2020年河北省唐山市启新中学高三数学文模拟试卷含解析

2020年河北省唐山市启新中学高三数学文模拟试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数，若，则实数的取值范围（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
2. 设，则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
略
3. 对于下列命题：
①在∆ABC中，若cos2A=cos2B, 则∆ABC为等腰三角形；
②∆ABC中角A、B、C的对边分别为,若，则∆ABC有两组解；
③设则
④将函数的图象向左平移个单位，得到函数=2cos(3x+)的图象.
其中正确命题的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
参考答案：
4. 函数的最小正周期为（）
A．4 B．2 C． D．
参考答案：
C
5. 已知命题命题,则下列命题中为真命题的是:（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 设变量z，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A) (B)
3 (C)6 (D) 9
参考答案：
C
7. 根据二分法原理求解方程x2－2=0得到的算法框图可称为
A.工序流程图
B.程序框图
C.知识结构图
D.组织结构图
参考答案：
B
利用程序框图中的循环结构可以求x2－2=0的近似值，故选择B.
8. 在棱长为的正方体中，若为的中点，则点到平面
的距离为
..
..
参考答案：
A
略
9. 已知集合，集合满足，则集合有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
参考答案：
D
略
10. 已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m?α，n?β．有下列命题：
①若α∥β，则m∥n；
②若α∥β，则m∥β；
③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．
其中真命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．
【解答】解：①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；
②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；
③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；
④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是锐角的外接圆圆心，，，则 .
参考答案：
试题分析：依题意，由得
，
，
，
，
.故选A.
考点：向量的加减运算、数量积，二倍角的余弦公式.
12. 已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：
①线段A、B的中点的广义坐标为；
②A、B两点间的距离为；
③向量平行于向量的充要条件是；
④向量垂直于向量的充要条件是.
其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）
参考答案：
①③
【分析】
根据点、的广义坐标分别为、，，
，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.
【详解】点、的广义坐标分别为、，，
，
对于①，线段、的中点设为M，根据=（）
=
中点的广义坐标为,故①正确.
对于②，∵（x2﹣x1），
A、两点间的距离为，
故②不一定正确.
对于③，向量平行于向量，则，即（）=t,，故③正确.
对于④，向量垂直于向量，则=0，
，故④不一定正确.
故答案为①③.
【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．
参考答案：
4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)
解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2+y2=1992的整数解数．
显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99．
则得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n) (mod 4)
由于m为正整数，m2≡0，1 (mod 4)；(n－1)(－n)≡
二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解．
∴ 共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．
14. 已知点，抛物线C：的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，，与抛物线C的准线相交于点N，若，则实数a的值为．
参考答案：
依题意得焦点的坐标为，过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义知，
因为，所以，
又，，所以，解得．
15. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，曲
线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为。

参考答案：
2
略
16. 下列命题正确的是___________（写序号）
①命题“ ”的否定是“ ”：
②函数的最小正周期为“ ”是“”的必要不充分条件；
③ 在上恒成立在上恒成立；
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ”
参考答案：
①②
试题分析：对于①特称命题的否定，把存在量词写成全称量词，把结论否定，正确；对于②函数
，周期为，则，即，故正确；对于
③，在上恒成立，等价条件在上恒成立，不对；对于④
“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ”且与不共线反向，不对；故正确的是①②．
考点：命题的真假．
17. 已知点为的外心，且,则▲ ．
参考答案：
6
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数定义域为，若对于任意的，，都有
，且>0时，有>0.
⑴证明: 为奇函数;
⑵证明: 在上为单调递增函数;
⑶设=1,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.
参考答案：
（1）令，
令，，为奇函数
(2）
在上为单调递增函
数;
(3）在上为单调递增函数，，使对所有恒成立,只要>1,即>0
令
19. 如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．
参考答案：
【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（Ⅰ）连结BD和AC交于O，连结OF，证明OF∥BE，即可证明BE∥平面ACF；（Ⅱ）证明EG⊥平面ABCD，即可求四棱锥E﹣ABCD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）
∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，
∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（4分）
∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…
（Ⅱ）解：作EG⊥AD于G，则
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，…（7分）
∴CD⊥EG，
∵AD∩CD=D，∴EG⊥平面ABCD…（8分）
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，
∵AE=DE=2，∴，…（10分）
∴四棱锥E﹣ABCD的体积V=××=…（12分）
【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查四棱锥E﹣ABCD的体积，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．
20. （本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，方程有实根，求实数的最大值.
参考答案：
解：（I）因为函数在上为增函数，所以
在上恒成立
✍当时，在上恒成立，
所以在上为增函数，故符合题意
✍当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立
令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以因为，所以.综上所述，a的取值范围为
21. （本小题满分分）如图，直三棱柱中，，，
是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．（1）若∥平面，求；
（2）求直线和平面所成角的余弦值．
参考答案：
『法一』(1)取中点为，连结，………1分
∵分别为中点
∴∥∥，
∴四点共面，………3分
且平面平面
又平面，
且∥平面
∴∥
∵为的中点，∴是的中点，………5分
∴．
………6分
（2）连结
，
………7分
因为三棱柱为直三棱柱，∴平面
∴，即四边形为矩形，且
∵是的中点，∴，
又平面，
∴，从而平面 (9)
分
∴是在平面内的射影
∴与平面所成的角为∠
又∥，
∴直线和平面所成的角即与平面所成的角…10分
设，且三角形是等腰三角形
∴，则，
∴
∴直线和平面所成的角的余弦值为．………12分
『法二』（1）因为三棱柱为直三棱柱，
∴平面，又
∴以为坐标原点，分别以
所在直线为轴，
建立如图空间直角坐标系. ………1分
设，又三角形是
等腰三角形，所以
易得，，，
所以有，
设平面的一个法向量为，则有，即
，令，有………4分（也可直接证明为平面法向量）
设，，又，
∴
若∥平面，则，所以有，
解得，
∴………6分
（2）由（1）可知平面的一个法向量是，
，，求得
设直线和平面所成的角为，，
则， (11)
分
所以
∴直线和平面所成的角的余弦值为．………12分
22. 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(Ⅰ)求证：AC⊥SD；
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求
SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
参考答案：
(Ⅰ)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，
由题意得四棱锥S－ABCD是正四棱锥，所以SO⊥AC，
又因为正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD,
∵SD?平面SBD，所以AC⊥SD.(6分)
(Ⅱ)在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC.
设正方形边长为a，则SD＝ a.由SD⊥平面PAC得PD＝，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD.
过点N作PC的平行线与SC的交点为E，连接BN，
在△BDN中，易得BN∥PO，又因为NE∥PC，
所以平面BEN∥平面PAC，所以BE∥平面PAC.
因为SN∶NP＝2∶1，所以SE∶EC＝2∶1.(12分)。