苏科版八年级数学上 第二次月考测试题(Word版 含答案)

苏科版八年级数学上 第二次月考测试题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的点是( )
A ．(2,3)-
B ．()4,5-
C ．(1,0)
D ．(8,1)--
2．甲、乙两车从A 地出发，匀速驶向B 地．甲车以80km/h 的速度行驶1h 后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B 地并停留1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相
遇．在此过程中，两车之间的距离y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h ；②m ＝160；③点H 的坐标是（7，80）；④n ＝7.5．其中说法正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
3．如图（1），在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止.设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图（2）所示，则BCD ∆的面积是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 4．下列四组数，可作为直角三角形三边长的是
A ．456cm cm cm 、、
B ．123cm cm cm 、、
C ．234cm cm cm 、、
D ．123cm cm cm 、、 5．在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为（ ）
A ．31y x =-+
B ．32y x =-+
C ．31y x =--
D ．32y x =-- 6．我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．无数 7．为了解我区八年级学生的身高情况，教育局抽查了1000名学生的身高进行了统计分析所抽查的1000名学生的身高是这个问题的（ ）
A ．总体
B ．个体
C ．样本
D ．样本容量
8．在平面直角坐标系中，点M （﹣3，2）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）
A ．（﹣3，﹣2）
B ．（﹣2，﹣3）
C ．（3，2）
D ．（3，﹣2）
9．直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +＞的解为（ ）
A ．x ＞－1
B ．x ＜－1
C ．x ＜－2
D ．无法确定
10．已知正比例函数y ＝kx 的图象经过点（﹣2，1），则k 的值（ ）
A ．﹣2
B ．﹣12
C ．2
D ．12
二、填空题
11．1﹣π的相反数是_____．
12．若等腰三角形的两边长为10cm ，5cm ，则周长为__________cm ．
13．如图，点A 的坐标为（-2，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________．
14．若关于x 的方程233
x m x +=-的解不小于1,则m 的取值范围是_______． 15．因式分解：24ax ay -=__________．
16．若函数(y x a a =-为常数)与函数2(y x b b =-+为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，则关于x 、y 的二元一次方程组2x y a
x y b
-=⎧⎨+=⎩的解是________.
17．在ABC 中，,AB AC BD =是高，若40ABD ∠=︒，则C ∠的度数为______．
18．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF ．若AB=6，则菱形AECF 的面积为__________.
19．在第二象限内的点P 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是4，则点P 的坐标是
_________.
20．若一次函数y x a =-+与y x b =+的图像的交点坐标(,1010)m ，则
a b +=__________．
三、解答题
21．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
22．如图,已知ABC ∆各顶点的坐标分别为()3,2A -,()
4,3B --,()1,1C --,直线l 经过点()1,0-,并且与y 轴平行,111
A B C ∆与ABC ∆关于直线l 对称.
(1)画出111 A B C ∆,并写出点1 A 的坐标 . (2)若点()P m n ,是ABC ∆内一点,点1P 是111 A B C ∆内与点P 对应的点,则点1P 坐标 .
23．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
24．（1）计算：32216-(3)(3)8+--
（2）化简：22x 9x 31-69x 4x x -+÷-++ 25．已知：如图点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EC ∥FD ，AB=CD ，求证：EA=FB ．
四、压轴题
26．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=12
x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；
（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．
①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；
②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；
③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA=BC ，连接AC
（1）如图1，求C 点坐标；
（2）如图2，若P 点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角BPQ ，连接CQ ，当点P 在线段OA 上，求证：PA=CQ ；
（3）在（2）的条件下若C 、P ，Q 三点共线，直接写出此时∠APB 的度数及P 点坐标
28．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．
拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．
29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义： 若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩
'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．
（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；
②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）
（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．
30．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．
（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；
（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解.
【详解】
解：A.(2,-3)在第四象限，故本选项正确；
B.(-4,5)在第二象限，故本选项错误；
C.(1,0)在x轴正半轴上，故本选项错误；
D.(-8,-1)在第三象限，故本选项错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，解决本题的关键是熟练掌握每个象限的坐标特征.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据乙追上甲的时间求出乙的速度可判断①，根据乙由相遇点到达B点所用时间可确定m 的值，即可判断②，根据乙休息1h甲所行驶的路程可判断③，由乙返回时，甲乙相距
80km，可求出两车相遇的时间即可判断④.
【详解】
由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则
n=6+1+0.4=7.4，④错误．
所以正确的有①②③，
故选A.
【点睛】
本题考查通过分段函数图像解决问题，根据题意明确图像中的信息是解题关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据图1可知，可分P在BC上运动和P在CD上运动分别讨论，由此可得BC和CD的值，进而利用三角形面积公式可得BCD
∆的面积.
【详解】
解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，
当P在BC段运动，△ABP面积y随x的增大而增大；
当P在CD段运动，因为△ABP的底边不变，高不变，所以面积y不变化．
由图2可知，当0<x<2时,y随x的增大而增大；当2<x<5时,y的值不随x变化而变化.
综上所述，BC=2,CD=5-2=3,
故
11
233
22
BCD
S CD BC
∆
.
故选：D．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，动点的图象问题是中考的常考题型，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图象分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等. 匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
A、∵52+42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵12+（2）2=（3）2，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．上下平移时只需让b的值加减即可．
【详解】
y=-3x+4的k=-3，b=4，沿x轴向左平移2个单位后，新直线解析式为：y=-3（x+2）+4=-3x-2．
故选：D.
【点睛】
本题考查了一次函数的平移变换，属于基础题，关键掌握将直线上下平移时k的值不变，只有b发生变化．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的性质画出对称轴即可．
【详解】
解：如图所示：平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为2条．故选：B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．根据概念进行判断即可．
【详解】
解：了解我区八年级学生的身高情况，抽查了1000名学生的身高进行统计分析．所抽查的1000名学生的身高是这个问题的样本，
故选：C．
【点睛】
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用关于y轴对称则纵坐标相等横坐标互为相反数进而得出答案．
【详解】
解：点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为：（3，2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是关于x轴、y轴对称的点的坐标，属于基础题目，易于掌握．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
如图，直线l1:y1=k1x+b与直线l2:y2=k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则求关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集就是求：能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围．
【详解】
解：能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围是x<-1．
故关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为：x<-1．
故选B．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
将点（﹣2，1）代入y＝kx即可求出k的值.
【详解】
解：∵正比例函数y ＝kx 的图象经过点（﹣2，1），
∴1＝﹣2k ，
解得k ＝﹣
12
， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了正比例函数，熟练掌握求正比例函数解析式的方法是解题的关键.
二、填空题
11．π﹣1．
【解析】
【分析】
根据相反数的定义即可得到结论．
【详解】
1﹣π的相反数是．
故答案为：π﹣1．
【点睛】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号． 解析：π﹣1．
【解析】
【分析】
根据相反数的定义即可得到结论．
【详解】
1﹣π的相反数是()1
1ππ=﹣﹣﹣． 故答案为：π﹣1．
【点睛】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．
12．【解析】
【分析】
此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三角形三边关系，从而求解．
【详解】
解：①以10cm 为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm ；②以5
解析：25cm
【解析】
【分析】
此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三角形三边关系，从而求解．
【详解】
解：①以10cm为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm；②以5cm为腰，因为5+5=10，不符合三角形两边之和大于第三边，此情况不成立；
故答案为：25cm．
【点睛】
此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的应用是本题的解题关键．
13．【解析】
【分析】
过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，推出AC=OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出CD，推出CD=OD，即可求出B的坐标．
--
解析：(1,1)
【解析】
【分析】
过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，推出AC=OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出CD，推出CD=OD，即可求出B的坐标．
【详解】
解：过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，
∵直线y=x，
∴∠AOC=45°，
∴∠OAC=45°=∠AOC，
∴AC=OC，
由勾股定理得：2AC2=OA2=4，
∴2，
由三角形的面积公式得：AC×OC=OA×CD，
22=2CD，
∴CD=1，
∴OD=CD=1，
∴B（-1，-1）．
故答案为：（-1，-1）．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，涉及到垂线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的应用，关键是得出当B和C重合时，线段AB最短，题目比较典型，主要培养了学生的理解能力和计算能力．
14．m≥-8 且m≠-6
【解析】
【分析】
首先求出关于x的方程的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出. 【详解】
解：解关于x的方程
得x=m+9
因为的方程的解不小于，且x≠3
所以m+
解析：m≥-8 且m≠-6
【解析】
【分析】
首先求出关于x的方程2
3
3
x m
x
+
=
-
的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出.
【详解】
解：解关于x的方程2
3
3
x m
x
+
=
-
得x=m+9
因为x的方程2
3
3
x m
x
+
=
-
的解不小于1，且x≠3
所以m+9≥1 且m+9≠3
解得m≥-8 且m≠-6 .
故答案为：m≥-8 且m≠-6
【点睛】
此题主要考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，重点注意分式方程存在的意义分母不为零.
15．【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
故答案为：
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
解析：()22a x y -
【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
()2422ax ay a x y -=-
故答案为：()22a x y -
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
16．【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答.
【详解】
解：因为函数y=x-a(a 为常数)与函数y=-2x+b(b 为常数)的图像的交点坐标是(2,
1)，
所以
解析：21x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答.
【详解】
解：因为函数y=x-a(a 为常数)与函数y=-2x+b(b 为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，
所以方程组2x y a x y b -=⎧⎨+=⎩ 的解为21x y =⎧⎨=⎩
. 故答案为21x y =⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程（组）：满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
17．65°或25°
【解析】
【分析】
分两种情况：①当为锐角三角形；②当为钝角三角形．然后先在直角△ABD 中，利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得∠C的度
解析：65°或25°
【解析】
【分析】
分两种情况：①当ABC为锐角三角形；②当ABC为钝角三角形．然后先在直角
△ABD中，利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得∠C的度数．
【详解】
解：①当ABC为锐角三角形时：∠BAC=90°-40°=50°，
∴∠C=1
2
（180°-50°）=65°；
②当ABC为钝角三角形时：∠BAC=90°+40°=130°，
∴∠C=1
2
（180°-130°）=25°；
故答案为：65°或25°．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．
18．8
【解析】
【分析】
根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】
解：∵四边形
解析：3
【解析】
【分析】
根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
解：∵四边形AECF是菱形，AB=6，
∴设BE=x，则AE=6-x，CE=6-x，
∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，
∴CE=2x，∴2x=6-x，解得：x=2，
∴CE=AE=4.
利用勾股定理得出：
∴菱形的面积=AE•
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
19．（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
解析：（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是-4，纵坐标是1，
∴点P的坐标为（-4，1）．
故答案为：（-4，1）．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度．
20．2020
【解析】
把分别代入与，然后把两个式子相加即可求解.
【详解】
把分别代入与，得
-m+a=1010①，m+b=1010②，
①+②得
a+b=2020.
故答案为：2020.
解析：2020
【解析】
【分析】
把(,1010)m 分别代入y x a =-+与y x b =+，然后把两个式子相加即可求解.
【详解】
把(,1010)m 分别代入y x a =-+与y x b =+，得
-m+a=1010①，m+b=1010②，
①+②得
a+b=2020.
故答案为：2020.
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适应此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题
21．见详解.
【解析】
试题分析：按轴对称的特征进行添涂即可.
试题解析：如图所示：
22．(1) (1,2) ； (2) ()2,m n --.
【解析】
【分析】
(1)根据轴对称的性质找到各点的对应点，然后顺次连接即可，画出图形即可直接写出坐标.
(2)根据轴对称的性质可以直接写出1P .
【详解】
(1)如图所示：
直接通过图形得到1A (1,2)
(2) 由题意可得：由于()P m n ,与1P 关于x=-1 对称
所以()12,P m n --.
【点睛】
此题主要考查了轴对称作图的知识，注意掌握轴对称的性质，找准各点的对称点是关键.
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.
【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的图形；
（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，
∴OH=OG ，CG=BG ，
∵OB=OB,
∴OBH OBG ∆≅∆,
∴BH=BG ，
∵BE=CD ，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG ，
在OEH ∆和ODG ∆中, 90OH OG OHE OGD EH DG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴OEH ODG ∆≅∆,
∴OE=OD ．
（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由如下；
如图
，作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，
由(2)可知，因为 CD=BE ，所以OEH ODG ∆≅∆且OE=OD ，
∴EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,
∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG ∠=∠+∠=∠+∠=∠,
∴180ABC EOD ∠+∠=,
∵△BEF 的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC
∴DF=EF,
在△OEF 和△OGF 中,
OE OD EF FD OF OF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴OEF OGF ∆≅∆,
∴EOF DOF ∠=∠,
∴2EOD EOF ∠=∠,
∴2180ABC EOF ∠+∠=.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.
24．(1) 2 ； (2) 73
x -
- 【解析】
【分析】
（1）首先计算平方根和立方根，然后进行加减运算即可；
（2）根据分式的除法和减法进行计算．
【详解】
解：（1）原式=4332-+-=2； （2）原式=()()()
2334133x x x x x +-+-⨯+- =413
x x +-
- =343
x x x ---- =73
x -- 【点睛】 本题考查分式的混合运算和二次根式的混合运算，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
25．用ASA 证明△EAC ≌△FBD 即可.
【解析】
【分析】
首先利用平行线的性质得出，∠A=∠FBD ，∠D=∠ECA ，根据AB=CD 即可得出AC=BD ，进而得出△EAC ≌△FBD ．
【详解】
证明：∵EA ∥FB ，
∴∠A =∠FBD ，
∵EC ∥FD ，
∴∠D =∠ECA ，
∵AB =CD ，
∴AC =BD ，
在△EAC 和△FBD 中，
ECA D A FBD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EAC ≌△FBD (AAS)，
∴EA =FB .
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
四、压轴题
26．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272
；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+
或9﹣
或6时，△APQ 为等腰三角形．
【解析】
分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；
（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12
P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22
t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则
()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，
即可求得．
详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，
∴3=−m +2，解得m =−1，
∴点P 的坐标为(−1,3)，
把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312
b =⨯-+，
解得72b =
； (2)∵72
b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，
∴C 点的坐标为(−7,0)，
①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，
∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222
S AQ yP t t =
⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222
S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =
-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴
273322t -<或327 3.22
t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；
设Q (t −7,0)，
当PQ =PA 时,则()()()222
2(71)032103,t -++-=++-
∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-
∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2
22(71)03(72)t t -++-=--，
∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6.
故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．
点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.
27．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ︒
∠= 【解析】
【分析】
（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；
（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；
（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到
∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．
【详解】
解：(1)作CH ⊥y 轴于H ，
则∠BCH+∠CBH=90°，
因为AB BC ⊥，
所以.∠ABO+∠CBH=90°，
所以∠ABO=∠BCH ，
在△ABO 和△BCH 中，
ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ABO BCH ∴∆≅∆
:BH=OA=3，CH=OB=1，
:OH=OB+BH=4，
所以C 点的坐标为（1，-4）；
(2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，
,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠
在△PBA 和△QBC 中，
BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
PBA QBC ∴∆≅∆
:.PA=CQ ；
(3) ()135,1,0APB P ︒
∠= BPQ ∆是等腰直角三角形，
:所以∠BQP=45°，
当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，
由（2)可知，PBA QBC ∴∆≅∆；
所以∠BPA=∠BQC=135°，
所以∠OPB=45°，
所以.OP=OB=1，
所以P 点坐标为（1，0) ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，
∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°
∵∠BAC ＝90°
∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°
∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°
∴∠CAE ＝∠ABD
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△CEA （AAS ）
∴AE ＝BD ，AD ＝CE
∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE
即：DE ＝BD ＋CE
（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE
理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，
∴∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）
∴AE=BD ，AD=CE ，
∴DE=AD+AE=BD+CE ；
（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，
由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，
∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，
∴OF=CF-OC=1，
∴点B 的坐标为B （1，4）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．（1）①
)3,1；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】
【分析】
（1）利用限变点的定义直接解答即可；
（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；
（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；
（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．
【详解】
解：（1）①∵32a =， ∴11b b ==-='， ∴坐标为：(
)
3,1， 故答案为：()3,1； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，
∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，
， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，
∵()2,2满足2y =，
∴这个点是B ，
故答案为：B ；
（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，
∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，
∵点D 的坐标为(2,2)-，
∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，
∴点P
满足的关系式为：()(
)00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：
当2x ≥时：1b x '=--，
当02x <<时：b x x '=-=，
当0x ≤时，b x x '==-，
图像如下：
通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，
当2x <时，0b '≥，∴0m =，
∴()033s m n =-=--=；
（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，
，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，， ∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x x b x x x -⎧'=⎨
-=--<⎩， 图象如下：
当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，
当b '＝5时，
x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，
当b ′＝1时，
x ﹣4＝1，解得：x ＝5，
∵ 25b '-≤≤，
∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．
30．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83
；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；
（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；
（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；
（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．
【详解】
（1）由题意知，BP=2t ，则
PC=BC-BP=6-2t ，
故答案为：6-2t ；
（2）全等，理由如下：
∵p Q V V =，t=1，
∴BP=2=CQ ，
∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，。