2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (上海卷) WORD版

高考注意事项
1．进入考场时携带物品。

考生进入考场,只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。

严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。

考场内不得自行传递文具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备,所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品,以免影响入场时间。

2．准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后,在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。

填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规,查实后按照有关规定严肃处理。

监考员贴好条形码后,考生必须核对所贴条形码与自己姓名、准考证号是否一致,如发现不一致,立即报告监考员要求更正。

3．考场面向考生正前方墙壁上方悬挂时钟,为考生提供时间参考。

考场时钟时间指示不作为考试时间信号,考试时间一律以考点统一发出铃声信号为准。

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1、 本试卷共4页,23道试题,满分150分,考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求,作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1、设x R ∈,则不等式13<-x 解集为______________________
2、设i
i
Z 23+=
,期中i 为虚数单位,则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则12l l 与距离是_______________ 4、某次体检,6位同学身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据中位数是_________（米）
5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(图像上,则________)()(1=-x f x f 的反函数
6、如图,在正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面ABCD 边长为3,1BD 与底面所成角大小为
3
2
arctan
,则该正四棱柱高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上解为___________
8、在n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-23二项展开式中,所有项二项式系数之和为256,则常数项等于_________
9、已知ABC ∆三边长分别为3,5,7,则该三角形外接圆半径等于_________
10、设.0,0>>b a 若关于,x y 方程组1
1
ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则b a +取值范围是____________
11.无穷数列{}n a 由k 个不同数组成,n S 为{}n a 前n 项和.若对任意*
∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 最
大值为___________.
12.在平面直角坐标系中,已知A （1,0）,B （0,-1）,P 是曲线21x y -=上一个动点,则BA BP ⋅取值范围是___________. 13.设
[)
π2,0,,∈∈c R b a ,若对任意实数
x
都有
()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-sin 33sin 2π,则满足条件有序实数组()c b a ,,组数为___________.
14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形821A A A 中心,()0,11A .任取不同两点
j i A A ,,点P 满足0=++j i OA OA OP ,则点P 落在第一象限概率是___________.
二、选择题（5×4=20）
15.设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中,对应曲线为右图是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=
17.已知无穷等比数列{}n a 公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞
→lim .下列条件中,使得
()
*∈<N n S S n 2恒成立是（ ）
（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a
18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 三个函数,对于命题：①若()()f x g x +、
()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期函数,则()f x 、()g x 、()h x 均
是以T 为周期函数,下列判断正确是（ ） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题
C 、①为真命题,②为假命题
D 、①为假命题,②为真命题 三、解答题（本大题共有5题,满分74分）
19.（本题满分12分）将边长为1正方形11AAOO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为23π,11A B 长为3
π
,其中1B 与C 在平面11AAOO 同侧。

（1）求三棱锥111C O A B -体积； （2）求异面直线1B C 与1AA 所成角大小。

1A
A
1B
20、（本题满分14）
有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货蔬菜可送到F 点或河边运走。

于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中蔬菜运到河边较近,2S 中蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 分界线C 上点到河边与到F 点距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 中点,点F 坐标为（1,0）,如图 （1）求菜地内分界线C 方程
（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积两倍,由此得到1S 面积“经验值”为
3
8。

设M 是C 上纵坐标为1点,请计算以EH 为一边、另一边过点M 矩形面积,及五边形EOMGH 面积,并判断哪一个更接近于1S 面积“经验值”
21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>左、右焦点分别为12F F 、,直线l 过2F 且与双曲线交于A B
、两点。

（1）若l 倾斜角为
2
π
,1F AB ∆是等边三角形,求双曲线渐近线方程；
（2）设3b =,若l 斜率存在,且11()0F A F B AB +⋅=,求l 斜率.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知a R ∈,函数21
()log (
)f x a x
=+. （1）当5a =时,解不等式()0f x >；
（2）若关于x 方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=解集中恰好有一个元素,求a 取值范围；
（3）设0a >,若对任意1[,1]2
t ∈,函数()f x 在区间[,1]t t +上最大值与最小值差不超过1,求a 取值范围.
23. （本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P .
（1）若{}n a 具有性质P ,且12451,2,3,2a a a a ====,67821a a a ++=,求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由；
（3）设{}n b 是无穷数列,已知*
1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质
P ”充要条件为“{}n b 是常数列”.
参考答案
1. )4,2(
2. 3-
3.
5
5
2 4. 76.1 5. 2log (x 1)-
6. 7. 566ππ或 8. 112
9.
3
3
7 10. 2+∞（，） 11. 4
12. [0,1 13. 4 14.
528
15.A 16.D 17.B 18.D
19. （1）由题意可知,圆柱高1h =,底面半径1r =． 由11A B 长为
3
π,可知1113π∠A O B =．
11111111111sin 24S ∆O A B =O A ⋅O B ⋅∠A O B =
111111C 1V 3S h -O A B ∆O A B =⋅=
． （2）设过点1B 母线与下底面交于点B ,则11//BB AA , 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成角．
由C A 长为
23π,可知2C 3
π∠AO =, 又1113
π
∠AOB =∠A O B =
,所以C 3
π
∠OB =
,
从而C ∆OB 为等边三角形,得C 1B =． 因为1B B ⊥平面C AO ,所以1C B B ⊥B ． 在1C ∆B B 中,因为1C 2
π
∠B B =
,C 1B =,11B B =,所以1C 4
π
∠B B =
,
从而直线1C B 与1AA 所成角大小为
4
π
． 20. （1）因为C 上点到直线EH 与到点F 距离相等,所以C 是以F 为焦点、以 EH 为准线抛物线在正方形FG E H 内部分,其方程为24y x =（02y <<）． （2）依题意,点M 坐标为1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
． 所求矩形面积为
52,而所求五边形面积为114
． 矩形面积与“经验值”之差绝对值为
581
236
-=,而五边形面积与“经验值”之差 绝对值为
1181
4312
-=,所以五边形面积更接近于1S 面积“经验值”
． 考点：1.抛物线定义及其标准方程；2.面积. 21（1）设(),x y A A A ．
由题意,()2F ,0c ,c ,()
22241y b c b A =-=,
因为1F ∆AB 是等边三角形,所以2c A =,
即()
24413b b +=,解得2
2b =．
故双曲线渐近线方程为y =． （2）由已知,()1F 2,0-,()2F 2,0．
设()11,x y A ,()22,x y B ,直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．
由()2
213
2y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩
,得()2222
34430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点,所以230k -≠,且()
2
3610k ∆=+>．
设AB 中点为(),x y M M M ．
由()
11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M⋅AB =,知1F M ⊥AB ,故1F 1k k M
⋅=-． 而2122223
x x k x k M +==-,()2623k y k x k M M =-=-,1F 2
323k
k k M =-, 所以
2
3123k k k ⋅=--,得2
35k =,故l
斜率为． 22.解：（1）由21log 50x ⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
,得151x +>,
解得()1,0,4x ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭
．
（2）
()1
425a a x a x
+=-+-,()()24510a x a x -+--=, 当4a =时,1x =-,经检验,满足题意． 当3a =时,121x x ==-,经检验,满足题意． 当3a ≠且4a ≠时,11
4x a =
-,2
1x =-,12x x ≠． 1x 是原方程解当且仅当
1
1
0a x +>,即2a >； 2x 是原方程解当且仅当
2
1
0a x +>,即1a >． 于是满足题意(]1,2a ∈． 综上,a 取值范围为(]
{}1,23,4．
（3）当120x x <<时,12
11
a a x x +>+,221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
函数()f x 在区间[],1t t +上最大值与最小值分别为()f t ,()1f t +．
()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥,对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
成立． 因为0a >,所以函数()2
11y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增,1
2
t =
时,y 有最小值
3142a -,由31042a -≥,得23
a ≥． 故a 取值范围为2
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
23.解析：（1）因为52a a =,所以63a a =,743a a ==,852a a ==． 于是678332a a a a ++=++,又因为67821a a a ++=,解得316a =． （2）{}n b 公差为20,{}n c 公比为
13
, 所以()12012019n b n n =+-=-,1
518133n n n c --⎛⎫
=⋅= ⎪
⎝⎭
．
520193n n n n a b c n -=+=-+．
1582a a ==,但248a =,6304
3
a =
,26a a ≠, 所以{}n a 不具有性质P ． （3）[证]充分性：
当{}n b 为常数列时,11sin n n a b a +=+．
对任意给定1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性：
用反证法证明．假设{}n b 不是常数列,则存在k *
∈N ,
使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠．
下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,则
()0f m m b ππ=->,()0f m m b ππ-=--<,故存在c 使得()0f c =．
取1a c =,因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤）,所以21sin a b c c a =+==, 依此类推,得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．
但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+,即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ,矛盾． 必要性得证．
综上,“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”充要条件为“{}n b 是常数列”．。