《序列的傅里叶变换的定义和性质

X 1 (e ) FT [ x1 (n)], X 2 (e j ) FT [ x2 (n )], j j bX ( e j FT [ ax ( n ) bx ( n )] aX ( e ) ) FT [ ax ( n ) bx ( n )] aX ( e ) bX ( e 1 2 1 2 则： FT [ax ( 1 2 1 j 2 j ) 1 n ) bx2 ( n )] aX 1 ( e ) bX 2 ( e )
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数
即 ：HR(ejω)=HR(e-jω)
HI(ejω)=-HI(e-jω)
序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分 ho(n)的关系
h(n) = he(n) + ho(n)
he(n)=1/2[h(n) + h(-n)] ho(n)=1/2[h(n) - h(-n)] 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：
FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω) 结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)， 而序 列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部[jXI(ejω)] 。
序列的傅里叶变换的定义和性质 总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：

n
n n

结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭
对称性， 虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。
序列的傅里叶变换的定义和性质
(b) 序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n)之和 1
xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 x(n)=xe(n)+xo(n) 1 1 其中： x ( n ) [ x ( n ) x ( n )] xo ( n ) [ x ( n ) x ( n )] e 2 2 将上面两式分别进行FT， 得到 1 xo (n ) [ x(jω n) x ( n )] jω FT[xe(n)]=1/2[X(e )+X*(e )]=Re[X(ejω)]=XR(ejω) 2
2 nn 1 j j j j j j n j j j j n X ( e ) [ X ( e )n X x (n) j) e (( e )e)FT [ jx [ i[ jx (jx n )] n )] j j x ( ( n n ) ) e e o ([ i X ( ) X FT e jx ) ( n )] FT [ j jx ( x )] X )FT FT ( n )] j x ( n e o (X oo i( r r Xo )] j i x or( e ) FT o [ jx i i ( n2 r( i r n n
xor(n)=－xor(-n) xoi(n)= xoi(-n)
实部 是奇 函数 虚部 是偶 函数
序列的傅里叶变换的定义和性质 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例1] 试分析x(n)=e jωn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的形式， 得到 x(n)=cosωn+j sinωn
时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT
序列的傅里叶变换的定义和性质
2. 线性
j j j j 设： X 1 ( e ) FT [ x ( n )], X ( e ) FT [ x2x (2 n X 1 (e ()], n)], 1x1 ( n )], X 2 2 (e j ) FT [ j ) FT [
2,
h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)
n0 n0 n0
u (n)
分段增 益函数
1, 0,
说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其
奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n) 时，需要补充一点h(o)δ(n)信息
实部 是偶 函数 虚部 是奇 函数
序列的傅里叶变换的定义和性质
(2) 共轭反对称序列 共轭反对称序列满足：
xo(n)=－x*o(-n)
将x0(n)用其实部与虚部表示： xo(n)=xor(n)+jxoi(n) 上式两边n用-n代替，取共轭： x* (-n)=x (-n)－jx (-n) o or oi 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到
X (e j )
n


x(n)e jn
称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform) 缩写字 母表示。 FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下 式：
n


x(n)
序列的傅里叶变换的定义和性质
[例]:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT
引言
信号和系统的两种分析方法： 时域分析方法和频率分析方法 (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述；
信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；
(2)时域离散信号和系统
信号用序列表示；
系统用差分方程描述； 频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；
序列的傅里叶变换的定义和性质 1 序列傅里叶变换的定义
h(o),
n0
h o), n0 0( ， n=0 1 h(n ), n 0 2 1 h( n ), n 0 2
he (n)
1 ho (n ) h(n ), n 0 2 1 h( n ), n 0 2
序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为
1 j j 1 j j )] X ( e ) [ X ( e ) X ( e Xe ( e ) [ X ( e ) X ( e )] e 2 2 1 j j j 1 j j j )] X ( e ) [ X ( e ) X ( e Xo ( e ) [ X ( e ) X ( e )] o 2 2
j j
序列的傅里叶变换的定义和性质
(5) 研究FT的对称性 (a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行FT， 得到: X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
j j j j j n nj n j j n n n
上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。
序列的傅里叶变换的定义和性质
(3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和
x(n)=xe(n)+xo(n)
xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭：
x*(-n)=xe(n)-xo(n)
根据上面两式， 得到
1 ( n )] x ( n ) [ x ( n ) x xe e ( n ) 2 [ x ( n ) x ( n )] 2 1 1 ( n )] x ( n ) [ x ( n ) x xo ( n ) [ x ( n ) x ( n )] o 2 2
式中a, b为常数
3. 时移与频移
设X(e
jω)=FT[x(n)]，
那么
j n0 j n0
改变相位
j j
FT ee ) ) FT [ [x x( (n n n n00)] )] e e X X(( j0n j ( 0 ) j0nx ( n )] X ( e j ( FT [ e ) 0 FT [e x(n)] X (e )
sin(
N
)
N
P36 例题2.1.2
序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立
X (e j )
结论：
n


x (n )e j ( 2 M ) n , M为整数
(1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。 (2) X(ejω)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信 号在频域中的分布规律。 (3) 在ω＝0,±2π,±4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π
序列的傅里叶变换的定义和性质 4. FT的对称性
(1) 共轭对称序列 共轭对称序列xe(n)满足：
xe(n)=x*e(-n) xe(n)=xer(n)+jxei(n)
将xe(n)用其实部与虚部表示：
上式两边n用-n代替，取共轭： x* (-n)=x (-n)-jx (-n) e er ei
得到：
xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
N
序列的傅里叶变换的定义和性质
[例]:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT
sin( ) ( N 1) 2 arg[ X (e j )] 2 ] X (e j ) arg[ 2 sin( ) sin( ) 2 2
设N=4， 幅度与相位随 ω变化曲线如下图所示
j 1 j j (e X ( e ) ) FT FT [ x [ ( x n ( )] n )] x x ( n ( n ) e ) e X ( e ) FT X ( [ e x ( ) n )] FT [ x ( x n )] ( n ) e X ( e ) FT xr ( n )] ( n()e e ) FT r [r r r xr X Xe( e ) [ X ( e ) X r r [ xrr ( n )] x ( n r )
X( e
j
) RN ( n )e
n

jn
e
n 0
N 1
jn
e
j ( N 1 ) 2
sin(N ) 2 sin 2
1 e j 1 e
N
2
jN
X (e j )
sin(
)
sin( ) 2 sin( ) ( N 1) 2 ] arg[ X (e j )] arg[ 2 sin( ) 2
x(n) = xr(n) + jxi(n) FT X(ejw)= Xe(ejw) + Xo(ejw) x(n) = xe(n) + xo(n) FT X(ejw) = XR(ejw) + jXI(ejw)
序列的傅里叶变换的定义和性质
(6) 研究实因果序列h(n)的对称性 因为 h(n) 是实序列，其 FT 只有共轭对称部分 He(ejω) ，共轭 反对称部分为零。 所以其FT具有共轭对称性。 即： H(ejω)=He(ejω)
序列的傅里叶变换的定义和性质
(4) 频域函数X(ejω)的对称性 任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部 分之和：
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) Xe(ejω) = X*e(e－jω) Xo(ejω) =－X*o(e－jω)
Xe(ejω), Xo(ejω)和原频域函数X(ejω)的关系
序列的傅里叶变换的定义和性质 [例2]：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为
HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).
n
jw j ( 2 -jwn 解 ∵ HR (ejw)=FT[he(n)]=1+0.5 ejw +X (e je ) (n ) 0.5 = hex (n) ee