九下第3章 圆(知识清单)

九下第3章圆知识清单
一、圆及与的相关的概念
圆的定义
1）圆：
描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。

记作：“⊙O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心
集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。

2）基本概念
①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径）
②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦）
③直径：经过圆心的弦（如AB）
̂）
④弧：圆上任意两点间的部分（如AC
⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆
⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等）
3）确定一个圆的两要素（圆心、半径）
4）圆的任一半径长度都相等
5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度
6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。

也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等；7）C=2πr S=πr2
注：①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆。

通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；
③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。

2.弦与直径、弧与半圆
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB ；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 3.同心圆和等圆
同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。

如图2所示：
图2 图3
等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。

注：同圆或等圆的半径相等。

如图3.等圆与位置无关 等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合．．．．．．的弧叫做等弧。

注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。

二、圆的对称性
1.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 2.弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o 的圆心角，我们也称这样的弧为1o 的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
三、垂径定理及推论和重要公式
B A
C
O
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。

证明：连AO 、BO
∵CD ⊥AB ∴∠AEC =∠CEB =90°
又∵OE =OE ，OA =OB ∴△OAE ≌△OBE （HL ） ∴AE =EB ，∴AD ̂=BD ̂ AC ̂=CB ̂ 2）知二推三（推论）
①CD 过圆心（直径/半径）；②CD 垂直弦AB ；③CD 平分AB ；④AC
̂=CB ̂；⑤AD ̂=BD ̂ 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。

3）重要公式：设半径为r ，|AB |=a ，|OE |=d ，根据勾股定理：222
()2a
r d =+
圆中常用的辅助线：连OB ，作OE 垂直弦AB ，构造出直角三角形。

四：圆周角定理及推论
1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等
∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等 2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系：
即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。

3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。

（因为圆心角为180°） 4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆
证明：∵∠A =90° ∴△ACB 外接圆的圆心在CB 上，且C B 为直径 ∵∠D =90° ∴△BCD 外接圆的圆心在CB 上，且CB 为直径 ∴四点共圆
五、确定圆的条件
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。

1）经过一个已知点A可画无数个圆。

1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内
2）设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则：
P在圆外⟺d>r；P在圆上⟺d=r； P在圆内⟺d<r
六、直线与圆的位置关系
1.直线和圆有几种位置关系
如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，•这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
2.切线的判定和性质
l
(a)(b)
相离
(c)
1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径
2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
4.弦切角定理及其逆定理
弦切角定理逆定理
七、切线长定理
切线长与切线长定理
八、圆内接正多边形
把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
九.正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
十、正多边形的相关计算
设正n边形的半径长为 R n、中心角为αn、边长为a n、边心距为r n，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积.
十一、弧长的计算
在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l ＝n πR
180
．
十二、与扇形有关的面积计算
在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的扇形(弧长为l )面积的计算公式为：S 扇形＝n πR 2360
＝1
2
lR .。