全国卷文科数学模拟试题三.docx

开始 10n S ==，
S p <
是
输入p
结束
输出n ，S
n
S S 3+=
否
1n n =+
高中数学学习材料
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全国卷文科数学模拟试题三
第Ⅰ卷
一 选择题：本题共12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且
只有一个是正确的.
1.已知全集为R ，集{}11,2,(2x
R A x B x x A C B ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=≤=≥⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
）
A. []0,2
B. [)0,2
C. ()1,2
D. (]
1,2
2．已知各项不为0的等差数列2
3711{},220,n a a a a -+=满足数列{}n b 是等比数列，
且7768,b a b b =则=（ ） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
3．已知复数1
122
2,34,z z m i z i z =+=-若
为实数，则实数m 的值为（ ） A ．
83
B ．
32 C ．—
83
D ．—
32
4．将函数sin 2cos 2y x x =+的图象向左平移
4
π
个单位，所得图像的解析式是（ ） A ．cos 2sin 2y x x =+ B ．cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2cos 2y x x =- D ．cos sin y x x =
5．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2，则双曲线22221x y a b
-=的渐近线方程为
（ ）
A ．12y x =±
B ．2y x =±
C ． 4y x =±
D ．1
4
y x =±
6.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出
的,n S 的值分别为
A. 4,30n S ==
B. 4,45n S ==
C. 5,30n S ==
D. 5,45n S ==
7.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其
中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100] ，则图中x 的值等于 （A ）0.754 （B ）
0.048
（C ）0.018
（D ）0.012
8. 函数2
()2x f x a x
=-
-的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为 ( ) A ．
6
1
B ．
2
3
C ．3324+
D ．3322
+
10.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确的是（ ） A ．{}2n n a a ++是等比数列 B ．对于k *
∈N ，1k >，
112k k k a a a -++≠
C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>
D ．若21a a >，则对于任意n *
∈N ，都有1n n a a +>
11.已知抛物线2
2y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A
在抛物线上且||2||AK AF =，则AFK ∆的面积为( )
A 32
B 16
C 8
D 4
12.点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆
C 2220x x y ++=，
那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是( ) （A ）双曲线的一支 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）射线
正视图
俯视图
侧视图
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13第21必考题，每个试题考生都必须作答。

第22，23,24考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.已知等差数列{}n a 的公差为2-，3a 是1a 与4a 的等比中项，则首项=1a _,前n 项和
=n S 8;.n n 92+-n *∈N
14.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，
则a 的值为 . 3
15.已知圆C 过点()1,0-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为_________
16某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资
金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入 资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：
投入资金
甲产品利润
乙产品利润
4
1
2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是
三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．
17．（本小题满分12分）
已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444
x
x x m n ==，()f x m n =⋅． （I ）若()1f x =,求cos(
)3
x π
+值；
（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X X <300 300≤X <700
700≤X <900
X ≥900 工期延误
天数Y
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工程延误天数Y 的均值与方差；
(2)在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率． 19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且11
3BE BB =，
1113C F CC =．设b a
λ=．
（1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．
20.已知函数21
()ln 2
f x ax x =+，其中a ∈R .
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.
21.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F 为左焦点，且
12AF =，又椭圆C 过点(0,23)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2
2
+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率分别为1k ,2k ，若123
4
k k =
，证明：A ,P ,Q 三点共线． （本小题满分10）请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

F
E
C 1
B 1
A 1 C
B
A
（第19题图）
22. 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。

（1）求证：BC ⊙O 是的切线； （2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数。

（23）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分
已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t
y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与
最小值.
24.选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式7343220x x +--+->
全国卷文科数学模拟试题三参考答案
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1-5 BDDBA 6-10 CCCDD 11-12 AD 二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 29n n -+8,, n *∈N 14. 3 15. ()4322
=++y x 6516.
16
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
17（1）()f x m n =⋅=
23sin cos cos 444
x x x
+ =311sin cos 22222x x ++ =1sin()262x π++ ∵()1f x = ∴1sin()262
x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12
（2）∵(2)cos cos a c B b C -=，
由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= - ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=
∴2sin cos sin()A B B C =+- ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠
∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π=
∴203A π
<<
∴
1,sin()16262226A A π
πππ<
+<<+<
∴13
1sin()2622A π<++<
∴()f A =1
sin()262A π++3(1,)2
∈
18.解 (1)由条件和概率的加法有：P (X <300)＝0.3，
P (300≤X ＜700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900) ＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：
Y 0 2 6 10 P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8. (2)由概率加法，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝
P （300≤X <900）P （X ≥300）
＝0.60.7＝6
7. 故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是6
7.
19．（本小题满分12分）
解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
（1）设a =1，则AB =AC =1，1AA =3，各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，
(0,1,2)F ． (1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-．
∵12AE A F ==,11AE A F ⋅=-， ∴111,1
1
cos 222AE A F AE A F
AE A F
⋅-===-⨯．
∴向量AE 和1A F 所成的角为120o ，
z y
x
F
E
C 1 B 1
A 1
C
B
A
（第19题图）
∴异面直线AE 与1A F 所成角为060．……5分 （2）∵(,0,)3b E a ，2(0,,)3b
F a ，
∴2(,0,),(0,,)33
b b
AE a AF a ==．
设平面AEF 的法向量为1(,,)x y z n ，
则10AE ⋅=n ，且10AF ⋅=n ．即03bz ax +=，且203
bz
ay +=． 令1z =，则2,33b b
x y a a
=-=-
． ∴12(,,1)33b b a a =-
-n =2(,,1)33λλ
--是平面AEF 的一个法向量． 同理，22(
,,1)33b b a a
=n =2(,,1)33λλ
是平面1A EF 的一个法向量．
∵平面AEF ⊥平面1A EF ，
∴120⋅=n n ．∴22221099λλ--+=．解得，3
2
λ=．
∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，3
2
λ=．
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：21
(),(0,)ax f x x x
+'=∈+∞. 当0≥a 时，()0f x '>，从而函数)(x f 在),0(+∞上单调递增.
当0<a 时，令()0f x '=，解得1x a =-，舍去1x a
=--. 此时，()f x 与()f x '的情况如下：
x
1
(0,)a
-
1a -
1
(,)a
-+∞
()f x ' +
0 -
()f x
↗ 1()f a
-
↘
所以，()f x 的单调增区间是1(0,)a -；单调减区间是),1
(∞+-
a
. （Ⅱ）① 当0≥a 时，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2
a f =
.
令
12
a
=-，得2a =-，这与0≥a 矛盾，舍去2a =-. ② 当10a -≤<时，11≥-a
，
由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2a
f =. 令
12
a
=-，得2a =-，这与10a -≤<矛盾，舍去2a =-. ③ 当1-<a 时，101a
<-
<，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为1()f a -.
令1
()1f a
-
=-，解得e a =-，适合1-<a . 综上，当)(x f 在(0,1]上的最大值是1-时，e a =-. 21（本小题满分12分）
解：(1)由已知可得2a c -=，23b =，又22212b a c =-=，
解得4a =.故所求椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=． (2)由（Ⅰ）知(4,0)A -，(4,0)B .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
所以2
111121114416
PA y y y k k x x x ⋅=⋅=
+--.因为11(,)P x y 在椭圆C 上， 所以
221
1
11612x y +=，即22113124
y x =-.所以21
12131234164PA x k k x -
⋅==--. 又因为123
4
k k =
，所以21PA k k ⋅=-. （1） 由已知点22(,)Q x y 在圆22
16x y +=上，AB 为圆的直径，
所以QA QB ⊥.所以21QA k k ⋅=-. （2）
由(1)（2）可得PA QA k k =．因为直线PA ，QA 有共同点A ， 所以A ，P ，Q 三点共线． 22. （本小题满分10分） （1）证：连接OB 。

∵OA=OB ，∴∠A=∠OBE 。

∵CE=CB ，∴∠CEB=∠EBC ，∵∠AED =∠EBC ，∴∠AED = ∠EBC ， 又∵CD ⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC ⊙O 是的切线；
（2）∵CD 垂直平分OA ，∴OF=AF ，又OA=OF ，∴OA=OF=AF ， ∴∠O=60°，∴∠ABF=30°。

23.解：
（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数）
直线l 的普通方程为260x y +-=
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为
5
|4cos 3sin 6|5
d θθ=
+- 则25|||5sin()6|sin 305d PA θα=
=+-，其中α为锐角，且4
tan 3
α=
当sin()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为225
5
当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为
24.解：原不等式化为734210x x +--+-> 当4
3
x >
时，原不等式为7(34)210x x +--+-> 得252x <+
，即42532
x <<+； 当4
73
x -≤≤
时，原不等式为7(34)210x x ++-+-> 得1224x >-
-，即124243
x --<≤； 当7x <-时，原不等式为7(34)210x x +--+->
得
2
6
2
x>-，与7
x<-矛盾；
所以解为
122
5
242
x
--<<+。