经典高考概率分布类型题归纳

经典高考概率分布类型题归纳高考真题
一、超几何分布类型
二、二项分布类型
三、超几何分布与二项分布比照
四、古典概型算法
五、独立事件概率分布之非二项分布〔主要在于如何分类〕
六、综合算法
高考真题
2021年
22、〔本小题总分值10分〕〔相互独立事件〕
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品一等品率为90%，二等品率为10%。

生产1件甲产品，假设是一等品那么获得利润4万元，假设是二等品那么亏损1万元；生产1件乙产品，假设是一等品那么获得利润6万元，假设是二等品那么亏损2万元。

设生产各种产品相互独立。

（1）记X〔单位：万元〕为生产1件甲产品与1件乙产品可获得总利润，求X 分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率。

【解析】此题主要考察概率有关知识，考察运算求解能力。

总分值10分。

〔1〕由题设知，X可能取值为10，5，2，-3，且
××0.9=0.18，
××0.1=0.02。

由此得X分布列为：
X1052-3
P
〔2〕设生产4件甲产品中一等品有件，那么二等品有件。

由题设知，解得，
又，得，或。

所求概率为
答：生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率为0.8192。

〔2021年〕22．〔本小题总分值10分〕〔古典概型〕
设为随机变量，从棱长为1正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，值为两条棱之间距离；当两条棱异面时，．〔1〕求概率；
〔2〕求分布列，并求其数学期望．
【命题意图】此题主要考察概率分布列、数学期望等根底知识，考察运算求解能力.
【解析】〔1〕假设两条棱相交，那么交点必为正方形8个顶点中一个，过任意一个顶点恰有3条棱，
∴共有对相交棱，∴==.
(2)假设两条棱平行，那么它们距离为1或，其中距离为共有6对，故
==,
∴随机变量分布列是
01
P
〔2021•江苏〕〔古典概型〕
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球与2个绿球，这些球除颜色外完全一样．
〔1〕从盒中一次随机取出2个球，求取出2个球颜色一样概率P；
〔2〕从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中最大数，求X概率分布与数学期望E〔X〕．〔2021年〕23．〔本小题总分值10分〕
一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部一样．现将口袋中球随机地逐个取出，并放入如下图编号为抽屉内，其中第次取出球放入编号为抽屉．
123
〔1〕试求编号为2抽屉内放是黑球概率；
〔2〕随机变量表示最后一个取出黑球所在抽屉编号倒数，是数学期望，证明：．
试题解析：〔1〕编号为2抽屉内放是黑球概率为：．〔2〕随机变量X概率分布为
X……
P……
随机变量X期望为．
所以
即．
【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量数学期望一般步骤为：〔1〕“判断取值〞，即判断随机变量所有可能取值，以及取每个值所
表示意义；〔2〕“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见有古典
概型公式、几何概型公式、互斥事件概率与公式、独立事件概率积公式，以及对立事件概率公式等)，求出随机变量取每个值时概率；〔3〕“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列性质
检验所求分布列或某事件概率是否正确；
〔4〕“求期望值〞，一般利用离散型随机变量数学期望定义求期望值，对于有些实际问题中随机变量，如果能够断定它服从某常见典型分布(如二项分布)，那么此随机变量期望可直接利用这种典型分布期望公式(
)求得．因此，应熟记常见典型分布期望公式，可
加快解题速度．
一、超几何分布
1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 分布列．
【提示】 从袋中随机摸4个球情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 可能取值为5,6,7,8.
P(X ＝5)＝C14C33C47＝435，P(X ＝6)＝C24C23C47＝18
35，
P(X ＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X ＝8)＝C44C03C47＝1
35.
故所求分布列为
X 5 6 7 8 P
4
35
1835
1235
135
2.PM2.5 2.5微米颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2021，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2021年全年每天PM2.5监测数据中随机地抽取10天数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值(微克/立
[25,35]
(35,45]
(45,55]
(55,65]
(65,75]
(75,8
5]
方米) 频数
3
1
1
1
1
3
〔1〕从这10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量到达一级概率；
〔2〕从这10天数据中任取3天数据．记X 表示抽到PM2.5监测数据超标天数，求X 分布列．
【解析】〔1〕记“从10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量到达一级〞为事件A ，那么P (A )＝C13·C27C310＝21
40
.
〔2〕依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 可能取值为0,1,2,3.
P (X ＝k )＝Ck 3·C3－k
7C310(k ＝0,1,2,3)，
所以P (X ＝0)＝C03C37C310＝7
24，
P (X ＝1)＝C13C27C310＝21
40，
P (X ＝2)＝C23C17C310＝7
40，
P (X ＝3)＝C33C07C310＝1
120，
因此X 分布列为
X
1
2
3
P
7
24
2140
740
1120
点评：超几何分布上述模型中，“任取 件〞应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件〞. 如果是有放回地抽取，就变成了 重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布区别就在于是不放回地抽样，还是有
放回地抽样. 假设产品总数
很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放
回抽样.
3.盒内有大小一样9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
(1)求取出3个球中至少有一个红球概率； (2)求取出3个球得分之与恰为1分概率；
(3)设ξ为取出3个球中白色球个数，求ξ分布列． 【解】 (1)P ＝1－C37C39＝712
.
(2)记“取出1个红色球，2个白色球〞为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球〞为事件C ，那么P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝5
42
.
(3)ξ可能取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P(ξ＝k)＝Ck 3C3－k
6C39，k ＝0,1,2,3.
故P(ξ＝0)＝C36C39＝5
21，
P(ξ＝1)＝C13C26C39＝15
28，
P(ξ＝2)＝C23C16C39＝3
14，
P(ξ＝3)＝C33C39＝1
84，
ξ分布列为
ξ 0 1 2 3 P
5
21
1528
314
184
二、二项分布
1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理〞原那么，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院与一家社区医院作为本人就诊医疗机构.假设甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院选择是相互独立. 〔1〕求甲、乙两人都选择A 社区医院概率；
〔2〕求甲、乙两人不选择同一家社区医院概率；
〔3〕设4名参加保险人员中选择A 社区医院人数为X ，求X 概率分布与数学期望．
2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯概率都是23，出现绿灯概率都是1
3.记这4盏灯中出现红灯数量为X ，
当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时概率； (2)求X 数学期望．
解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯概率都是2
3，
故X ＝2时概率
P ＝C24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫132＝827.
(2)法一 X 所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知
P(X ＝k)＝Ck 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫134－k
(k ＝0,1,2,3,4)．
∴X 概率分布列为
X 0 1 2 3 4 P
181
881
881
3281
1681
∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝8
3
.
3.羽毛球 A 队与B 队进展对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜概率都是P
.
〔1〕假设比赛6局，且P =, 求A队至多获胜4局概率是多少？
〔2〕假设比赛6局，求A队恰好获胜 3局概率最大值是多少？
(3) 假设采用“五局三胜〞制，求A队获胜时比赛局数分布列与数学期望.
解析：〔1〕设“比赛6局，A队至多获胜4局〞为事件A
那么==[来源:学。

科。

网Z。

X。

X。

K]
A队至多获胜4局概率是
(2)设“假设比赛6局，A队恰好获胜3局〞为事件 B ,那么
当P=0或P=1时，显然有P(B)=0
当0<P<1时；=20=20
当且仅当
〔3〕假设采用“五局三胜〞制，A队获胜时比赛局数=3，4，5所以分布列为：
345
〔二项分布〕有一批产品，其中有12件正品与4件次品，从中有放回地依次任取3件，假设X表示取到次品次数，那么P〔X=2〕＝
变式辨析：
1.〔超几何分布〕有一批产品，其中有12件正品与4件次品，从中任取3件，假设X表示取到次品件数，那么P〔X〕＝
2. 有一批产品，其中有12件正品与4件次品，从中有放回地依次取件，第k次取到次品概率，那么P〔X〕＝
3.有一批产品，其中有12件正品与4件次品，从中不放回地依次取件，第k 次取到次品概率，那么P〔X〕＝
4.有一批产品，其中有12件正品与4件次品，从中不放回地依次取k 〔〕件，恰好取到3件次品时停顿，概率P 〔X 〕＝ 三、古典概型算法
1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同题目，其中选择题6个，判断题4个.
〔1〕假设甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题概率是多少？
②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题概率是多少？ （2）假设甲从中随机抽取5个题目，其中判断题个数为X ，求X 概率分布与数学期望.
2.某校要进展特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去
三个不同班级进展随班听课，要求每个班级至少有一位评估员．
〔1〕求甲、乙同时去班听课概率；
〔2〕设随机变量为这五名评估员去班听课人数，求分布列与数学期望． 〔分配问题，典型例题，选与排〕
解：〔1〕五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个．故总共听课可能性有种，其中甲乙同时去A 班听课可能性有种……………………2分 所以所求概率为
……………………4分
〔2〕可取值为1，2，3，
……………………8分
从而分布列为： ∴
……………………10分
3.一个均匀正四面体四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上数字分别为，记. 〔1〕分别求出X 取得最大值与最小值概率； 〔2〕求X 概率分布及方差.
解：ξ取值为0，1，2，4，5，8， P 〔ξ=0〕=，
1
2
3
P
P 〔ξ=1〕=4××=， P 〔ξ=2〕=4××=， P 〔ξ=4〕=2××=， P 〔ξ=5〕=4××=， P 〔ξ=8〕=， ∴ξ分布列为
∴ξ数学期望E ξ=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3。

4.某市公租房房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区房源，且申请其中任一个片区房源是等可能，求该市任4位申请人中： 〔1〕恰有2人申请A 片区房源概率；
〔2〕申请房源所在片区个数X 概率分布与期望.
5.设S 是不等式x 2
－x －6≤0解集，整数m ，n ∈S.
(1)记“使得m ＋n ＝0成立有序数组(m ，n)〞为事件A ，试列举A 包含根
本领件；
．
)ξE(，求ξ概率分布表及其数学期望2
m 设ξ＝(2) ，
3≤x ≤2，得－0≤6－x －2
x 由(1) 解 即S ＝{x|－2≤x ≤3}．
由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含根本领件为(－2,2)，(2，
－2)，
(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m 所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
，
0,1,4,9所有不同取值为2
m 所以ξ＝ ，
1
6＝0)ξ＝P(且有 ，
1
3＝26＝1)ξ＝P( ，
1
3
＝26＝4)ξ＝P( .
1
6
＝9)ξ＝P( 故ξ概率分布表为
ξ 0 1 4 9
P 16 13 13 16
.
19
6
＝16×9＋13×4＋13×1＋16×0＝)ξE(所以 6.在高中“自选模块〞考试中，某考场每位同学都选了一道数学题，第一小组选?数学史与不等式选讲?有1人，选?矩阵变换与坐标系与参数方程?有5人，第二小组选?数学史与不等式选讲?有2人，选?矩阵变换与坐标系与参数方程?有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况 . (1)求选出4人均为选?矩阵变换与坐标系与参数方程?概率；
(2)设X 为选出4个人中选?数学史与不等式选讲?人数，求X 分布列与数学期望． 〔主要是选〕
解 (1)设“从第一小组选出2人均选?矩阵变换与坐标系与参数方程?〞为事件A ，“从第二小组选出2人均选?矩阵变换与坐标系与参数方程?〞为事件B.
由于事件A 、B 相互独立，
所以P(A)＝C25C26＝23，P(B)＝C24C26＝25
，
所以选出4人均选?矩阵变换与坐标系与参数方程?概率为P(A ·B)＝P(A)·P(B)＝23×25＝4
15.
(2)X 可能取值为0,1,2,3，那么
P(X ＝0)＝415，P(X ＝1)＝C25C26·C12·C14C26＋C15C26·C24C26＝22
45，
P(X ＝3)＝C15C26·1C26＝1
45
.
P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝2
9.
故X 分布列为
P 4
15
22
45
2
9
1
45
所以X数学期望E(X)＝0×4
15＋1×
22
45
＋2×
2
9
＋3×
1
45
＝1 (人)．
7.甲盒内有大小一样1个红球与3个黑球，乙盒内有大小一样2个红球与4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
〔I〕求取出4个球均为黑色球概率；
〔II〕求取出4个球中恰有1个红球概率；
〔III〕设ξ为取出4个球中红球个数，求ξ分布列与数学期望．
8.袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全一样．从袋中随机取出一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程次后，袋中白球个数记为．
〔1〕求随机变量概率分布及数学期望；
〔2〕求随机变量数学期望关于表达式．
五、独立事件概率分布之非二项分布〔主要在于如何分类〕
1.开锁次数数学期望与方差有n把看上去样子一样钥匙，其中只有一把能把大门上锁翻开．用它们去试开门上锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数数学期望与方差．
分析：求时，由题知前次没翻开，恰第k次翻开．不过，一般我们应从简单地方入手，如，发现规律后，推广到一般．解：可能取值为1，2，3，…，n．
；所以
分布列为：
12…k…n
……
2. 射击练习中耗用子弹数分布列、期望及方差
某射手进展射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停顿射击，并进入下一组练习，否那么一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，假设该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数分布列，并求出期望与方差〔保存两位小数〕．
分析：根据随机变量不同取值确定对应概率，在利用期望与方差定义求解．
解：该组练习耗用子弹数为随机变量，可以取值为1，2，3，4，5．＝1，表示一发即中，故概率为
＝2，表示第一发未中，第二发命中，故
＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故
＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故
＝5，表示第五发命中，故
因此，分布列为
12345
P
3.〔三项分布〕在某校组织一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在BA处命中率q为0.25，在B处命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练完毕后所得总分，其分布列为
〔1〕求q值；
〔2〕求随机变量数学期望E；
〔3〕试比拟该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分概率大小．
解:〔1〕设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，那么事件A，B相互独立，且P(A)=0.25，，P(B)= q，．根据分布列知：=0时=0.03，所以，q=0.8．
〔2〕当=2时，P1=
q()×q()=0.24．
当=3时，P2 ==0.01，
当=4时，P3==0.48，
当=5时，P4=
=0.24．
所以随机变量分布列为：
随机变量数学期望．
〔3〕该同学选择都在B处投篮得分超过3分概率为
该同学选择〔1〕中方式投篮得分超过3分概率为0.48+0.24=0.72．
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分概率大．
4.
5.〔三项分布〕某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三
个景点概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览景点数与没有游览景点数之差绝对值．
〔Ⅰ〕求分布列及数学期望； 〔Ⅱ〕记“函数在区间上单调递增〞为事件，求事件概率.
分析：〔2〕这是二次函数在闭区间上单调性问题，需考察对称轴相对闭区间关系，就此题而言，只需
即可．
解：〔1〕分别记“客人游览甲景点〞，“客人游览乙景点〞，“客人游览丙景点〞 为事件． 由相互独立，
.客人游览景点数可能取值为0，1，2，3. 相
应，客人没有游览景点数可能取值为3，2，1，0，所以可能取值为1，3．
所以分布列为 〔Ⅱ〕解法一：因为所以函数
上单调递增，要使
上单调递增，当
且仅当
从而
解法二：可能取值为1，3. 当时，函数上单调递增，
当时，函数上不单调递增.
所以
6.甲、乙两人各进展3次射击，甲每次击中目标概率为1
2，乙每次击中目标
概率为23
.
(1)求乙至多击中目标2次概率；
(2)记甲击中目标次数为Z ，求Z 分布列、数学期望与标准差．
解 (1)甲、乙两人射击命中次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次概率为
1－C33⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫233＝1927.
(2)P(Z ＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫123＝18；
P(Z ＝1)＝C13⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫123＝38；
1 3
P(Z ＝2)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫123＝38；
P(Z ＝3)＝C33⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫123＝18.
Z 分布列如下表：
Z 0 1 2 3 P
18
38
38
18
E(Z)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝3
2
，
D(Z)＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0－322×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－322×18＝34，∴D Z ＝
3
2
. 7.〔三项分布〕某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同工艺品，制作过程必
须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格前方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品个数为ξ，求随机变量ξ期望与方差．
解 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3.
(1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，那么
P(E)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)
××××××0.4＝0.38.
(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格概率均为p ＝0.3，所以ξ～B(3,0.3)．
故E(ξ)＝np ＝3×0.3＝0.9，
V(ξ)＝np(1－p)＝3××0.7＝0.63.
8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试时机，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后考试，否那么就一直考到第4次为止。

如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考
试次数分布列与期望，并求李明在一年内领到驾照概率.
解：取值分别为1，2，3，4.
，说明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P〔〕=0.6.
，说明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
ξ=3，说明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
ξ=4，说明李明第一、二、三次考试都未通过，故
∴李明实际参加考试次数ξ分布列为
ξ1234
P
∴ξ期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.
9.某先生居住在城镇A处,准备开车到单位B处上班，假设该地各路段发生堵车事件都是独立，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件概率，如图．( 例如：ＡＣＤ算作两个路段：路段ＡC发生堵车事件概率为，路段CD发生堵车事件概率为)．
（１）请你为其选择一条由Ａ到Ｂ路线，使得
途中发生堵车事件概率最小；
（２）假设记ξ路线ＡＣＦＢ中遇到堵车
次数为随机变量ξ，求ξ数学期望Ｅξ．
解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN.
因为各路段发生堵车事件都是独立，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ＡＣDＢ中遇到堵车概率P1为
1－Ｐ()=1－Ｐ()Ｐ()Ｐ ()
＝１－［１－Ｐ(AC)］［１－Ｐ(CD)］［１－P(DB)］＝１－＝
；
同理：路线ＡＣＦＢ中遇到堵车概率P２为
1－Ｐ()=〔小于〕；
路线ＡＥＦＢ中遇到堵车概率P３为
1－Ｐ()= 〔大于〕
显然要使得由Ａ到Ｂ路线途中发生堵车事件概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线ＡＣＦＢ,可使得途中发生堵车事件概率最小.
(2) 路线ＡＣＦＢ中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3．
Ｐ(ξ＝０)＝Ｐ()＝，
Ｐ(ξ＝1)＝Ｐ(AC )＋Ｐ(ＣＦ)＋Ｐ(ＦＢ)
Ｐ(ξ＝２)＝Ｐ(AC ＣＦ)＋Ｐ(ＡＣＦＢ)＋Ｐ(ＣＦＦＢ)
Ｐ(ξ＝3)＝Ｐ()＝＝．
∴Ｅξ＝０×＋１×＋２×＋３×＝。

答:路线ＡＣＦＢ中遇到堵车次数数学期望为
10.分类题型中难题
11〔2021四市联考〕甲乙丙分别从A,B,C,D四道题中独立地选择两道，其中甲必选B题
（1）求甲选做D题，且乙丙不选做D题概率；
（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做次数，求X概率分布与数学期望。

〔1〕设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题〞为事件．
甲选做D题概率为，乙，丙不选做D题概率都是．
那么．
答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题概率为．…………………
3分
〔2〕所有可能取值为0，1，2，3．…………………………………………4分
．……………………………………………8分所以概率分布为
数学期望．…………………10分12.箱子中有4个形状、大小完全一样小球，其中红色小球2个、黑色与白色
小球各1个，
现从中有放回连续摸4次，每次摸出1个球．
〔1〕求4次中恰好有1次红球与1次黑球概率；
〔2〕求4次摸出球颜色种数ξ分布列与数学期望．
解：〔1〕记事件A “摸出1个球，是红色小球〞，事件B “摸出1个球，是
黑色小球〞，事件C “摸出1个球，是白色小球〞，那么A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝14，P (C )＝1
4
．
记事件D “有放回连续摸4次，恰好有1次红球与1次黑球〞， 那么P (D )＝A 24×12×14×(14)2＝332
． 答：恰好有有1次红球与1次黑球概率是3
32
．
〔2〕随机变量ξ可能值为1，2，3．记A i “摸出i 个红色小球〞，B i “摸
出i 个黑色小球〞，C i “摸出i 个白色小球〞．
P (ξ＝1)＝P (A 4＋B 4＋C 4) ＝P (A 4)＋P (B 4)＋P (C 4) ＝(12)4＋(14)4＋(14)4
＝
9
128
； P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＝C 14(12) (14)3＋C 24(12)2 (14)2＋C 34(12)3 (14)＝132＋332
＋18＝1
4
， P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＝C 14(12) (14)3＋C 24(12)2 (14)2＋C 34(12)3 (14)＝132＋332＋18＝1
4
， P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1)＝C 14(14) (14)3＋C 24(14)2 (14)2＋C 34(14)3 (14)＝164＋3128＋164＝7
128
， P (ξ＝2)＝P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＋P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＋P (B 1·C 3
＋B 2·C 2＋B 3·C 1)＝14＋14＋7128＝71
128
；
P (ξ＝3)＝P (A 2·B 1·C 1＋A 1·B 2·C 1＋A 1·B 1·C 2)＝A 24(12)2(14)2＋A 24(14)2 (14)(12)＋A 24(14)2 (14)(12)＝316＋332＋332＝38．
故随机变量ξ分布列为：
ξ 1 2 3 P
9
128
71128
38
所以数学期望E (ξ)＝1×9128＋2×71128＋3×38＝295
128
．
六．拓展
1.某车站每天8∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，8∶00~9∶00到站客车A 可能在8∶10，8∶30，8∶50到站，其概率依次为
;9∶
00~10∶00到站客车B 可能在9∶10，9∶30,9∶50到站，其概率依次为
.
(1) 旅客甲
8∶00到站，设他候车时间为，求分布列与；
(2) 旅客乙8∶20到站，设他候车时间为,求分布列与. 〔1〕旅客8∶00到站，他候车时间分布列为：
(分钟)
〔2〕旅客乙8∶20到站，他候车时间分布列为：
(分钟)
2.A 、B 两个投资工程利润率分别为随机变量X 1与X 2，根据市场分析，X 1与X 2
分布列分别为
X 1 5%
10%
P
X 2
2% 8% 12%
10
30
50
70
50
(1)在A ，B 12A 与B 所获得利润，求方差V(Y 1)、V(Y 2)；
(2)将x(0≤x ≤100)万元投资A 工程，100－x 万元投资B 工程，f(x)表示投资A 工程所得利润方差与投资B 工程所得利润方差与．求f(x)最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值． 解 (1)由题设可知Y 1与Y 2分布列分别为
E(Y 1)＝5×0.8＋10
V(Y 1)＝(5－6)2
×0.8＋(10－6)2
×0.2＝4； E(Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
V(Y 2)＝(2－8)2
×0.2＋(8－8)2
×0.5＋(12－8)2
×0.3＝12.
(2)f(x)＝V ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 100Y1＋V ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫100－x 100Y2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1002V(Y 1)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫100－x 1002
V(Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x)2] ＝41002
(4x 2－600x ＋3×1002
)， 当x ＝6002×4
＝75时，f(x)＝3为最小值.
3.据气象预报，某地区下个月有小洪水概率为0.25，有大洪水概率为0.01。

设工地上有台大型设备，为保护设备有以下三种方案。

方案1：运走设备，此时需花费3800元。

方案2：建一保护围墙，需花费2000元。

但围墙无法防止大洪水，当大
洪水降临，设备受损，损失费为60000元。

方案3：不采取措施，希望不发生洪水。

此时大洪水降临损失60000元，小洪水降临损失10000元。

试比拟哪一种方案好。

解：比拟三者费用期望值即可
A方案：费用为3800
B 方案：设为费用，那么列出分布列如下：
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