固安县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

固安县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=x 3+（1﹣b ）x 2﹣a （b ﹣3）x+b ﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不
等式组所确定的平面区域在x 2+y 2
=4内的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．π
D ．2π
2． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ） A ．6
B ．9
C ．36
D ．72
3． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）
A.32
-
B.1-
C.
D.
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.
4． 若函数y=x 2+（2a ﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[﹣，+∞）
B ．（﹣∞，﹣]
C ．[，+∞）
D ．（﹣∞，]
5． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y z <<
D ．y x z << 7． 若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1}
8． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
9． （2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）
A
． B
．C
．
D
． 10．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如
由2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
11．记集合{}
2
2
(,)1A x y x y =+?和集合{}(,)1,0,0B x y x y x
y =+３?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，
若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ） A ．
12p B ．1p C ．2
p
D ．13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 12．二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
二、填空题
13．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()
f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．
2
2
3y +=，那么y
x
的最大值是 ． 16．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数()3
f x x x =-+的单调增区间是__________．
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
18．已知f （x ）
=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2015（x ）的表达式为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从 某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试 成绩（百分制）的茎叶图如图所示.
（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）
20．已知曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系；
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．
21．已知关x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P={1，2，3}Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．
（1）列举出所有的数对（a，b）并求函数y=f（x）有零点的概率；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
22．已知集合P={x|2x 2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}．
（1）若a=1，求P ∩Q ；
（2）若x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
23．如图，在四边形ABCD 中,,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠=, 四 边形绕着直线AD 旋转一周.
（1）求所成的封闭几何体的表面积； （2）求所成的封闭几何体的体积.
24．（本题12分）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n
n x p nq =+（*
n N ∈，p ，为常数），且145x x x ，，成等差数列，求： （1）p q ，的值；
（2）数列{}n x 前项和n S 的公式.
固安县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．
则f（x）=x3﹣x2+ax，
函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，
因为原点处的切线斜率是﹣3，
即f′（0）=﹣3，
所以f′（0）=a=﹣3，
故a=﹣3，b=2，
所以不等式组为
则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，
如图阴影部分表示，
所以圆内的阴影部分扇形即为所求．
∵k OB=﹣，k OA=，
∴tan∠BOA==1，
∴∠BOA=，
∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，
∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，
故选：B
【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．
2．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2
=2． 则a 2a 6=9×q 6
=72．
故选：D ．
3． 【答案】D
【解析】易知周期112()1212T π5π=-=π，∴22T ωπ==.由52212k ϕπ⨯+=π（k ∈Z ），得526
k ϕπ
=-+π
（k Z ∈），可得56ϕπ=-，所以5()2cos(2)6f x x π=-
，则5(0)2cos()6
f π
=-=，故选D. 4． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=x 2
+（2a ﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=
为对称轴的抛物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，
故2≤
解得a ≤﹣
故选B ．
5． 【答案】B
【解析】解：抛物线y 2
=4x 的准线方程为：x=﹣1， ∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3． 故选：B ．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
6． 【答案】A 【解析】
考点：对数函数，指数函数性质．
7．【答案】D
【解析】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．
8．【答案】C
【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
9．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
10．【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 11．【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示OAB D
及其内部，由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为1
1
2P ==p 2p
，故选A.
12．【答案】B
【解析】因为(1)(N )n x n *+?的展开式中3
x 项系数是3C n ，所以3
C 10n =，解得
5n =，故选A ． 二、填空题
13．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()
21()0f x x e
f x '≤
≥⇒≥′时，()
21()0f x x e
f x '><⇒<′时，所以()y f x =的
增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间
14．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意得f ′（1）=3，且f （1）=3×1﹣2=1
所以f （1）+f ′（1）=3+1=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．
15．
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
法，本题的解答中把y
x 的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
16．【答案】(
【解析】()2
310f x x x ⎛=-+>⇒∈ ⎝'⎭ ,所以增区间是⎛ ⎝⎭
17．【答案】=
．
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2
B ．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2
，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．
C=，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ， 由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2
+ab ．
化简可得 5ab=3b 2
，∴ =．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
18．【答案】．
【解析】解：由题意f1（x）=f（x）=．
f2（x）=f（f1（x））=，
f3（x）=f（f2（x））==，
…
f n+1（x）=f（f n（x））=，
故f2015（x）=
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36得4x2+9y2=36，
化为；
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=，
∵θ∈R，∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为．
【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【答案】
【解析】解：（1）（a，b）共有（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，
1），（2，2），（2，3），（2，4），（3﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况
函数y=f （x ）有零点，△=b 2
﹣4a ≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共
6种情况满足条件
所以函数y=f （x ）有零点的概率为
（2）函数y=f （x ）的对称轴为，在区间[1，+∞）上是增函数则有
，（1，﹣1），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况满足条件
所以函数y=f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为
【点评】本题主要考查概率的列举法和二次函数的单调性问题．对于概率是从高等数学下放的内容，一般考查
的不会太难但是每年必考的内容要引起重视．
22．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x ﹣1）（x ﹣2）≤0}={x|1≤x ≤2}
则P ∩Q={1}
（2）∵a ≤a+1，∴Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}={x|a ≤x ≤a+1}
∵x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，∴P ⊆Q
∴
，即实数a 的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．
23．【答案】（1）(8π+；（2）20
3
π． 【解析】
考
点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积. 24．【答案】（1）1,1==q p ；（2）2
)
1(22
1
++
-=-n n S n n .
考
点：等差，等比数列通项公式，数列求和.。