苏科初一下学期月考数学试卷(含答案)

苏科初一下学期月考数学试卷(含答案)
一、选择题
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）.
A ．x （a-b ）=ax-bx
B ．x 2-1+y 2=（x-1）（x+1）+y 2
C ．y 2-1=（y+1）（y-1）
D ．ax+bx+c=x （a+b ）+c 2．若2200.3,3,(3)a b c -==-=-，那么a 、b 、c 三数的大小为（ ）．
A ．a c b >>
B ．c a b >>
C ．a b c >>
D ．c b a >> 3．若a ＝－0.32，b ＝－3－2，c =21()2--，d ＝01()3-，则它们的大小关系是( )
A ．a ＜b ＜c ＜d
B ．a ＜d ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜d ＜c
D ．c ＜a ＜d ＜b 4．把面值20元的纸币换成1元或5元的纸币，则换法共有 ( ) A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种 5．下列线段能构成三角形的是（ ） A ．2，2，4
B ．3，4，5
C ．1，2，3
D ．2，3，6 6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．12
B ．15
C ．12或15
D ．18 7．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是
( )
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()a b a b -=-
C ．2()b a b ab b -=-
D ．2()ab b b a b -=- 8．下列各式中，计算结果为x 2﹣1的是（ ） A ．()21x - B ．()(1)1x x -+-
C ．()(1)1x x +-
D ．()()12x x -+ 9．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知直线AB ∥CD ，115C ∠=︒，25A ∠=︒，则E ∠=（ ）
A ．25︒
B ．65︒
C ．90︒
D ．115︒
11．下列运算正确的是（ ）
A ．236x x x ⋅=
B ．224(2)4x x -=-
C ．326()x x =
D ．55x x x ÷=
12．.已知2x a y =⎧⎨=-⎩
是关于x ，y 的方程3x ﹣ay ＝5的一个解，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题
13．若等式0
(2)1x -=成立，则x 的取值范围是_________． 14．如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点O ，若∠A ＝50°，则∠BOC ＝_____．
15．已知22a b -=，则24a b ÷的值是____．
16．因式分解：224x x -=_________．
17．若（x ﹣2）x ＝1，则x ＝___．
18．学校计划购买A 和B 两种品牌的足球，已知一个A 品牌足球60元，一个B 品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有_________种．
19．如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 依次是各边中点，O 是形内一点，若四边形AEOH 、四边形BFOE 、四边形CGOF 的面积分别为6、7、8，四边形DHOG 面积为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
20．如果关于x 的方程4232x m x -=+和23x x =-的解相同，那么m=________．
21．已知满足不等式()()325416x x -+<-+的最小整数解是方程23x ax -=的解，则a 的值为________．
22．把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有_____种．
23．一个容量为40的样本的最大值为35，最小值为15，若取组距为4，则应该分的组数是为_______．
24．若a m ＝2，a n ＝3，则a m +n 的值是_____．
三、解答题
25．如图，在方格纸内将ABC ∆水平向右平移4个单位得到'''A B C ∆．
（1）补全'''A B C ∆，利用网格点和直尺画图；
（2）图中AC 与''A C 的位置关系是： ；
（3）画出ABC ∆中AB 边上的中线CE ；
（4）平移过程中，线段AC 扫过的面积是： ．
26．A 市准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍．
（1）求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案．
27．已知a ＋b =5，ab =－2．求下列代数式的值：
（1）22a b +；（2）22232a ab b -+．
28．如图，在△ABC 中，∠ABC =56º，∠ACB =44º，AD 是BC 边上的高，AE 是△ABC 的角平分线，求出∠DAE 的度数．
29．⑴ 如图，试用a 的代数式表示图形中阴影部分的面积；
⑵ 当a ＝2时，计算图中阴影部分的面积．
30．如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠1＝∠2，若∠A＝65°，∠B＝45°，求∠AGD的度数．
31．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（探究1）：如图1，在ΔABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分
析发现∠BOC=90º+1
2
∠A，（请补齐空白处
．．．．．．）
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2
∠ABC，_________________，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180º－∠A）=90º－
1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+12∠A ． （探究2）：如图2，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由． （应用）：如图3，在RtΔAOB 中，∠AOB=90º，已知AB 不平行与CD ，AC 、BD 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，又CE 、DE 分别是∠ACD 和∠BDC 的角平分线，则∠E=_______；
（拓展）：如图4，直线MN 与直线PQ 相交于O ，∠MOQ=60º，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其延长线交于E 、F ，在ΔAEF 中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
∠ABO=______．
32．如果a c ＝b ，那么我们规定（a ，b ）＝c ．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ； （2）记（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ．判断a ，b ，c 之间的等量关系，并说明理由．
33．如图，一个三角形的纸片ABC ，其中∠A=∠C ,
（1）把△ABC 纸片按 (如图1) 所示折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，DE 是折痕．说明 BC ∥DF ；
（2）把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内时 (如图2)，探索∠C 与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
（3）当点A 落在四边形BCED 外时 (如图3)，探索∠C 与∠1、∠2之间的大小关系.(直接写出结论)
34．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到222()2a b a ab b +=++这个等式，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ．
（4）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张长宽分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为2)(4)a b a b ++(的长方形，则x y z ++= ．
35．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
①如图a ，若//AB CD ，点P 在AB 、CD 外部，则BPD ∠、B 、D ∠之间有何数量关系？
解：BPD B D ∠=∠-∠．
证明：∵//AB CD ，∴B BOD ∠=∠，
又∵POD BOD ∠+∠=______，
在POD 中，由三角形内角和定理可得____________180POD ∠+∠+∠=︒， 故______BPD D ∠=∠+∠，从而得BPD B D ∠=∠-∠．
②若//AB CD ，将点P 移到AB 、CD 内部，如图b ，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD ∠、B 、D ∠之间有何数量关系？请证明你的结论； ③在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图c ，则BPD ∠、B 、D ∠、BQD ∠之间有何数量关系？请证明你的结论；
36．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，ΔABC 经过平移后得到ΔA B C '''，图中标出了点B 的对应点B '，点A '、C '分别是A 、C 的对应点．
（1）画出平移后的ΔA B C '''；
（2）连接BB '、CC '，那么线段BB '与CC '的关系是_________；
（3）四边形BCC B ''的面积为_______．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
A. 是整式的乘法，故A 错误；
B. 没把一个多项式转化成几个整式积，故B 错误；
C. 把一个多项式转化成几个整式积，故C 正确；
D. 没把一个多项式转化成几个整式积，故D 错误；
故选C.
2．B
解析：B
【分析】
先根据乘方运算法则、负整数指数幂及零指数幂分别计算，再判断大小即可得．
【详解】
解：a=0.32=0.09，b= -3-2=19
-
，c=（-3）0=1， ∴c ＞a ＞b ，
故选B ．
【点睛】
本题考查有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则、负整数指数幂及零指数幂． 3．C
解析：C
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简比较即可求解．
【详解】
∵2090.3.0a =-=-，2
193b =--=-，2142c -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，0113d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝， ∴它们的大小关系是：b ＜a ＜d ＜c
故选：C
【点睛】
本题考查负整数指数幂的性质、零指数幂的性质及有理数大小比较，正确化简各数是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
设1元和5元的纸币分别有x 、y 张，得到方程x+5y=20，然后根据x 、y 都是正整数即可确定x 、y 的值．
【详解】
解：设1元和5元的纸币分别有x 、y 张，
则x+5y=20，
∴x=20-5y ，
而x≥0，y≥0，且x 、y 是整数，
∴y=0，x=20；
y=1，x=15；
y=2，x=10；
y=3，x=5；
y=4，x=0，
共有5种换法．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程的应用，列出方程并确定未知数的取值范围是解题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
试题分析：A 、2+2=4，不能构成三角形，故本选项错误；
B 、3、4、5，满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故本选项正确；
C 、1+2=3，不能构成三角形，故本选项错误；
D 、2+3＜6，不能构成三角形，故本选项错误．
故选B ．
考点：三角形三边关系．
6．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去． ②若3是底，则腰是6，6．
3+6＞6，符合条件．成立．
∴C=3+6+6=15．
故选B ．
考点：等腰三角形的性质．
7．A
解析：A
【分析】
根据长方形的面积=长⨯宽，分别表示出甲乙两个图形的面积，即可得到答案．
【详解】
解：()()=S a b a b +-甲，()()2222==S a a b b a b a ab ab b a b -+-=-+--乙． 所以()()a b a b +-22=a b -
故选A ．
本题考查平方差公式，难度不大，通过计算两个图形的面积即可顺利解题．
8．C
解析：C
【分析】
运用多项式乘法法则对各个算式进行计算，再确定答案．
【详解】
解：A ．原式＝x 2﹣2x +1，
B ．原式＝﹣(x ﹣1)2＝﹣x 2+2x ﹣1；
C ．(x +1)(x ﹣1)＝x 2﹣1；
D ．原式＝x 2+2x ﹣x ﹣2＝x 2+x ﹣2；
∴计算结果为x 2﹣1的是C ．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
9．D
解析：D
【详解】
解：A 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D 、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意． 故选D ．
10．C
解析：C
【分析】
先根据平行线的性质求出∠EFB 的度数，再利用三角形的外角性质解答即可．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，115C ∠=︒，
∴115EFB C ∠=∠=︒，
∵EFB A E ∠=∠+∠，25A ∠=︒
∴1152590E ∠=︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
11．C
【解析】
解：A ．x 2⋅ x 3＝ x 5，故A 错误；
B ．(-2x 2)2 ＝ 4 x 4，故B 错误；
C ．( x 3 )2＝ x 6，正确；
D ．x 5÷ x ＝ x 4，故D 错误．
故选C ．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
将x 和y 的值代入方程计算即可.
【详解】
将2x a y =⎧⎨=-⎩
代入方程得：3(2)5a a -⋅-= 解得：1a =
故选：A.
【点睛】
本题考查了已知二元一次方程的解求方程中未知数的值，理解题意是解题关键.
二、填空题
13．【分析】
根据非0数的0次幂等于1列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】
解：成立，
，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了0指数幂的意义，即非0数的0次幂等于1，0的0次幂无意义 解析：2x ≠
【分析】
根据非0数的0次幂等于1列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．
【详解】
解：0(2)1x -=成立，
20x ∴-≠，解得2x ≠．
故答案为：2x ≠．
【点睛】
本题考查了0指数幂的意义，即非0数的0次幂等于1，0的0次幂无意义．
14．115°．
【分析】
根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC 的度数．
【详解】
解；∵∠A＝5
解析：115°．
【分析】
根据三角形的内角和定理得出∠ABC +∠ACB =130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC +∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC 的度数．
【详解】
解；∵∠A ＝50°，
∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B 和∠C 的平分线交于点O ，
∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12
∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝
12×（∠ABC +∠ACB ）＝12
×130°＝65°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝115°，
故答案为：115°．
【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC +∠OCB 的度数．
15．【分析】
先将化为同底数幂的式子，然后根据幂的除法法则进行合并，再将代入计算即可．
【详解】
解：==，
∵，
∴原式=22=4．
【点睛】
本题考查了幂的除法法则，掌握知识点是解题关键．
解析：【分析】
先将24a b ÷化为同底数幂的式子，然后根据幂的除法法则进行合并，再将22a b -=代入计算即可．
【详解】
解：24a b ÷=222a b ÷=()22a b -，
∵22a b -=，
∴原式=22=4．
【点睛】
本题考查了幂的除法法则，掌握知识点是解题关键．
16．【分析】
直接提取公因式即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
解析：2(2)x x -
【分析】
直接提取公因式即可．
【详解】
2242(2)x x x x -=-．
故答案为：2(2)x x -．
【点睛】
本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
17．0或3．
【解析】
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则求出答案．
【详解】
∵（x ﹣2）x ＝1，
∴x＝0时，（0﹣2）0＝1，
当x ＝3时，（3﹣2）3＝1，
则x ＝0或3．
解析：0或3．
【解析】
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则求出答案．
【详解】
∵（x ﹣2）x ＝1，
∴x ＝0时，（0﹣2）0＝1，
当x＝3时，（3﹣2）3＝1，
则x＝0或3．
故答案为：0或3．
【点睛】
此题主要考查了零指数幂以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．18．4
【分析】
设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．
【详解】
解：设购买x个A品牌足球，
解析：4
【分析】
设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．
【详解】
解：设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，
依题意，得：60x＋75y＝1500，
解得：y＝20−4
5 x．
∵x，y均为正整数，∴x是5的倍数，
∴
5
16
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
10
12
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
15
8
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
20
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴共有4种购买方案．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．19．B
【解析】
连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，
解析：B
【解析】
连接OC ，OB ，OA ，OD ，
∵E 、F 、G 、H 依次是各边中点，
∴△AOE 和△BOE 等底等高，所以S △OAE =S △OBE ，
同理可证，S △OBF =S △OCF ，S △ODG =S △OCG ，S △ODH =S △OAH ，
∴S 四边形AEOH +S 四边形CGOF =S 四边形DHOG +S 四边形BFOE ，
∵S 四边形AEOH =6，S 四边形BFOE =7，S 四边形CGOF =8，
∴6+8=7+S 四边形DHOG ，
解得S 四边形DHOG =7．
故答案为7．
点睛：本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论.
20．【分析】
首先求得方程的解，然后将代入到方程中，即可求得．
【详解】
解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∵两方程同解，那么将代入方程，
得，
移项，得，
系数化为1，得．
故 解析：12
【分析】
首先求得方程23x x =-的解x ，然后将x 代入到方程4232x m x -=+中，即可求得m ．
【详解】
解：23x x =-，
移项，得23x x -=-，
合并同类项，得3x -=-，
系数化为1，得=3x ，
∵两方程同解，那么将=3x 代入方程4232x m x -=+，
得12211m -=，
移项，得21m -=-，
系数化为1，得12
m =． 故12
m =
． 【点睛】 本题考查含有参数的一元一次方程同解问题，难度不大，真正理解方程的解的含义是顺利解题的关键．
21．【分析】
首先解不等式求的不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a 的值即可；
【详解】
解不等式，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
则最小的整数解为- 解析：72
【分析】
首先解不等式求的不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a 的值即可；
【详解】
解不等式()()325416x x -+<-+，
去括号，得365446-+<-+x x ，
移项，得344665-<-++-x x ，
合并同类项，得3x -<，
系数化为1，得3x ＞-，
则最小的整数解为-2．
把2x =-代入23x ax -=中，
得423a -+=， 解得：72a =
．
故答案为7
2
．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解与一元一次不等式的整数解，准确计算是解题的关键．22．4
【分析】
根据题意列二元一次方程即可解决问题．
【详解】
设2m的钢管b根，根据题意得：
a＋2b＝9，
∵a、b均为正整数，
∴，，，．
a 的值可能有4种，
故答案为：4．
【点睛】
本题运
解析：4
【分析】
根据题意列二元一次方程即可解决问题．
【详解】
设2m的钢管b根，根据题意得：
a＋2b＝9，
∵a、b均为正整数，
∴
1
4
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
3
3
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
5
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
7
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
a 的值可能有4种，
故答案为：4．
【点睛】
本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．23．5
【分析】
根据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．【详解】
解：在样本数据中最大值为35，最小值为15，它们的差是，
已知组距为4，那么由于，故可以分成5组．
故答案为：
解析：5
【分析】
根据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
【详解】
解：在样本数据中最大值为35，最小值为15，它们的差是351520
-=，
已知组距为4，那么由于20
5
4
=，故可以分成5组．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是组数的计算，属于基础题，只要根据组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”来解即可．
24．6
【分析】
逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
【详解】
解：am+n＝am•an＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加，
解析：6
【分析】
逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
【详解】
解：a m+n＝a m•a n＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加，掌握a m+n＝a m•a n是解题的关键；
三、解答题
25．（1）图见详解；（2）平行且相等；（3）图见详解；（4）28．
【分析】
（1）根据图形平移的性质画出△A B C
'''即可；
（2）根据平移的性质可得出AC与A C''的关系；
（3）先取AB的中点E，再连接CE即可；
（4）线段AC扫过的面积为平行四边形AA C C
''的面积，根据平行四边形的底为4，高为7，可得线段AC扫过的面积．
【详解】
解：（1）如图所示，△A B C '''即为所求；
（2）由平移的性质可得，AC 与A C ''的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）如图所示，线段CE 即为所求；
（4）如图所示，连接AA '，CC '，则线段AC 扫过的面积为平行四边形AA C C ''的面积，
由图可得，线段AC 扫过的面积4728=⨯=．
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了利用平移变换进行作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 26．（1）50元，150元；（2）提示牌50个，垃圾箱50个；提示牌51个，垃圾箱49个；提示牌52个，垃圾箱48个；
【分析】
1）根据“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论； （2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【详解】
解：（1）设提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元，
根据题意得，233550x x +⨯=，
50x ∴=，
3150x ∴=，
即：提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买提示牌y 个(y 为正整数），则垃圾箱为(100)y -个，
根据题意得，
1004850150(100)10000y y y ，
5052y ， y 为正整数，
y ∴为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．
27．（1）29；（2）64．
【分析】
（1）根据完全平方公式得到()2
222a b a b ab +=+-，然后整体代入计算即可； （2）根据完全平方公式得到()22223227a ab b a b ab -+=+-，然后整体代入计算即可．
【详解】
解：（1）()()2222252229a b a b b a =+-=-⨯-=+；
（2）()()222222232242727257264a ab b a ab b ab a b ab -+=++-=+-=⨯-⨯-=．
【点睛】
本题考查了代数式求值，完全平方公式和整体代入的思想，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
28．6°
【解析】
试题分析：先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，由AE 是△ABC 的角平分线，求出∠DAC 的度数，由AD 是BC 边上的高，求出∠EAC 的度数，再利用角的和差求出∠DAE 的度数．
解：∵在△ABC 中，∠ABC =56°，∠ACB =44°
∴∠BA C =180°-∠ABC-∠ACB =80°
∵AE 是△ABC 的角平分线
∴∠EAC=12
∠BA C =40° ∵AD 是BC 边上的高，∠ACB =44°
∴∠DAC=90°-∠ACB =46°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=6°
29．24
【分析】
（1）由2个矩形面积之和表示出阴影部分面积即可；
（2）将x 的值代入计算即可求出值．
【详解】
(1)根据题意得：阴影部分的面积=a(2a+3)+a(2a+3−a)=3a 2+6a ；
(2)当a ＝2时,原式=3×22+2×6=24.
答：图中阴影部分的面积是24.
【点睛】
本题考查代数式求值和列代数式，解题的关键是根据题意列代数式.
30．70°
【分析】
由CD⊥AB，EF⊥AB可得出∠CDF=∠EFB=90°，利用“同位角相等，两直线平行”可得出
CD∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DCB=∠1，结合∠1=∠2可得出
∠DCB=∠2，利用“内错角相等，两直线平行”可得出DG∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADG的度数，在△ADG中，利用三角形内角和定理即可求出∠AGD的度数.【详解】
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF，
∴∠DCB＝∠1．
∵∠1＝∠2，
∴∠DCB＝∠2，
∴DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B＝45°．
又∵在△ADG中，∠A＝65°，∠ADG＝45°，
∴∠AGD＝180°﹣∠A﹣∠ADG＝70°
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质求出∠ADG的度数是解题的关键.
31．【探究1】∠2=1
2
∠ACB，90º－
1
2
∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣
1
2
∠A，理由见解
析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，根据三角形的内角和
定理可得∠1+∠2=90º－1
2
∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC＝1 2
（∠A+∠ACB），∠OCB＝1
2
（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结
论；
【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果；
【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF=90°，然后分三种情况讨论：若
∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO=2∠E，于
是可得结果；若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO=135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F=4∠E，则∠E=18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO=2∠E即可求出结果，进而可得答案．
【详解】
解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180º－∠A）=90º－
1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（90º－1
2
∠A）=90º+
1
2
∠A；
故答案为：∠2=1
2
∠ACB，90º－
1
2
∠A；
【探究2】∠BOC＝90°﹣1
2
∠A；理由如下：
如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝1
2
（∠A+∠ACB），∠OCB＝
1
2
（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣1
2
（∠A+∠ACB）﹣
1
2
（∠A+∠ABC），
＝180°﹣1
2
（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
＝180°﹣1
2
（180°+∠A），
＝90°﹣1
2
∠A；
【应用】延长AC 与BD ，设交点为G ，如图5，由【探究1】的结论可得：
∠G=1901352O ︒+∠=︒， ∴∠GCD+∠GDC=45°， ∵CE 、DE 分别是∠ACD 和∠BDC 的角平分线，
∴∠1=12∠ACD=()11802GCD ︒-∠，∠2=12∠BDC=()11802
GDC ︒-∠， ∴∠1+∠2=
()11802GCD ︒-∠+()11802GDC ︒-∠=()136045157.52︒-︒=︒, ∴()1801222.5E ∠=︒-∠+∠=︒；
故答案为：22.5°；
【拓展】如图4，∵AE 、AF 是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，
∴∠EAQ+∠FAQ=
()111809022
BAO GAO ∠+∠=⨯︒=︒， 即∠EAF=90°，
在Rt △AEF 中，若∠EAF=4∠E ，则∠E=22.5°，
∵∠EOQ=∠E+∠EAQ ，∠BOQ=2∠EOQ ，∠BAO=2∠EAQ ，
∴∠BOQ=2∠E+∠BAO ，
又∠BOQ=∠BAO+∠ABO ，
∴∠ABO=2∠E=45°；
若∠EAF=4∠F ，则∠F=22.5°，
则由【探究2】知：19022.52
F ABO ∠=︒-∠=︒，∴ ∠ABO=135°， ∵∠ABO ＜∠BOQ=60°，∴此种情况不存在；
若∠F=4∠E，则∠E=18°，
由第一种情况可知：∠ABO=2∠E，∴∠ABO=36°；
综上，∠ABO=45°或36°；
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键．32．（1）3，0，﹣2；（2）a+b＝c，理由见解析．
【分析】
（1）直接根据新定义求解即可；
（2）先根据新定义得出关于a，b，c的等式，然后根据幂的运算法则求解即可．
【详解】
（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3，
∵40＝1，
∴（4，1）＝0，
∵2﹣2＝1
，
4
∴（2，0．25）＝﹣2．
故答案为：3，0，﹣2；
（2）a+b＝c．
理由：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝5×6＝3c＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
【点睛】
本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键，本题也考查了有理数的乘方、同底数幂的乘法运算．
33．（1）见解析；（2）∠1＋∠2＝2∠C；（3）∠1－∠2＝2∠C.
【分析】
（1）根据折叠的性质得∠DFE=∠A，由已知得∠A=∠C，于是得到∠DFE=∠C，即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED=∠AED（设为α），∠A′DE=∠ADE（设为β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE=β-（∠A+α），推出∠2-∠1=180°-（α+β）+∠A，根据三角形的内角和得到∠A=180°-（α+β），证得∠2-∠1=2∠A，于是得到结论．
【详解】
解：(1) 由折叠知∠A=∠DFE,
∵∠A=∠C ，
∴∠DFE=∠C ，
∴BC ∥DF ；
(2)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵∠1＋2∠AED ＝180°， ∠2＋2∠ADE ＝180°，
∴∠1＋∠2＋2(∠ADE ＋∠AED)＝360°.
∵∠A ＋∠ADE ＋∠AED ＝180°，
∴∠ADE ＋∠AED ＝180°－∠A ，
∴∠1＋∠2＋2(180°－A)＝360°，
即∠1＋∠2＝2∠C.
(3)∠1－∠2＝2∠A.
∵2∠AED ＋∠1＝180°，2∠ADE －∠2＝180°，
∴2(∠ADE ＋∠AED)＋∠1－∠2＝360°.
∵∠A ＋∠ADE ＋∠AED ＝180°，
∴∠ADE ＋∠AED ＝180°－∠A ，
∴∠1－∠2＋2(180°－∠A)＝360°，
即∠1－∠2＝2∠C.
【点睛】
考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．
34．(1) ()2222222.a b c a b c ab ac bc ++=+++++(2)证明见解析；(3) 30; (4) 15.
【分析】
(1)依据正方形的面积=()2
a b c ++ ;正方形的面积=222a +b +c +2ab+2ac+2bc.,可得等式;
(2)运用多项式乘多项式进行计算即可;
(3)依据()2222a b +c a b c -2ab-2ac-2bc,+=++ 进行计算即可;
(4)依据所拼图形的面积为:22xa yb zab ++ , 而()()222224284249a b a b a ab ab b a b ab ++=+++=++ ,即可得到x, y, z 的值,即可求解.
【详解】
解: (1) 正方形的面积=()2a b c ++ ;大正方形的面积=222a +b +c +2ab+2ac+2bc. 故答案为:()2
222222.a b c a b c ab ac bc ++=+++++
(2)证明: (a+b+c) (a+b+c) ,
=222a ab ac ab b bc ac bc c ++++++++ ,
=222222a b c ab ac bc +++++ .
(3)()2222222,a b c a b c ab ac bc ++=++---
=()2
102ab ac bc -++ , =100235-⨯ ,
=30.
故答案为: 30;
(4)由题可知，所拼图形的面积为:22xa yb zab ++ ,
(2a+b) (a+4b)
=222a 8ab ab 4b ,+++
=222a 4b 9ab,++
∴x=2，y=4, z=9.
∴x+y+z=2+4+9=15.
故答案为: 15.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
35．①见解析；②BPD B D ∠=∠+∠，证明见解析；③BPD B D BQD ∠=∠+∠+∠，证明见解析．
【分析】
①先根据平行线的性质可得B BOD ∠=∠，再根据平角的定义可得
180POD BOD ∠+∠=︒，然后根据三角形的内角和定理可得
180POD BPD D ∠+∠+∠=︒，最后根据等量代换即可得证；
②如图（见解析），先根据平行线的性质可得B BQD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得BPD BQD D ∠=∠+∠，然后根据等量代换即可得；
③如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得BED B BQD ∠=∠+∠，
BPD D BED ∠=∠+∠，再根据等量代换即可得．
【详解】
①BPD B D ∠=∠-∠．
证明：∵//AB CD ，
∴B BOD ∠=∠，
又∵180POD BOD ∠+∠=︒，
在POD 中，由三角形内角和定理可得180POD BPD D ∠+∠+∠=︒，
故BOD BPD D ∠=∠+∠，从而得BPD B D ∠=∠-∠；
②BPD B D ∠=∠+∠，证明如下：
如图，延长BP ，交CD 于点Q ，
∵//AB CD ，
B BQD ∴∠=∠，
由三角形的外角性质得：BPD BQD D ∠=∠+∠，
BPD B D ∴∠=∠+∠；
③BPD B D BQD
∠=∠+∠+∠，证明如下：如图，延长BP，交CD于点E，
由三角形的外角性质得：
BED B BQD
BPD D BED ∠=∠+∠
⎧
⎨
∠=∠+∠
⎩
，
则BPD B D BQD
∠=∠+∠+∠．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
36．（1）见解析；（2）平行且相等；（3）28
【分析】
（1）根据平移的性质画出点A、C平移后的对应点A'、C'即可画出平移后的△A B C
'''；（2）根据平移的性质解答即可；
（3）根据平行四边形的面积解答即可．
【详解】
解：（1）如图，ΔA B C
'''即为所求；
（2）根据平移的性质可得：BB'与CC'的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）四边形BCC B''的面积为4×7=28．
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质和平移作图，属于常考题型，熟练掌握平移的性质是解题关键．。