创新题型《新定义新概念新运算》(精选50题)

0,
1 4
,
1 2
,
3 4
,
3 4
,1
，分别均分为四段，并各自去
掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下 的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，
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以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则
有函数：
① f x 3x ; ② f x 3x ; ③ f x log3 x ; ④ f x tan x ．
其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
11．如图，在 3 3 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，
每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化． 例如：
D． y [x] 在 R 上单调递增
8．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学 理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四
分集”，其操作过程如下：将闭区间 [0,1]
均分为四段，去掉其中的区间段
1 4
,
1 2
记为
第一次操作；再将剩下的三个区间
创新题型：新定义新概念新运算
1．在无穷等差数列an 中，记 Tn a1 a2 a3 a4 a5 1n1an n 1, 2, ，
则“存在 m N ，使得 Tm Tm2 ”是“ an 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 ABC ， AB AC 4 ，点 B(1,3) ，点 C(4, 2) ，且其“欧拉线”与圆
M : (x a)2 ( y a 3)2 r2 相切.则圆 M 上的点到直线 x y 3 0 的距离的最小
值为（ ）
A． 2 2
10C 的空气中冷却 t 分钟后，物体的温度是 45 C ，则 t 约为（ ）（ ln 2 0.693）
A．1.69
B． 2.89
C． 4.58
D． 6.61
10．设函数 f x 的定义域为 D，如果对任意 x1 D ，都存在唯一的 x2 D ，使得
f x1 f x2 m （m 为常数）成立，那么称函数 f x 在 D 上具有性质业 ψm ．现
D
x
1, x为有理数,
0,
x为无理数,
f
x
2x , x 0,
x2
2x
2,
x
0,
则下列说法正确的是（
）
A．存在 x R ，使得 D f x f D x
B．对任意的有理数 x ，总有 D f x 1
C．函数 D f x 的单调性与函数 f x 的单调性是一致的
D．对任意的 x R ， f D x 的值始终为一个常数
2．若非空实数集 X 中存在最大元素 M 和最小元素 m，则记 ( X ) M m ．下列命题
中正确的是（ ）
A．已知 X {1,1}，Y {0,b}，且 ( X ) (Y ) ，则 b 2
B．已知 X [a, a 2] ，Y y | y x2, x X ，则存在实数 a，使得 (Y ) 1
20 需要操作的次数 n 的最小值为（参考数据： lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1 ，空气的温度是0 ， t 分钟后
物体的温度 可由公式 0 1 0 e0.24t 求得. 把温度是100 C 的物体，放在
C．已知 X {x | f (x) g(x), x [1,1]}，若 ( X ) 2 ，则对任意 x [1,1] ，都有 f (x) g(x) D．已知 X [a, a 2] ，Y [b,b 3]，则对任意的实数 a，总存在实数 b，使得 (X Y ) 3
3．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条
B． 3 2
C． 4 2
D．6
4．已知向量 a
ax , ay , az
，b
bx , by , bz
，i, j, k
是空间中的一个单位正交基底．规
定向量积的行列式计算：
a
b
aybz azby
i
azbx
axbz
j
ay by
(x0 ,
f
(x0 ))
均称为函数
f
(x)
的“先享点”已知函数
f
(x)
16 ax, x 6x x3, x
0 ,
0
且函数
f (x) 存在 5 个“先享点”，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (6, )
B． (, 6)
C． (0,6)
D． (3, )
6．已知定义在 R 上的 Dirichlet 函数
k az bz
ay by
az bz
,
ax bx
az bz
, ax bx
ay by
，其中行列式计算表示为
ab cd
ad bc ，
若向量
AB
2,1,
4
，
AC
3,1,
2
，则
AB
AC
（
）
A． 4, 8, 1
B． 1, 4, 8
C． 2, 8, 1
D． 1, 4, 8
5．对于函数 y f (x) ，若存在 x0 ，使 f (x0 ) f (x0 ) ，则点 (x0 , f (x0 )) 与点
若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（ ）次
A．2
B．3
C．4
D．5
12．设数列an 的前
n
项和为
Sn
，若
S2n S4n
为常数，则称数列an 为“吉祥数列”.则下列
数列bn 为“吉祥数列”的有（ ）
A． bn n
B． bn 1n (n 1) C． bn 4n 2
D． bn 2n
13．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线
7．高斯函数也称取整函数，记作 [x] ，是指不超过实数 x 的最大整数，例如
[6.8] 6,[4.1] 5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于
高斯函数 y [x] 的性质叙述错误的是（ ）
A． y [x] 值域为 Z
B． y [x] 不是奇函数
C． y x [x] 为周期函数