山东省泰安市新泰市七年级(上)期末数学试卷(五四学制)(解析版)

2019-2019学年山东省泰安市新泰市七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3），那么点A和点B的位置关系是（）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于坐标轴和原点都不对称
2．关于函数y=﹣2x+1，下列结论正确的是（）
A．图象经过点（﹣2，1）B．y随x的增大而增大
C．图象不经过第三象限D．图象不经过第二象限
3．一列火车从兰州站出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达火车站减速停下．图象中可大致刻画火车在这段时间内速度随时间变化情况的是（）
A．B．
C．D．
4．如图所示的四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，其中是轴对称图形的共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．16的平方根是（）
A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4
6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）
A．12m B．13m C．16m D．17m
7．如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=135°，则∠EDF的度数为（）
A．55°B．45°C．35°D．65°
8．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或25
9．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
10．如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港岀发到乙港行驶路程随时间变化的图象．则下列结论错误的是（）
A．轮船的速度为20千米/时
B．快艇的速度为40千米/时
C．轮船比快艇先出发2小时
D．快艇到达乙港用了6小时
11．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）
A．A点B．B点C．C点D．D点
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）
A．3 B．C．5 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
13．的值等于．
14．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是．
15．若直线y=ax+4与两坐标轴所围成的三角形面积是8，则a=．16．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF=4，AH=12，那么AB等于．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为4，则BC等于．
18．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，CD是△ABC的一条高线．若
E，F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是．
三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、
证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）计算：﹣22+﹣+
（2）解方程：﹣（x﹣2）3=125
20．（8分）高铁的开通，给泰安市民出行带来了极大的方便，五一期间，乐乐和颖颖相约到青岛市某游乐场游玩，乐乐乘私家车从泰安出发1小时后，颖颖乘坐高铁从泰安出发，先到青岛火车站，然后转乘出租车到游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开泰安的距离y（千米）与时间t（小时）的关系如图所示，请结合图象解决下面问题．
（1）高铁的平均速度是每小时多少千米；
（2）当颖颖到达青岛火车站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？21．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
22．（10分）如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA=OB．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
23．（10分）已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，求证：DE=DF．
24．（10分）某酒厂每天生产A、B两种品牌的白酒共1000瓶，A、B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表：
种类 A B
成本（元/瓶）60 45
利润（元/瓶）30 25
设每天生产A种品牌白酒x瓶，这两种酒每天共获利润y元，
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）如果该酒厂每天对这两种酒投入成本51000元，那么这两种酒每天获利多少元？
25．（10分）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．
2019-2019学年山东省泰安市新泰市七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，
﹣3），那么点A和点B的位置关系是（）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于坐标轴和原点都不对称
【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质，横坐标不变纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∴点A和点B的位置关系是关于x轴对称．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，熟练记忆坐标特点是解题关键．
2．关于函数y=﹣2x+1，下列结论正确的是（）
A．图象经过点（﹣2，1）B．y随x的增大而增大
C．图象不经过第三象限D．图象不经过第二象限
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x=﹣2时，y=﹣4+1=3≠1，∴图象不经过点（﹣2，1），故本选项错误；
B、∵﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、∵k=﹣2＜0，b=1＞0，∴图象不经过第三象限，故本选项正确；
D、∵k=﹣2＜0，b=1＞0，∴图象经过第二象限，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0），当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．
3．一列火车从兰州站出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达火车站减速停下．图象中可大致刻画火车在这段时间内速度随时间变化情况的是（）
A．B．
C．D．
【分析】速度的变化是从0开始，加速，匀速，减速停下．
【解答】解：因为火车从兰州站出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达火车站减速停下，所以函数图象应分为3段，故选：B．
【点评】应抓住速度的变化趋势：从0开始，变大，不变，回到0．
4．如图所示的四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，其中是轴对称图形的共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：①不是轴对称图形，本选项错误；
②不是轴对称图形，本选项错误；
③不是轴对称图形，本选项错误；
④是轴对称图形，本选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．
5．16的平方根是（）
A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4
【分析】依据平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）
A．12m B．13m C．16m D．17m
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x ﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
7．如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=135°，则∠EDF的度数为（）
A．55°B．45°C．35°D．65°
【分析】由∠AFD=135°知∠DFC=45°，根据“HL”证Rt△BDE和Rt△CFD 得∠BDE=∠CFD=45°，从而由∠EDF=180°﹣∠FDC﹣∠BDE可得答案．【解答】解：∵∠AFD=135°，
∴∠DFC=45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠FDC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴△BDE≌△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=45°，
∴∠EDF=180°﹣∠FDC﹣∠BDE=45°，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或25
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，
从而分两种情况进行讨论解答．
【解答】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点评】本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．9．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
【分析】首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．
10．如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港岀发到乙港行驶路程随时间变化的图象．则下列结论错误的是（）
A．轮船的速度为20千米/时
B．快艇的速度为40千米/时
C．轮船比快艇先出发2小时
D．快艇到达乙港用了6小时
【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与之间的函数关系，可知轮船出发4小时后被快艇追上，在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等．【解答】解：观察图象，可知轮船出发4小时后被快艇追上，所以错误的是第四个结论．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时分析清楚函数图象提供的信息是关键．
11．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】解：当以点B为原点时，
A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于y轴对称，
符合条件，
故选：B．
【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，
则线段DE的长为（）
A．3 B．C．5 D．
【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：设ED=x，则AE=6﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6﹣x）2，
解得：x=，
∴ED=．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
13．的值等于6．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：的值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（﹣4，3）．
【分析】分别利用x轴、y轴对称点的性质，得出A′，A″的坐标进而得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（4，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，
∴A′的坐标为：（4，3），
∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质．关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
15．若直线y=ax+4与两坐标轴所围成的三角形面积是8，则a=1或﹣1．【分析】利用坐标上点的坐标特征表示出直线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式得到×4×|﹣|=8，作关于关于a的方程即可．【解答】解：当x=0时，y=ax+4=4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，4）；
当y=0时，ax+4=0，解得x=﹣，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣，0）；∵直线y=ax+4与两坐标轴所围成的三角形面积是8，
∴×4×|﹣|=8，解得a=1或a=﹣1．
故答案为1或﹣1
【点评】一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y 轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
16．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF=4，AH=12，那么AB等于20．
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG=AH=12，
∵四边形EFGH都是正方形，
∴HG=EF=4，
∴BH=16，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB=．故答案为：20．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：
DC=3：2，点D到AB的距离为4，则BC等于10．
【分析】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DC=DH=4，根据题意计算即可．
【解答】解：作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DH⊥AB，
∴DC=DH=4，
∵BD：DC=3：2，
∴BD=6，
∴BC=BD+DC=10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，CD是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是．
【分析】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到BD=CD，根据已知条件得到BB′=BC，推出△CDB≌△BB′F，于是得到B′F=CD．【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，
∵∠ABC=60°，CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∴BD=CD，
∵BD=BB′，
∴BB′=BC，
在△CDB与△B′FB中，，
∴△CDB≌△BB′F，（AAS）
∴B′F=CD=BC=．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、
证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）计算：﹣22+﹣+
（2）解方程：﹣（x﹣2）3=125
【分析】（1）先计算乘方、算术平方根和立方根，再计算加减可得；（2）将括号前的系数化为1，再根据立方根的定义得出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：（1）原式=﹣4+0﹣+0.5=﹣4；
（2）∵﹣（x﹣2）3=125，
∴（x﹣2）3=﹣125，
则x﹣2=，即x﹣2=﹣5，
∴x=﹣3．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根、立方根的定义．
20．（8分）高铁的开通，给泰安市民出行带来了极大的方便，五一期间，乐乐和颖颖相约到青岛市某游乐场游玩，乐乐乘私家车从泰安出发1小时后，颖颖乘坐高铁从泰安出发，先到青岛火车站，然后转乘出租车到游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开泰安的距离y（千米）与时间t（小时）的关系如图所示，请结合图象解决下面问题．
（1）高铁的平均速度是每小时多少千米；
（2）当颖颖到达青岛火车站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？
【分析】（1）本题是用图象给出的数量关系及关键的数值，从图象中可以得高铁运行的时间，行驶的路程，可得高铁的行驶速度；
（2）另从图形中结合两条线相交时对应的时间，可以求得相交时行驶的路程，进而求私家车的速度，再根据高铁到站的时间求此时乐乐离游乐园的距离．
【解答】解：（1）观察图象可得，高铁行驶的时间是1小时，行驶的路程是240千米．所以240÷1=240，
故高铁的平均速度是240千米每小时．
（2）从图象上可知，高铁行驶0.5小时即120千米和私家车行驶1.5小时行驶的路程相等，到游乐园时私家车行驶的路程是216千米．所以私家车的时速为120÷1.5=80（千米每小时）．
颖颖到达青岛火车站时，私家车行驶时间是2小时，所以行驶路程时80×2=160（千米），而216﹣160=56（千米）．
答：当颖颖到达青岛火车站时，乐乐距离游乐园还有56千米．
【点评】此题主要考查了函数图象的应用，根据题意结合函数图象得出时间和路程的关系是解题关键．
21．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
【分析】（1）根据顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）建立坐标系即可；
（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据点B′在坐标系中的位置写出其坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）由图可知，B′（2，1）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．（10分）如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA=OB．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
【分析】（1）依据两点间距离公式，求出等B坐标，即可利用待定系数法
解决问题；
（2）根据三角形的面积计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵A（4，3）
∴OA=OB==5，
∴B（0，﹣5），
设直线OA的解析式为y=kx，则4k=3，k=，
∴直线OA的解析式为y=x，
设直线AB的解析式为y=k′x+b，则有，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣5．
（2）S△AOB=×5×4=10．
【点评】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法．两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
23．（10分）已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，求证：DE=DF．
【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．
【解答】证明：如图，连接AD，
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
24．（10分）某酒厂每天生产A、B两种品牌的白酒共1000瓶，A、B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表：
种类 A B
成本（元/瓶）60 45
利润（元/瓶）30 25
设每天生产A种品牌白酒x瓶，这两种酒每天共获利润y元，
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）如果该酒厂每天对这两种酒投入成本51000元，那么这两种酒每天获利多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x的函数关系式；（2）根据题意可以求出生产A、B两种白酒各多瓶，然后根据（1）中的函数关系式即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y=30x+25（1000﹣x）=5x+25000，
即y关于x的函数表达式是y=5x+25000；
（2）由题意可得，
60x+45（1000﹣x）=51000，
解得，x=400，
∴1000﹣x=600，
∴这两种酒每天获利：5×400+25000=27000（元），
答：这两种酒每天获利27000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数和方程的知识解答．
25．（10分）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．（2分）
∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．（5分）
（2）解：又∠BAC=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形（8分）
∴DE===13．（10分）
【点评】本题第一问利用边角边定理证明三角形全等，第二问利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．。