高中数学必修2直线与圆优质教案圆的一般方程含解析

【教学目标】
1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件,通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.
2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
【重点难点】
教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
【课时安排】
1课时
【教学过程】
导入新课
①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.
②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.
④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.
推进新课
新知探究
提出问题
①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?
②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?
③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.
④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?
讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.
②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.
③把式子x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0配方得(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. ④(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,r ＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r ＜0时不表示任何图形.
因此式子(x+2D )2+(y+2
E )2=4422
F E D -+. (ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-
2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； (ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成
x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0.
我们把形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.
⑤圆的一般方程形式上的特点:
x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.
圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.
应用示例
例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.
(1)4x 2+4y 2-4x+12y+9=0;
(2)4x 2+4y 2-4x+12y+11=0.
解:(1)由4x 2+4y 2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=4
9,
而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,
所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(
21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=4
11,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.
点评:对于形如Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.
变式训练
求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x 2+y 2-8x+6y=0;(2)x 2+y 2+2by=0.
解:(1)把x 2+y 2-8x+6y=0配方,得(x －4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；
(2)x 2+y 2+2by=0配方,得x 2＋(y+b)2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.
例2 求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.
解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有
⎪⎩
⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,
02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,
故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6y=0,即(x －4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.
方法二：先求出OM 1的中点E(
21,21),M 1M 2的中点F(25,2
3), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-2
1), ① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y-23=-3(x-25), ② 联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.
3,4y x 则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.
方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,
即x 2+y 2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.
方法四：设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a 、b 、r 的方程组,即
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+-=+=-+-.)2()4(,
,)1()1(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得⎪⎩
⎪⎨⎧=-==.5,3,4r b a 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.
点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.
例3 已知点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求
.
图1
解法一:如图1,作MN ∥OQ 交x 轴于N,
则N 为OP 的中点,即N(5,0).
因为|MN|=2
1|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.
解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.
2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得
(2x-10)2+(2y)2=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),,(002001y x f y y x f x (Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),,(2010y x g y y x g x (Ⅱ) ④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.
这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.
变式训练
已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 解:设点M 的坐标是(x,y),
点A 的坐标是(x 0,y 0).
由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点,所以x=
240+x ,y=230+y .于是有x 0=2x-4,y 0=2y-3. ①
因为点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,所以点A 的坐标满足方程(x+1)2+y 2=4,即(x 0+1)2+y 02=4.②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-
23)2+(y-23)2=1. 所以点M 的轨迹是以(
23,2
3)为圆心,半径长为1的圆. 拓展提升
问题：已知圆x 2+y 2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P 、Q 两点,定点R(1,1),若PR ⊥QR,求实数m 的值. 解:设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),
由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+.062,0822y x m y x y x 消去y 得5x 2+4m-60=0. ① 由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m ＞0,m ＜15. 由韦达定理⎪⎩
⎪⎨⎧-==+.1254,02121m x x x x
因为PR ⊥QR,所以k PR k QR =-1.所以1
1112211--∙--x y x y =-1,即(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-1)(y 2-1)=0, 即x 1x 2-(x 1+x 2)+y 1y 2-(y 1+y 2)+2=0. ②
因为y 1=3-21x ,y 2=322x -,所以y 1y 2=(3-21x )(322x -)=9-2
3(x 1+x 2)+421x x =9+421x x , y 1+y 2=6,代入②得
45x 1x 2+5=0,即45(54m-12)+5=0. 所以m=10,适合m ＜15.所以实数m 的值为10.
课堂小结
1.任何一个圆的方程都可以写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D 2+E 2-4F ＞0时,方程表示圆心为(-2D ,-2E ),半径为r=21F E D 422-+的圆.
2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.
3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.
作业
习题4.1 A 组1、6,B 组1、2、3.。