苏教版新教材高中数学必修第一册课时练习-任意角

课时练习(二十九) 任意角
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题正确的是( ) A ．三角形的内角必是第一、二象限角 B ．始边相同而终边不同的角一定不相等 C ．第四象限角一定是负角 D ．钝角比第三象限角小
B [只有B 正确．对于A ，如90°角不在任何象限；对于
C ，如330°角在第四象限但不是负角；对于
D ，钝角不一定比第三象限角小．]
2．若α与γ终边关于x 轴对称，则α＋γ的终边落在( ) A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上
D ．y 轴的非正半轴上
A [∵α与γ终边关于x 轴对称，设α＝β＋k 1·360°，k 1∈Z ，γ＝－β＋k 2·360°，
k 2∈Z ，
∴α＋γ＝(k 1＋k 2)·360°＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上．故选A ．] 3．下列说法中不正确的是( ) A ．－75°是第四象限的角 B ．225°是第三象限的角 C ．415°是第二象限的角 D ．－315°是第一象限的角
C [先把角写成k ·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再由α判断角所在的象限．] 4．若α是第四象限角，则180°－α所在象限是( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限
D ．第一象限
B [如图所示，∵α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．]
5．若角α的终边与240°角的终边相同，则α
2
的终边所在象限是( )
A ．第二或第四象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第四象限
D ．第三或第四象限
A [角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α2⎪⎪⎪
α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ， ∴
α
2
终边落在第二象限或第四象限．]
二、填空题
6．已知角α的终边与－100°角的终边关于y 轴对称，则α的取值集合为 ．
{α|α＝k ·360°－80°，k ∈Z } [如图，－80°角与－100°角的终边关于y 轴对称，因此α的取值集合为{α|α＝k ·360°－80°，k ∈Z }．]
7．(一题两空)钟表经过4小时，时针转过的度数为 ，分针转过的度数为 ．
－120° －1 440° [分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过1
3
周．]
8．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝ ．
{－126°，－36°，54°，144°} [当k ＝－1时，α＝－126°；当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°．∴A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}．]
三、解答题
9．写出终边在如图所示直线上的角的集合．
[解] (1)在0°～360°范围内，终边在x 轴上的角有两个，即0°和180°，因此所有与0°角的终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角的
终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边落在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°．因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(3)终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，于是所求角的集合S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
10．已知角x的终边落在如图阴影部分区域(包括边界)，写出角x组成的集合．
[解](1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．
(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．
1．下列说法中正确的是( )
A．120°角与420°角的终边相同
B．若α是锐角，则2α是第二象限的角
C．－240°角与480°角都是第三象限的角
D．60°角与－420°角的终边关于x轴对称
D[对于A,420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以A不正确；对于B，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以B不正确；对于C,480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以C不正确；对于D，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故D正确．]
2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(下图阴影部分)正确的是( )
C [令k ＝0得，45°≤α≤90°，排除B 、
D ，
令k ＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除A ．故选C ．]
3．已知集合M ＝{第一象限角}，N ＝{锐角}，P ＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是 ．(填序号)
①M
P ；②M ∩P ＝N ；③N ∪P ⊆P ．
③ [对于①：390°是第一象限角，但390°>90°．
对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角． 对于③：锐角一定小于90°， 所以N
P ，故N ∪P ⊆P ．]
4．如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2
2
，22出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P 在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒后又恰好回到出发点A ．则θ在第 象限．
一或二 [根据题意知，14秒后，点P 在角14θ＋45°的终边上， ∴45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z ， 即θ＝
k ·180°
7
，k ∈Z ．
又180°＜2θ＋45°＜270°，即67．5°＜θ＜112．5°， ∴67．5°＜
k ·180°
7
＜112．5°，k ∈Z ，∴k ＝3或k ＝4，
∴所求θ的值为540°7或720°
7
．
∵0°＜540°7＜90°，90°＜720°
7＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限．]
5．若α是第一象限角，问－α，2α，α
3
是第几象限角？
[解] ∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°＜－α＜－k ·360°(k ∈Z )，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上．
(3)k ·120°＜α
3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．
法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，
n ·360°＜α
3
＜n ·360°＋30°(n ∈Z )，
∴
α
3
是第一象限角；
当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α
3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，
∴
α
3
是第二象限角；
当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α
3是第三象
限角．
综上可知：α
3
是第一、二或第三象限角．
法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所在的区域，故α
3
为第一、二或第三象限角．。