初三数学教材班——3、2平行四边形的判定2星

————平行四边形的判定(★★)
1、掌握平行四边形的判定定理；
2、会用判定定理证明平行
建议5分钟
问题引入：
平行四边形性质：
定理：平行四边形的对边平行；
定理：平行四边形的对边相等；
定理：平行四边形的对角相等；
定理：平行四边形的对角线互相平分。

怎样判定平行四边形呢？
建议5分钟
平行四边形的判定：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．
建议20分钟
1．(★★)（2010•常德）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边
形，则应添加的条件是AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
开放型．
分
析：
本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
解
答：
解：可添加的条件有：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等，答案不唯一；
以∠A=∠C为例进行说明；
证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°；
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°；
∴AD∥BC；
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）
点
评：
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答此类题的关
键．
2．(★★)（2009•郴州）如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件AD=BC （写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）
题型1 添加条件
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
开放型．
分析：可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
解答：解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC 故答案为AD=BC（答案不唯一）．
点评：此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
3．(★★)（2010•闵行区三模）在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD=∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是AB=CD或AD∥BC（只需写出一种情况）．
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
开放型．
分析：用反推法，如果四边形ABCD是平行四边形，会推出什么结论，那么这些结论就是我们要添加的条件．
解答：解：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形；或添AD∥BC，根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形．
点评：解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
1．(★★)在四边形ABCD中，已知∠A+∠B=180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是AB∥CD．（只需填写一种情况）
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
开放型．
分由条件∠A+∠B=180°可推出AD∥BC，再加上条件AB∥CD，可以根据两组对边分
析：别平行的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形．
解答：解：添加条件AB∥CD，
∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：AB∥CD．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．(★★)如图，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件是：AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°．
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
开放型．
分析：根据平行四边形的判定，还需补充的一个条件是：①AD∥BC、②AB=CD、③∠A+∠B=180°、④∠C+∠D=180°，任何一个即可．
解答：解：根据平行四边形的判定：①AD∥BC、②AB=CD、③∠A+∠B=180°、④∠C+∠D=180°，任选一个即可．
故答案为AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°
点评：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
3．(★★)（2010•贵港）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，若再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形，则这个条件可以是AD=BC．（写出一个条件即可，不再添加辅助线）
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
开放型．
分析：本题是开放题，可以针对平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
解答：解：添加条件AD=BC，可得出该四边形是平行四边形；
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD成为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）故答案为AD=BC（答案不唯一）
点评：解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
1．(★★)（2011•德州）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个
数为3．
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析：根据三角形中位线的性质定理，可以推出DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE，根据平行四边形的判定定理，即可推出有三个平行四边形．
解答：解：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点
∴DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE ∴四边形ADEF、DECF、DFEB分别为平行四边形
故答案为3．
点评：本题主要考查平行四边的判定定理以及三角形中位线定理，关键在于找出相等而且平行的对边．
2．(★★)（2010•红河州）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
题型2 数平行四边形
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．专
题：
规律型．
分析：根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
解答：解：在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
点评：本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．由特殊到一般，善于从中找出规律是关键．
1．(★★)（2011•天津）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为3．
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析：由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF=AD，EF=DB，DF∥BC且DF=CE，所以得到3个平行四边形．
解解：已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
答：∴EF∥AB且EF=AD，EF=DB，
DF∥BC且DF=CE，
∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形，故答案为：3．
点评：此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是有三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形．
2．(★★)如图，△ABC、△ACE、△ECD
都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些
▱ABCE▱ACDE．
考
点：
平行四边形的判定；等边三角形的性质．
分析：根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形．
解答：解：∵∠B=60°，∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+60°=120°，∴AE∥BD，
∵AE=BC=CD，
∴四边形AECB，AEDC是平行四边形．
故答案为▱ABCE，▱ACDE．
点评：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
1．(★★)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有①②③组．
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
常规题型．
分析：根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
题型3组合判定平行四边形
解答：解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知
③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故答案为：①②③．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理，难度一般．
2．(★★)（2013•荆门）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）
A ．3种B
．
4种C
．
5种D
．
6种
考
点：
平行四边形的判定．
分
析：
根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
解答：解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
故选：B．
点
评：
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
1．(★★)（2011•泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）
A ．1组B
．
2组C
．
3组D
．
4组
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
几何综合题．
分
析：
根据平行四边形的判断定理可作出判断．
解答：解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知
①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故选：C，
点
评：
此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是做题的关键．2．(★★)请从①AB∥CD；②BC=AD；③BC∥AD；④AB=CD这四个条件中选取两个，使
四边形ABCD
成为平行四边形：1与3，或2与4，或1与4，或2与3．（只需填写所
选取的两个条件的序号即可）
考
点：
平行四边形的判定．专
题：
开放型．
分析：根据平行四边形的判定方法，①与③，②与④，①与④，②与③均可得证四边形是平行四边形
解答：证明：①、③：根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可证出；
②、④：根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形即可证出；
①、④：根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证出；
②、③：根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证出．
点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
1．(★★)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．考平行四边形的判定；三角形中位线定理．
题型4 中点四边形
点：
分析：连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
解
答：
解：（如图）根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD
∴EH=FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
点
评：
此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况，综合利用了中位线定理．
1．(★★)（2009•茂名）杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（）
A ．平行四边形B
．
矩形C
．
正方形D
．
菱形
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．专
题：
应用题．
分析：根据中位线定理可知，四边形EFGH的对边平行且相等，所以四边形EFGH是平行四边形．
解答：解：连接AC，BD．
利用三角形的中位线定理可得EH∥FG，EH=FG．∴这块草地的形状是平行四边形．
故选A．
点本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
评：
1．(★★)（2010•宁夏）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（）
A ．1个B
．
2个C
．
3个D
．
4个
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
数形结合．
分
析：
根据平面的性质和平行四边形的判定求解．
解答：解：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．
故选C．
点评：解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．注意图形结合的解题思想．
2．(★★)在平面直角坐标系XOY中，有A（3，2），B （﹣1，﹣4 ），P是X轴上的一点，Q是Y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
考
点：
平行四边形的判定；坐标与图形性质．
分析：如图，当AB为边，①当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，结合图形分别得出即可．
解答：解：如图所示，
当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，∴Q2点的坐标是：（0，﹣6），
题型5 三定一动确定平行四边形
②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，
∴Q点的坐标是：（0，6），
当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，
∴Q1点的坐标是：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
点评：此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键．
1．(★★)如图，在直角坐标平面内的△ABC中，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（5，5），要使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且点D坐标在第一象限，那么点D的坐标是（2，5）或（8，5）．
考
点：
平行四边形的判定；坐标与图形性质．
专
题：
数形结合；分类讨论．
分析：根据平行四边形的性质，可知CD∥AB，所以点D的纵坐标是5，再由AB间的距离即可推导出点D的纵坐标．
解答：解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；
又由A点相对于B点横坐标移动了3﹣0=3，故可得点D横坐标为5﹣3=2，即顶点
D的坐标（2，5）；
再由B点相对于A点横坐标移动了0+3=3，故可得点D横坐标为5+3=8，即顶点D 的坐标（8，5）．
故答案为：（2，5）或（8，5）．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定和坐标与图形的性质，同时又考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合．
2．(★★)（2008•南宁）以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（）
A ．1个B
．
2个C
．
3个D
．
4个
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分
析：
根据中位线定理和平行四边形的判定，可知图中有3个平行四边形．
解答：解：如下图所示，
E、F、G分别是△ABC的边AB、边BC、边CA的中点，根据三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可知图中四边形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四边形．
故选C．
点评：本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础．
1．(★★★)（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
题型6 判定综合应用
考
点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分
析：
（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；
（2）当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=或AB=2AC．
解答：（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE=AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC．
∴当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
点评：此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
2．(★★★)（2013•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专
题：
证明题．
分析：首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
解答：证明：∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
1．(★★★)（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定．
专
题：
证明题．
分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解答：证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．(★★)（2012•淄博）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE．求证四边形AECF是平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定．
专
题：
证明题．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AF∥CE，又AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ∴AF∥CE．
又∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
点
评：
此题主要考查平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（学生总结，老师点评）
平行四边形的判定定理有哪些？
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．
建议10分钟满分35分
1．．(★★)（2012•广元）若以A（﹣0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）
A ．第一象限B
．
第二象限C
．
第三象限D
．
第四象限
考
点：
平行四边形的判定；坐标与图形性质．
专
题：
数形结合．
分析：令点A为（﹣0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
解
答：
解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选C
点评：本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．
2．．(★★)（2011•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A ．平行四边形B
．
矩形C
．
菱形D
．
正方形
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
解答：解：根据三角形中位线定理，可知边连接后的四边形的两组对边相等，再根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形．故选A．
点
评：
本题用到的知识点为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
3．．(★★)（2009•威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（）
A AD=BC
B CD=BF C∠A=∠
C D∠F=∠CDE
．．．．
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析：把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC∥AB．
解答：解：∵∠F=∠CDE
∴CD∥AF
在△DEC与△FEB中，∠DCE=∠EBF，CE=BE（点E为BC的中点），∠CED=∠BEF ∴△DEC≌△FEB
∴DC=BF，∠C=∠EBF
∴AB∥DC
∵AB=BF
∴DC=AB
∴四边形ABCD为平行四边形
故选D．
点评：本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．．(★★)顺次连接梯形四边中点，所成的四边形是（）
A ．梯形B
．
平行四边形C
．
矩形D
．
菱形
考
点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析：连接梯形的两条对角线，根据中位线定理，可得所成的四边形的两组对边与两条对角线平行，则两组对边分别平行，则所成的四边形是平行四边形．
解答：解：如图，连接BD
∵E、H分别为AB、AD的中点∴EH=BD且EH∥BD
同理GF=BD且GF∥BD
∴EH=FG且EH∥FG
∴四边形EFGH为平行四边形（本题也可以连接AC）
故选B．
点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。