2017-2018学年数学人教A版选修1-1优化练习:2.1 2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用 Word版含解析
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[课时作业] [A 组 基础巩固]
1.直线y =kx +1与椭圆x 25+y 2
m
=1总有公共点,则m 的取值范围是( )
A .m >1
B .m ≥1或0<m <1
C .0<m <5或m ≠1
D .m ≥1且m ≠5
解析:∵直线y =kx +1恒过(0,1)点, 若5>m ,则m ≥1,若5<m ,则必有公共点, ∴m ≥1且m ≠5. 答案:D
2.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3
3
,若直线y =kx 与其一个交点的横坐标为b ,则k 的
值为( )
A .±1
B .± 2
C .±
3
3
D .± 3 解析:因为椭圆的离心率为33,所以有c a =33,即c =33a ,c 2=13a 2=a 2-b 2,所以b 2
=23
a 2
.
当x =b 时,交点的纵坐标为y =kb ,即交点为(b ,kb ),代入椭圆方程b 2a 2+k 2b 2b 2=1,即23
+k
2
=1,k 2=13,所以k =±3
3,选C.
答案:C
3.已知椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF ⊥x 轴,直
线AB 交y 轴于点P .若AP →=2PB →
,则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12
解析:由题意知:F (-c,0),A (a,0),B ⎝
⎛
⎭⎪⎫-c ,±b 2
a .
∵BF ⊥x 轴,∴
AP PB =a
c
. 又∵AP →=2PB →
,∴a =2即e =c =1.
答案:D
4.若点(x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则y
x -2
,的最小值为( )
A .1
B .-1
C .-2
3 3
D .以上都不对
解析:由题意知
y
x -2
的几何意义是椭圆上的点(x ,y )与点 (2,0)两点连线的斜率,∴当直线y
=k (x -2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时,
y
x -2
=k 最小.
由⎩⎨⎧
y =k x -
4x 2+y 2
=4
整理得(4+k 2)x 2-4k 2x 2+4k 2-4=0.
Δ=(-4k 2)2-4(4+k 2)(4k 2-4)=16(4-3k 2)=0,即k =-
233(k =23
3
舍去)时,符合题意. 答案:C
5.已知椭圆C :x 2
2+y 2=1的右焦点为F ,直线l :x =2,点A ∈l ,线段AF 交椭圆C 于点B ,
若FA →=3FB →,则|AF →
|=( ) A. 2 B .2 C. 3 D .3 解析:设点A (2,n ),B (x 0,y 0). 由椭圆C :x 2
2+y 2=1知a 2=2,b 2=1,
∴c 2=1,即c =1.∴右焦点F (1,0). 由FA →=3FB →,
得(1,n )=3(x 0-1,y 0). ∴1=3(x 0-1)且n =3y 0. ∴x 0=43,y 0=13
n .
将x 0,y 0代入x 2
2+y 2=1,得
12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432+⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n 2
=1.
解得n 2=1, ∴|AF →|=-
2
+n 2=1+1= 2.
故选A. 答案:A
6.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在x 轴上,且a -c =3,那么椭圆的方程是________.
解析:若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形,则a =2c , 又a -c =3, 故c =3,a =23, ∴b 2=(23)2-3=9, 椭圆的方程为x 212+y 2
9=1.
答案:x 212+y 2
9
=1
7.设P ,Q 分别为圆x 2
+(y -6)2
=2和椭圆x 2
10
+y 2=1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是
________.
解析:如图所示,设以(0,6)为圆心,以r 为半径的圆的方程为x 2+(y
-6)2
=r 2
(r >0),与椭圆方程x 2
10
+y 2=1联立得方程组,消掉x 2得9y 2
+12y +r 2-46=0.
令Δ=122-4×9(r 2-46)=0,解得r 2=50, 即r =5 2.
由题意易知P ,Q 两点间的最大距离为r +2=6 2. 答案:6 2
8.已知动点P (x ,y )在椭圆x 225+y 2
16=1上,若A 点坐标为(3,0),|AM →|=1,且PM →·AM →
=0,
则|PM →
|的最小值是________. 解析:易知点A (3,0)是椭圆的右焦点. ∵PM →·AM →
=0,
∴AM →⊥PM →.
∴|PM →|2=|AP →|2-|AM →|2=|AP →
|2-1,
∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP →
|min =2, ∴|PM →
|min = 3. 答案: 3
9.已知椭圆的短轴长为23,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0). (1)求这个椭圆的标准方程;
(2)如果直线y =x +m 与这个椭圆交于不同的两点,求m 的取值范围. 解析:(1)∵2b =23,c =1, ∴b =3,a 2=b 2+c 2=4. ∴椭圆的标准方程为x 24+y 2
3
=1.
(2)联立方程组⎩⎨⎧
y =x +m ,
x 2
4+y
2
3=1,
消去y 并整理得7x 2+8mx +4m 2-12=0.
若直线y =x +m 与椭圆x 24+y 2
3
=1有两个不同的交点,则有Δ=(8m )2-28(4m 2-12)>0,即
m 2<7,
解得-7<m <7.
10.过椭圆x 2+y 2
=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,
求△OAB 的面积.
解析:椭圆的右焦点为F (1,0),
∴l AB :y =2x -2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
由⎩⎨⎧
y =2x -2,x 2
5+y
2
4=1,
得3x 2-5x =0,
∴x =0或x =5
3
,
∴A (0,-2),B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53,43,
∴S △AOB =1
2|OF |(|y B |+|y A |)
=12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2+43=53
. [B 组 能力提升]
1.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左,右焦点,过F 1的直线与椭圆相交于A ,B 两点,
若A B →·A F →2=0,|A B →|=|A F →
2|,则椭圆的离心率为( ) A.6- 3 B.3- 2 C.3-1 D.2-1
解析:在Rt △ABF 2中,设|AF 2|=m ,则|AB |=m ,|BF 2|=2m ,所以4a =(2+2)m . 又在Rt △AF 1F 2中,|AF 1|=2a -m =22m ,|F 1F 2|=2c ,所以(2c )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2
+m 2
=32m 2,则
2c =6
2
m .
所以椭圆的离心率e =2c
2a =61+
2
2=6- 3.
答案:A
2.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =1
2
,右焦点为F (c,0),方程ax 2+bx -c =0的两个实根
分别为x 1和x 2,则点P (x 1,x 2)( ) A .必在圆x 2+y 2=2内 B .必在圆x 2+y 2=2上 C .必在圆x 2+y 2=2外 D .以上三种情形都有可能 解析: ∵e =1
2,
∴a =2c ,
∴a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2, ∴b =3c , 方程ax 2+bx -c =0, 可化为2cx 2+3cx -c =0, 即2x 2+3x -1=0, ∴x 1+x 2=-
3,x 1x 2=-12
, x 21
+x 22
=(x 1+x 2)2
-2x 1x 2=34-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
-12
=7
4
<2, ∴P (x 1,x 2)必在圆x 2+y 2=2内.故选A. 答案:A
3.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 2
3=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP
→
的最大值为________.
解析:由x 24+y 2
3
=1可得F (-1,0).
设P (x ,y ),-2≤x ≤2,则OP →
·FP →
=x 2
+x +y 2
=x 2
+x +3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 2
=14
x 2
+x +3=14(x +2)2+2,
当且仅当x =2时,OP →·FP →
取得最大值6. 答案:6
4.过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若M 是
线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________.
解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得
x 1-x 2
x 1+x 2
a 2
+
y 1-y 2
y 1+y 2
b 2
=0,根据题意有x 1+x 2=2×1=2,y 1+y 2=2×1=2,且
y 1-y 2x 1-x 2=-1
2
,所以2
a 2+2
b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=0,得a 2=2b 2,所以a 2=2(a 2-
c 2),整理得a 2=2c 2
,得c a =22,所以e =22
.
答案:
2
5.椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y -1=0相交于A ,B 两点,C 是AB 的中点,若|AB |=22,
OC 的斜率为
2
2
,求椭圆的方程. 解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程得,
ax 21+by 2
1=1,① ax 22+by 22=1.②
②-①,得
a (x 1+x 2)(x 2-x 1)+
b (y 2+y 1)(y 2-y 1)=0. 而y 2-y 1x 2-x 1=k AB =-1,y 2+y 1x 2+x 1=k OC =22
, 则b =2a .
又∵|AB |=1+k 2|x 2-x 1|=2|x 2-x 1|=22, ∴|x 2-x 1|=2.
又由⎩⎨⎧
ax 2
+by 2
=1,x +y =1,
得
(a +b )x 2-2bx +b -1=0, ∴x 1+x 2=
2b ,x 1x 2=b -1. ∴|x 2-x 1|2
=(x 1+x 2)2
-4x 1x 2=⎝ ⎛⎭
⎪⎫2b a +b 2
-4·b -1a +b =4.将b =2a 代入,得a =13,b =23.
∴所求椭圆方程为x 2
3+2
3
y 2=1.
6.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的离心率为2
2,F 1,F 2为其焦点,一直线过点F 1
与椭圆相交于A ,B 两点,且△F 2AB 的最大面积为2,求椭圆的方程. 解析:由e =2
2得a ∶b ∶c =2∶1∶1,
所以椭圆方程设为x 2+2y 2=2c 2. 设直线AB :x =my -c ,
由⎩⎨⎧
x =my -c x 2+2y 2=2c
2
,得(m 2+2)y 2-2mcy -c 2=0,
Δ=4m 2c 2+4c 2(m 2+2)=4c 2(2m 2+2)
=8c 2(m 2+1)>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则y 1,y 2是方程的两个根.
得⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1+y 2=2mc m 2+2
,
y 1y 2
=-c
2
m 2
+2,
所以|y 1-y 2|=y 1+y 2
2
-4y 1y 2
=22c m 2+1m 2+2
S △ABF 2=12
|F 1F 2||y 1-y 2| =c ·22c ·m 2+1
m 2+2
=
22c 2
m 2+1+
1
m 2+1
≤22c 2·1
2
=2c 2,
当且仅当m =0时,即AB ⊥x 轴时取等号, ∴2c 2=2,c =1,
所以,所求椭圆方程为x 2
2+y 2=1。