2015年山东专升本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2015年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题
一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．=
A．e
B．
C．e2
D．
正确答案：C
解析：=e2 2．=
A．
B．0
C．1
D．2
正确答案：A
解析：由等价无穷小代换，．故应选A．
3．函数y=ln?sin x?的定义域是_________．其中k为整数．
A．x≠
B．x∈(一∞，∞)，x≠kπ
C．x=kπ
D．x∈(一∞，∞)
正确答案：B
解析：y=ln?sin x?，所以，0＜?sin x?≤1，x∈(一∞，+∞)，x≠kπ，k为整数，故应选
B．
4．函数y=是
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．无法确定
正确答案：A
解析：f(x)==f(x)，f(x)为奇函数，故应选A．5．若∫f(x)dx=xe-2x+c，则f(x)等于________．其中c为常数．
A．一2xe-2x
B．一2x2e-2x
C．(1—2x)e-2x
D．(1—2x2)e-2x
正确答案：C
解析：f(x)=(∫f(x)dx)＇=e-2x+xe-2x(一2)=e-2x(1—2x)，故应选C.
6．下列级数中为条件收敛的级数是
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：选项A和B的级数通项极限均不存在，故发散；选项C中级数每一
项加绝对值变成收敛，所以，该级数绝对收敛，故应选
D．
7．设∫0xf(t)dt=a3x，则f(x)等于
A．3a3x
B．a3xlna
C．3a3x-1
D．3a3xlna
正确答案：D
解析：∫0xf(f)dt=a3x，方程两端同时求导得：f(x)=3a3xlna，故应选D.
8．曲线y=的水平渐近线为
A．y=1
B．y=2
C．x=一1
D．x=50
正确答案：B
解析：=2，故已知曲线的水平渐近线为直线y=2，故应选B．
9．积分区域D为x2+y2≤2，则xdσ=
A．2π
B．π
C．1
D．0
正确答案：D
解析：积分区域关于y轴对称，被积函数f(x，y)=x关于x为奇函数，所以积为0，故应选
D．
10．广义积分∫0+∞e-2xdx=
A．不存在
B．
C．
D．2
正确答案：C
解析：∫0+∞e-2xdx=，故应选
C．
二、填空题
11．设函数f(x)=函数f(x)的间断点是________，间断点的类型是________．
正确答案：x=0第二类间断点
解析：因为sin在x=0处没有定义，且不存在，所以x=0为第二类间断点．12．函数f(x)在点x0处可微，f＇(x0)=0是点x0为极值点的________条件．
正确答案：必要
解析：若函数f(x)在点x0处可微，且f＇(x0)=0，则x0必为函数极值点，但函数的极值点处不一定导数为零，所以仅是必要条件．
13．函数f(x)在点x0处的左、右导数存在且________是函数在点x0可与的________条件．
正确答案：相等，充要
解析：函数f(x)在点x0处的左右导数存在且相等是函数在点x0可导的充要条件．
14．设≠0，则与向量同方向的单位向量=________．
正确答案：
解析：与非零向量口同方向的单位向量为
15．广义积分dx(p＞0)当________时收敛，当________时发散．
正确答案：0＜p＜1，p≥1
解析：广义积分收敛，即积分存在，且值为一个常数．∫01dx=100∫
01x-pdx=(1一01-p)只有当p＜1时，积存在，所以0＜p＜1时广义积分收敛；p≥1时，广义积分发散.
16．已知y=xsinx，则dy=________．
正确答案：xsinx(cosxlnx+)dx
解析：利用对数求导法，先求导数再求微分．方程两边同时取对数，ln y=sin
xlnx，方程两边同时关于x求导，y＇=cosxlnx+sinx.，得y＇=y·(cosxlnx+sinx)因此dy=y＇dx=xsinx·(coslnx+sin x)dx.
17．对函数f(x)=在区间[1，2]上应用拉格朗日中值定理得f(2)一f(1)=f＇(ζ)，则ζ=________，其中(1＜ζ＜2)．
正确答案：ζ=√2
解析：因为f(x)在[1，2]上连续可导，所以由拉格朗日中值定理得：存在ζ
∈(1，2)，使得f(2)一f(1)=f＇(ζ)(2—1)，即一=f＇(ζ)，所以一，解得ζ=√2．
18．如果闭区域D由x轴、y轴及x+y=1围成，则(x+y)2dσ________(x+y)3d σ．
正确答案：≥
解析：在闭区域内，0≤x+y≤1，因此(x+y)2≥(x+y)3，由二重积分保序性知(x+y)3dσ．
19．曲线y=e-x2有_________拐点．
正确答案：两个
解析：y＇=e-x3．(一3x2)=一3x2e-x3，y＂=(一3x2e-x3)＇=一3xe-x3(2—3x3)，
令y＂=0，则x=0，x=．当x＜0时，y＂＞0；当0＜x＜时，y＂＜0；当x＞时，y＂＞0，所以函数有两个拐点．
20．直线的方向向量=_________，与平面2x+5y一3z一4=0是_________的．
正确答案：s={2，5，一3)，垂直
解析：该直线的方向向量为s={2，5，一3)，平面的法向量为n={2，5，一3)，s／／n，因此直线垂直于平面．
三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

21．求
正确答案：利用等价无穷小代换，
22．求∫eaxsinbxdx．
正确答案：设I=∫eaxsinbxdx，I=∫eaxdcosbx=一(eaxcosbx一a∫eaxcosbxdx)=(eaxcosbx一eaxdsinbx)=一(eaxcosbx一eaxsinbx+一1)解关于I 的方程得I=∫eaxsinbxdx=(asinbx一bcosbx).
23．求
正确答案：
24．求I=(3x+2y)dσ，其中D是南两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域．
正确答案：(3x+2y)dσ=∫02dx∫02-x(3x+2y)dx=∫02[3x(2一x)+(2一x)2]dx=
25．求平行于y轴且经过两点(4，0，一2)，(5，l，7)的平面方程．
正确答案：平行于y轴的平面方程可设为Ax+Cz+D=0，由已知该平面经过
两点(4，0，一2)和(5，1，7)，得．因此，所求平面方程为一9Cx+Cz+38C=0，即一9x+z+38=0．
26．求微分方程y＂+4y=0的通解．
正确答案：此微分方程的特征方程为r2+4=0，r=±2i，所以此微分方程的通解为y=C1cos 2x+C2sin 2x．
综合题
27．证明方程x5+x一1=0只有一个正根．
正确答案：令f(x)=x5+x一1，则f(x)为连续函数．又f(0)=一1＜0，f(1)=1＞0，故f(x)=0在区间(0，1)至少有一个根，又f＇(x)=5x4+1＞0，所以f(x)在(0，+∞)内单调递增．因此，f(x)=0至多有一个正跟．综上，x5+x一1=0只有一个正根．
28．证明级数x＂对于任意的x∈(一∞，∞)都是收敛的．
正确答案：证明：因为R==∞，所以xn 的收敛域是(一∞，+∞)，即幂级数xn对于任意的x∈(一∞，+∞)都是收敛的．
29．若f(x)在(a，b)内具有四阶导数，且f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，其中a＜x0＜x1＜x2＜x3＜x4＜b.证明：在(a，b)内至少有一点ζ，使f(4)(ζ)=0．
正确答案：证明：由己知f(x)在(a，b)内四阶可导，且f(x0)=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，在区间[x0，x1]，[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上分别运用罗尔定理知，存在α1∈(x0，x1)，α2∈(x1，x2)，α3∈(x2，x3)，α4∈(x3，x4)，使得f＇(α1)=f＇(α2)=f＇(α3)=f＇(α4)=0又由罗尔定理知，存在β1∈(α1，α2)，β2∈(α2，α3)，β3∈(α3，α4)，使得：f＇(β1)=f＇(β2)=f＇(β3)=0．再由罗尔定理知，存在γ1∈(β1，β2)，γ2∈(β2，β3)，使得：f＇(γ1)=f＇(γ2)=0，最后利用罗尔定理，知存在ζ∈(a，b)，使得f＇(ζ)=0．
证明题
30．作一圆柱形无盖铁桶，容积为V，其底面积半径r与高h的比应为多少，所用铁皮最省?
正确答案：设铁皮面积为S(r)，则S(r)=2πrh+πr2，又πr2h=V，所以S(r)=+πr2，r∈(0，+∞)，所用铁皮最省即求S(r)的最小值．由S＇(r)=一+2πr=0，
得r=.S(r)在r∈(0，+∞)上只有唯一的驻点，因而r=也是S(r)的最小值点，此时h=r，即r：h=1：1时，所用铁皮最小．。