北京市西城区第二次数学模拟考试

北京市西城区第二次模拟考试
数 学 试 题
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 参考公式：
三角函数的积化和差公式
ｓｉｎαcos β＝)]sin()[sin(21βαβα-++ cos αｓｉｎβ＝)]sin()[sin(21
βαβα--+
cos αcos β＝)]cos()[cos(21
βαβα-++
sin αsin β＝－)]cos()[cos(2
1
βαβα--+
正棱台、圆台的侧面积公式
l c c S )(2
1
+'=
台侧 其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长. 台体的体积公式
Ｖ台体＝h S S S S )(3
1+'+'
其中S ′、S 分别表示上、下底面的面积，ｈ表示高.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M =｛a ,0｝,N ＝｛x ｜x 2-3x ＜0,x ∈Z ｝,若M ∩N ≠?，则a 等于
或2
2.从4台A 型笔记本电脑和5台B 型笔记本电脑中任意选取3台，其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有
A ．140种
B ．84种
C ．70种
D ．35种
3.复数z 满足arg(z +2)=
4
π
，则｜z -2｜的最小值是 A ．1
3
2
4.设O 是矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为轴旋转这个矩形所得的圆柱体的体积为V ，其中以OA 为母线的圆锥的体积为
4V
，则以OB 为母线的圆锥的体积等于
A. 4V
B. 9
V
C. 12V
D. 15V
5.将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线
C ′，若曲线C ′的方
程
为15
42
2=-y x ，则曲线C 的焦点坐标为 A.(6，-1)，(0，-1) B.(-6，1)，(0，1) C.(-3，2)，(-3，-4) D.(3，2)，(3，-4)
6.(理)设α=arccos(-
)2
1arcctg(-),45=β,则 A.α＞β B.α=β C.α＜β D.α+β=0
(文)已知α，β∈(
2
π
，π)且cos α＋sin β＞0，则下列不等式成立的是 A.α＋β＜π B.α+β＞2
3π
C.α+β=23π
D.α+β＜2
3π
7.若圆x 2+y 2=r 2(r ＞0)上恰有相异两点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是
A.［４，６］
B.［４，６）
C.（４，６]
D.（４，６）
8.如图，P A 为圆柱的母线，AB 为底面圆的直径，C 为下底面圆周上一点，∠CAB =α,∠PBA =θ,∠CPB =β，则
A.αβθβαθsin sin sin
B. sin sin cos =⋅=⋅
C.αβθβαθcos sin cos
D. cos cos cos =⋅=⋅ 9.为了使函数y =sin wx (w ＞0)在区间［0，1］上至少出现50次最
大值，则w 的最小值是
π B.
2197π C.π2
199
π
10.如图，三棱台ABC —111C B A 中，已知
21111,S S S S C B A ABC ==∆∆,高为h ，则四面体ACB 1C 1的体积为
A.2131
S S h B. 131hS
C. 23
1hS D. )(31
2121S S S S h ++
11.
在
x x f x f x x f x x f x 2
143222
1
1log )(,2)(,)(,)(====四个函数中，当
x 1＞x 2＞1
时，使
)2
()]()([21
2121x x f x f x f ++π成立的函数是 A.2
22
11)(B. )(x x f x x f ==
C.x x f x f x
2
143log )(D. 2)(==
12.已知双曲线12222=-b y a x 和椭圆122
22=+b
y m x (a ＞0,m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长
的三角形是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角或钝角三角形
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.数列｛a n ｝满足a 1=
,,2
1
221n n a n a a a ⋅=+++Λ则数列｛a n ｝的通项公式a n = . 14.设F 1、F 2是椭圆14
32
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且｜PF 1｜－｜PF 2｜=1，则(理)tg F 1PF 2= .
(文)cos F 1PF 2= . 15.一扇形铁皮AOB ，半径OA =72cm,圆心角∠AOB =60°，现剪下一个扇环ABCD 做圆台形容器的侧面，并从剩下的扇形OCD 内剪下一个最大的圆刚好做容器的下
底(圆台的下底面大于上底面)(如图)，则OC 的长为 .
16.设函数f (x )=sin(wx +ϕ)(w ＞0,－2π＜ϕ＜2
π
).给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x =12
π
对称； ②它的图象关于点(3
π
，0)对称； ③它的周期是π； ④在区间［－
6
π
，0)上是增函数. 以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题： (1) ； (2) .
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 解不等式]124
[log )
2(2--x ≤x -2.
18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对应边分别为a ,b ,c,且a ,b ,c 成等差数列.
（Ⅰ）求证：;2
cos 22cos
C
A C A +=- (Ⅱ)求cos A +cos C -cos A cos C +3
1
sin A sin C 的值.
19.(本小题满分12分)
如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，P A =AD =a ,M ,N 分别
是AB ，PC 的中点.
(Ⅰ)求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小； (Ⅱ)(理)求证：平面MND ⊥平面PCD ； (文)求证MN ⊥平面PCD ； (Ⅲ)当AB 的长度变化时，求异面直线PC 与AD 所成角的可能范围.
20.(本小题满分13分)
已知双曲线C 1和椭圆C 2：124
)1(49)2(22=-++y x 有公共的焦点，它们的离心率分别是e 1和e 2，且21
121=+
e e . (Ⅰ)求双曲线C 1的方程；
(Ⅱ)圆D 经过双曲线C 1的两个焦点，且与x 轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D 的方程. 21.(本小题满分12分)
市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %(x ＞0)，销售数量就减少kx %(其中k 为正常数).目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个.
(Ⅰ)当k =
2
1
时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大 (Ⅱ)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加．．．．时k 的取值范围. 22.(本小题满分13分)
｛a n ｝，｛b n ｝都是各项为正的数列，对任意的自然数n ,都有a n ,12
,+n n a b 成等差数列，2
112,,++n n n b a b 成等比数列，
(Ⅰ)试问｛b n ｝是否是等差数列为什么
(Ⅱ)(理)求证：对任意的自然数p ,q (p ＞q ),22q p q p b b +-+≥22p b 成立；
(Ⅲ)如果,111,2,12111n
n a a a S b a +++=
==Λ求.lim n n S ∞→。