________ 矛盾；
∠B+ ∠C＞180° 钝角 当∠B是_____时，则______________
三角形的三个内角和等于180°矛盾； 这与____________________________
综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
拓展：
△ABC，三边a,b,c倒数成等差 数列 求证：B为锐角
总结回顾:
反证法的一般步骤:
与假设、已知、 定义、定理、 公理或者事实 矛盾等
归谬 结论
Hale Waihona Puke 假设假 设 命 从假设出发 题 不 成 立
引 出 矛 盾
假 设 得出结论 不 成 立
求 证 的 命 题 正 确
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。
这种证明方法就是-----
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反证法
6
反证法的证明步骤：
例1：