2019年苏教版数学必修三第2章 2.1 抽样方法

2.1 抽样方法
学习目标：1.通过对实例的分析，了解简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的意义以及它们之间的联系和区别．(重点、难点、易混点)2.掌握用抽签法、随机数表法、系统抽样法以及系统抽样法抽取样本的步骤．(重点)3.会根据不同抽样方法的特点，进行相关的计算．(重点)
[自主预习·探新知]
1．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．
(2)常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．
(3)抽签法的操作步骤
①将总体中的N个个体编号；
②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．
(4)随机数表法抽取样本的步骤
①将总体中的个体编号(每个号码位数一致)；
②在随机数表中任选一个数作为开始；
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；
④根据选定的号码抽取样本．
2．分层抽样
(1)分层抽样的概念
当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法称为分层抽样．
(2)分层抽样的步骤
①将总体按一定标准分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．
[基础自测]
1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是________．
①从无限多个个体中抽取100个个体作样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验．(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)
③[判断一个抽样是否为简单随机抽样，关键在于判断它们是否符合“有限”“逐个”“不放回”“等可能”等特点．依据简单随机抽样的这些特点，知①②不对，③对．]
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．
01[由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.]
3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分
学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．最合理的抽样方法是________．
按学段分层抽样 [由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样．]
4．①某班期中考试有10人在85分以上，25人在60～84分，5人不及格，欲从中抽出8人参加改进教学研讨；②某班级举行元旦晚会，要产生两名“幸运者”，则合适的抽样方法分别为________．
分层抽样，简单随机抽样 [结合三种抽样方法的特点判断．]
5．某校高中部有学生950人，其中高一年级学生350人、高二年级学生400人，其余为高三年级学生．若采用分层抽样的方法从高中部所有学生中抽取一个容量为190的样本，则从每个年级中应抽取多少人？
【导学号：20132079】
[解析] 采用分层抽样，抽取时要按各部分所占的比进行抽取．
[解] 由题意知，高一、高二、高三年级学生人数分别为350,400,200，由于总体的个体数N ＝950，样本容量n ＝190，n ∶N ＝1∶5，所以，从高一年级中应
抽取的学生数为350×15＝70，从高二年级中应抽取的学生数为400×15＝80，从高
三年级中应抽取的学生数为200×15＝40.
因此，从高一、高二、高三年级中应抽取的学生数分别为70,80,40.
[合 作 探 究·攻 重 难]
下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取20个个体作为样本；
(2)从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检测；
(3)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
【导学号：20132080】[解析]简单随机抽样主要有四个特点：①总体的个体数有限；②逐个抽取；
③不放回；④等可能．根据简单随机抽样的特点逐一判断即可．
[解](1)不是简单随机抽样．因为总体的个体数是无限的，而不是有限的．
(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样的定义要求的是“逐个”抽取．
(3)不是简单随机抽样．因为是指定个子最高的5名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，所以不是等可能抽样．
(4)是简单随机抽样．因为总体的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能抽取．
[规律方法] 1.要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：总体有限、逐个抽取、无放回抽样、等可能抽取.
2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀.一般地，当总体容量和样本容量都较少时可用抽签法.
3.利用随机数表法抽取个体时，关键是先确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以哪个方向作为读数的方向.需注意读数时结合编号特点进行读取，编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取.
[跟踪训练]
1．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是________．
1 10，1
10[简单随机抽样中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，都为1 10.]
2．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是________．
①要求总体的个数有限；
②从总体中逐个抽取；
③它是一种不放回抽样；
④每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．
④[由简单随机抽样的特点知④不对．]
一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
【导学号：20132082】[解析]由于职工年龄与这项指标有关，故应分层抽样来抽取样本．
[解]用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100
500＝
1
5，则在不到35岁的职工中抽
125×1
5＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽280×1
5＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽95×1
5＝19(人)．
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．
(4)综合各层抽样，组成样本．
[规律方法] 1.当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样.,2.利用分层抽样抽取样本的操作步骤为：
(1)将总体按一定标准进行分层
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；
(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)；
(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本.
3.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式：
(1)
样本容量n
总体的个数N
＝
各层抽取的个体数
该层的个体数
；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.
[跟踪训练]
3．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是________．
①从10名同学中抽取3人参加座谈会；
②某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本；
③从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间；
④从生产流水线上，抽取样本检查产品质量．
②[①中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；③和④中总体所含个体无差异且个数较多，适合用系统抽样；②中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．]
4．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是________．
9,7[抽样比为
16
54＋42
＝
1
6，则一班和二班分别被抽取的人数是54×
1
6＝
9,42×1
6＝7.]
[探究问题
1．简单随机抽样、分层抽样有何区别与联系？
提示：三种抽样方法的区别与联系归纳如下表：
2.简单随机抽样、分层抽样的一般步骤分别是什么？
提示：(1)常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．
①用抽签法从个体数为N的总体中，抽取一个容量为k的样本的一般步骤为：
第一步将总体中的N个个体编号；
第二步将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
第三步将号签放在同一个不透明的箱中，并搅拌均匀；
第四步从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；
第五步将总体中与抽到的号签编号一致的k个个体取出．
②利用随机数表法抽取样本的一般步骤：
第一步将总体中的个体编号(每个号码位数一致)；
第二步在随机数表中任选一个数；
第三步从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出，若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到
取满为止；
第四步根据选定的号码抽取样本．
(2)分层抽样的步骤：
①将总体按一定标准分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．
为考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本年度考试成绩进行考察．为全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，假定该校每班人数都相同，且高三年级共有学生700人)．
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；
②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面两种抽取方法各自抽取样本的步骤．
思路探究：对照两种抽样方法的特点及适用范围判断求解．一旦确定了抽取样本的方法，就依据该抽取样本方法的一般操作步骤进行．
[解析]①总体：在一个统计问题中所要考察对象的全体叫总体．
②个体：总体中的每个考察对象叫个体．
③样本：从总体中抽取的一部分个体叫样本．
④样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
[解](1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)上面两种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步按成绩分层，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；
第二步确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为
100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为105
7，
420
7，
175
7，即15,60,25；
第三步各层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人；
第四步将所抽取的个体组合在一起构成样本．
[规律方法] 1.简单随机抽样、分层抽样是两种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用.
2.两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联
系.在应用时要根据实际情况选取合适的方法.
3.两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的.
[提醒]选择抽样方法的规律：
(1)当容量较小样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅拌，可采用抽签法.
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法.
(3)当总体由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样.
母题探究：1.下列问题中，采用怎样的方法较为合理？
(1)从高二(3)班10名获奖学生中抽取2名介绍学习方法；
(2)某校有在校高中生共1 600人，其中女生780人，男生820人，为调查学生的消费情况，需抽取一个容量为80的样本．
[解析]依据两种抽样方法各自特点及选择抽样方法的规律作判断．
[解](1)总体容量较小宜用抽签法；
(2)因女生与男生的消费情况有明显差异，宜用分层抽样．
2．某生产企业共有800人，其中管理人员40人、技术人员120人、一线工人640人．现要调查了解全厂人员的家庭人均生活费用情况．试用恰当的抽样方法抽取一个容量为40的样本，并简要说明操作过程．
[解析]家庭人均生活费用的差别与人员职务有关，故应采用分层抽样的方法．
[解]调查了解家庭人均生活费用情况应采用分层抽样的方法．三类人员的
人数比为40∶120∶640＝1∶3∶16，所以分别抽取40×1
20＝2(人)，120×1
20＝
6(人)，640×1
20＝32(人)．又由于管理人员、技术人员人数较少，故可采用抽签法，而一线工人人数较多，可采用随机数表法．
[当堂达标·固双基]
1．为了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．(填序号)
①2 000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④样本容量为20；⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑥每个运动员被抽到的机会相等．
④⑤⑥[①2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体．②每个运动员的年龄是个体．③20名运动员的年龄是一个样本，考察对象是运动员的年龄而不是运动员，故①②③都不对，④⑤⑥正确．]
2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
16[150＋150＋400＋300＝1 000，从1 000人中抽40人，抽样比为
40
1 000＝
1
25，则应从丙专业中抽取400×1
25＝16(人)．]
3．一个总体中有100个个体，随机编号为00,01,02，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________.
【导学号：20132084】63[按照规定，如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，因为m＝6，所以，当k＝7时，m＋k＝13，它的个位数字是3，因此第7组抽取的号码是63.]
4．要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验．利用随机数表法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号：________.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
785,567,199,507,175[采用随机数表法抽取样本时，在读数的过程中一定要注意，每一次读取的数位应该与编号的数位一致．本题的编号是三位数，因此读取的时候应该是每三个数一组地读取．
从第8行第7列的数7开始，向右读下去，得到第一个三位数字号码为785，因为其在0～799之间，故将它取出；继续读下去，又得到916,955，由于它们大于799，将它们去掉；继续向右读，得到567,199，将它们取出；随后的三位数字号码是810，由于它大于799，将它去掉；再继续下去，得到507,175.至此，5个样本已经取满，于是，所要抽取的样本号码是：785,567,199,507,175.] 5．在一批产品中，有一级品100个、二级品60个、三级品40个，用分层抽样的方法从这批产品中抽取容量为20的样本．
[解析]分层抽样法：总体的个体数N＝200，样本容量n＝20，n∶N＝1∶10，从各个级别的产品中按照这个比例抽取即可得到应抽取的产品．
[解]第一步将总体分层，由题意可知应将总体分为三层；
第二步由题意知一级品、二级品、三级品分别有100个、60个、40个，由于总体的个数N＝200，样本容量n＝20，可得n∶N＝1∶10；
第三步需要从一级品中抽取100×1
10＝10(个)，从二级品中抽取60×1
10＝
6(个)，从三级品中抽取40×1
10＝4(个)；
第四步将一级品的100个产品按00,01,02，...，99编号，将二级品的60个产品按00,01,02，...，59编号，将三级品的40个产品按00,01,02， (39)
号，采用随机数表法，分别从中抽取10个、6个、4个个体，这样就得到了一个容量为20的样本．。