(完整版)等差数列求和.doc

一、等差数列的前n 项和公式
n a1 a n
S n
2
na1 n n 1
d 2
d n2 a1 d n(类似于 S n An2 Bn )
2 2
二、
（ 1）对于项数为 2k k N的等差数列，有
S
2 k k a
k
a
k 1
S奇 =ka k
S偶ka k 1
S偶 -S奇kd
S奇a k
S偶a k 1
（ 2) 对于项数为 2k 1 k N 的等差数列，有S
2 k 1 2k 1 a k
S奇ka k
S偶k 1 a k
S奇 -S偶a k a中
S奇k
S偶k 1
例：已知等差数列a n的前 n 项和为 377，项数 n 为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为 7:6 ，求中项。

解：设 n 2k 1 k N ，则中项为 a k，
S n S
2k
1 2k 1 a k 377
S奇k 7
S偶k 1 6 解得 k 7, a7 S
13 377 ，13
29
13
即中项为 29
三、等差数列的前n 项和的最值
公差 d 0 a n 为递增等差数列， S n有最小值。

公差 d 0 a n 为递减等差数列， S n有最大值。

公差 d 0 a n 为常数列。

特别地，当 a1 0, d 0时， S n有最大值（所有非负项之和）
当 a1 0, d 0 时，S n有最小值（所有非正项之和）。

例：在等差数列a n中，已知a120 ，前n项和为 S n，且 S10S15，求当n取何值时， S n取最大值，并求此最大值。

解法一：根据题意可得
10 20 10 9 d 15 20 15 14 d
2 2
得 d 3 5
可求 a n 5 n 65
3 3
所以 a13 0 ，
即当 n 12时，a n 0 ；
当n 14时，a n0。

所以当 n12或13 时，S n有最大值，
且最大值为 S12S13130
解法二：根据题意，S n An2Bn A 0 ，如图所示
由 S10 S
15 ，得当 n 12或13时，S n取最大值，
a1 A B 20, B 25 ，
2 A 2 得 S n 5 n2125 n ，
6 6
可求得 S12 130
解法三、由S
10
S
15知 a11 a
12 a13 a14 a15 0 ，即 5a13 0 ，
得 a13 0 ， d 5
，故当 n 12或13 时，S n取最大值，3
最大值为 S12 S13 13 a1 a
13
130
2
求等差数列前n 项和S n的最值常用方法：利用等差数列单调性或性质求出正负转折项；或根据二次函数图像的性质求最值。

四、等差数列的性质
等差数列a n，公差为 d ，前 n 项和为S n，则：
（ 1）等长度截取，S k, S2 k S k , S3k S2 k ,L 成等差数列公差为 k 2 d
（ 2）算术平均值，S
1,
S
2 ,
S
3 ,L 为等差数列，公差为
d
1 2 3 2
若 a n与 b n为等差数列，且前 n 项和为S n与T n，则a
m
S
2m 1 b m
T
2m 1
例设n是等差数列
a n 的前 n 项和，若
S
4 1 ，则 S8 _____。

S S
8 3S16
解：因为 S4 , S8 S4 , S12 S8 , S16 S12成等差数列，设 S4 m, S8 3m 则
S8 S4 2m, S12 S8 3m, S16 S
12 4m ，则 S16 10m ，所以
S
8 3 。

S
16 10
解
已知两个等差数列a n和 b n 前 n 项和分别为A n和B n，且A
n
7n
45
，则使B n n 3
得a
n为整数的正整数 n 的个数是 _____ b n
解：
a n
b n
2n 1 a n
2n 1 b n
A
B2n 1
7 2n 145
2n 1 3 7n19
n 1
12
7
n 1
所以 n 1 2,3,4,6,12 即 n 1,2,3,5,,11 共5个数。

五、等差数列a n各项取绝对值后组成的数列a n的前n项和
例：已知数列a n的通项a n 11 2n n N ，求数列a n的前n项和 T n。

解：由 a n 11 2n 0 得n 5.5，
即当 n 5 时， a n 11 2n ，
当 n 6 时， a n 2n 11，
所以当 n 5 时， T n a1 a2 L a n 10n n2
T n a1 a2 L a5 a6 a7 L a n
当 n 6 时，a1 a2 L a n 2 a1 a2 L a5
n2 10n 50
故数列
a n 的前 n 项和T
n 10n n2 n 5, n N
n2 10 n 50 n 6, n N
含绝对值的数列求前n 项和注意分类讨论。