云南省 高三数学 第一次联考试题 理

第一次统一考试（楚雄一中、玉溪一中、昆明三中）理 科 数 学
注意事项：
1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．
2．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：
样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差s =
锥体体积公式1
3V Sh
=
其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh = 24πS R =，34
π3
V R =
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷 选择题
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题，只有一项是符合题目要求) 1．设全集U R =,集合{}{}
02022>-∈=>=∈=x x R x N x y R y M x ，，则N M ⋂为 A ．()2,1 B ．(1,)+∞
C ．[2,)+∞
D ．(],0(1,)-∞+∞
2．复数212m z -=
+i
i
（m R ∈，i 是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
3．已知向量()()m ,231-==，，若2+与垂直，则m 的值为
A ．1
B ．1-
C ．2
1
-
D ．
2
1 4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是 A ．若αβ⊥，l β⊥，则α//l B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l C ．若l α⊥，l ∥β，则βα⊥ D ．若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥
5．已知函数1
()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3
x =（0[0,π]x ∈）．那么下面命题中真命题的序
号是
①()f x 的最大值为0()f x ②()f x 的最小值为0()f x ③()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
6．已知空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位:cm) 可得该几何体的体积为
第9题图
7．的关系是则设c b a c b a ,,,5log ,3.0,2223.0=== A ．c b a << B ．a c b << C ．a b c <<
D ．c a b <<
8．若1sin(
)34π
α-=
，则cos(2)3
πα+=
A ．8
7- B ．4
1-
C ．
41 D ． 87
9．阅读右侧的算法框图，输出结果S
的值为 A ．1 B C. 12
D 10．把24粒种子分别种在8个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，则ξ的数学期望为
A ．10元
B ．20元
C ．40元
D ．80元
11．已知点M 在曲线22430x y x +++=上，点N 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-0344302y y x x 所表示的平面区域
上，那么|MN |的最小值是 A ．
13102- B ．
310
2
C ．1
D ．2
12．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和n ，则函数3
213
y mx nx =-+在[1,)+∞上为增函数的概率是
A ．
12 B ．
5
6
C ．34
D ．2
3
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置） 13
．在
()()()()
的展开式中一次项的系N x x x x ∈+++110.........121数字作答）
14． 设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时'()()()'()0f x g x f x g x +>
且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集为 ． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，若向量
()
()S c b a //21,2222满足，=-+=,，则角C = ．
16．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线28y x =有 一个公共的焦点F ，且两
曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲
线方程为 ．
三．解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数()R x x x x f ∈-+-
=,cos 21)3
22cos()(2π
． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2）ABC ∆
的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、
，若()1,2B f b ==c 且,a b >试判断ABC ∆的形状，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组
[)14,13，第二组[)15,14……第五组[]18,17，如
图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
（Ⅰ）用样本估计总体，某班有学生45人,设ξ为达标人数,求ξ的数学期望与方差；
（Ⅱ）如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如右表：
根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
F P
E
A
D
C
B
第19题图
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，
2
PA AB ==，E F 、分别为CD PB 、的中点，AE =．
（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．
（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，且椭圆C 的
离心率1
2
e =，1F 也是抛物线1C ：24y x =-的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点，
且222DF F E =，点E 关于x 轴的对称点为G ，求直线GD 的方程． 21．（本小题满分12分）
已知函数()1
a
x x ϕ=
+，a 为正常数． （Ⅰ）若()ln ()f x x x ϕ=+，且9
2
a =，求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ） 若
()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有
2121
()()
1g x g x x x -<--，求a 的
的取值范围．
四．选考题（从下列三道解答题中任选一题作答，作答时，请在答题卷上注明题号；满分10
分.）
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于D ，AC DE ⊥交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （Ⅰ）求证：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若
53
=AB AC ，求DF
AF 的值．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
θθρco s 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线L 的参数方程为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t x 2
2422
2， 直线L 与曲线C 分别交于N M ,．
（Ⅰ）写出曲线C 和直线L 的普通方程； （Ⅱ）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
()|21||23|.f x x x =++-
（Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．
D F E
C
B
A
o
玉溪一中、昆明三中、楚雄一中2012届高三年级
第一次联考数学（理科）试题参考答案
一、选择题：
13. 55
14. (,3)(0,3)-∞-⋃ 15.
4
π
16. 13
2
2
=-y x
三、解答题 17.解：（Ⅰ） (
)⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
=32sin 32cos 232sin 232cos 322cos ππx x x x x x f .......3分 ()().125,12Z k k k T x f ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=πππππ，单调递增期间是的最小正周期 ............6分 （
Ⅱ
）
由
正
弦
定
理
得
：
1πsin sin 6
a A ==
，∴
sin C =
，………......…............…..8分 ∵0πC <<， ∴π3C =或2π3．……………..10分 当π
3
C =
时，π2A =；当2π3C =时，π
6
A =．（不合题意，
舍） .........……........…11分
为直角三角形所以ABC ∆ ......................….....…................
..............................……12分
18
． 解
：（Ⅰ）
[)0.60.380.180.0416,13=++的频率：成绩在..................................3分
若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6 从而ξ～B (45，0.6） 450.627E ξ∴=⨯=(人)，D ξ=10．
8..................................6分
（Ⅱ）列列联表联表如下：依据题意得相关的22⨯
.............................................................9分
2
2
50(241268)32183020K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈8．333
由于2
K >6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”.
解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标
准..............................12分
19．证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，
∴2AD CD AB ===．在ADE ∆中，AE =1DE =， ∴222AD DE AE =+．∴90AED ∠=︒，即AE CD ⊥． 又AB CD //， ∴
AE AB ⊥．...............................................2分
∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ．又∵PA AB A =， ∴AE ⊥
平面PAB ，.............................................................4分
又∵AE ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面PAB ． ........................................6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知AE ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAE ， ∴平面PAE ⊥
平面PAB ...................................................................6分
∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，又PA AE A = ∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PAE ． ∴平面PAE 是平面PAB 与平面P C 的公垂面．..........................................8分
所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．..........................9分
在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即PE =....................10分
又2PA =，∴cos
APE ∠=
=
． 所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为
．.........................12分
理（Ⅱ）解法二：以A 为原点，AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．因为2PA AB ==
，AE =，所以，
(0,0,0)A 、(0,0,2)P 、
(0,3,0)E
、(1,3,0)C ，
则2)PE =-，(1,0,0)CE =-，(0,AE =．
由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAB ，
故平面PAB 的一个法向量为1(0,1,0)n =．设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，
则22
00n PE n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即20
0z x -=-=⎪⎩，令2y =，
则2n =．∴12
1212
cos
,7
7
n n n n n n =
=
=
．
所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为．...............................12分 20．解：（Ⅰ）因为抛物线1C 的焦点是1(1,0)F -，
则112
c c a =⎧⎪
⎨=⎪⎩，得2a =，则b =，
故椭圆C 的方程为
22
143
x y +=．......................................................4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率不存在时不符合题意，可设直线l ：(1)y k x =-，设11(,)D x y ，22(,)
E x y ，
由
于
2
2
2D
F F E
=
，则⎩
⎨
⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=--=-121
2212122321)1(2y y x x y y x x ；..........................................................6分
联立2
2(1)
14
3y k x x y
=-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得222212()104333k k x k x +-+-=， 则 2122834k x x k +=+，...........① 2122
412
34k x x k -=+，..............②，将21
32x x =-代入①、②得：
212
8334k x k -=+，..............③ 22
1124123234k x x k --=+，.....④ ，由③、④得
k =，
2129434k x k +=+74
=
，x
211
322
x x =-=-
，.................................................................................. 10分 （i
）若k =
1y =
211)2y =-
-=
即1(,2G --
，7(,4D -，,652
14745
3853=++-
=GD k ， 直线GD
的方程是1
)2y x +=+； （
ii
）
当
k =时，同理可求直
线GD 的方程
是
1
)2y x =+．...........................12分 21．解：（Ⅰ）
222
1(2)1
'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=
++， ...............................................2分
∵
92
a =
，令
'(
f x >，得
2
x >，或
1
2
x <
，..........................................................3分
∴函数()f x 的单调增区间为
1(0,)2，
(2,)+∞． ...................................................4分
（Ⅱ）∵2121()()1g x g x x x -<--，∴2121
()()
10g x g x x x -+<-，
∴
221121
()[()]
0g x x g x x x x +-+<-，.............................................
..............................5分
设()()h x g x x =+，依题意，()h x 在(]0,2上是减函数． 当12x ≤≤时， ()ln 1a h x x x x =+
++，2
1'()1(1)a h x x x =-++， 令'()0h x ≤，得：222(1)1
(1)33x a x x x x x
+≥++=+++对[1,2]x ∈恒成立，
H
O
F E
D
C
B
A
设2
1()33m x x x x =++
+，则21'()23m x x x
=+-， ∵12x ≤≤，∴21
'()230m x x x
=+->，
∴()m x 在[1,2]上是增函数，则当2x =时，()m x 有最大值为
272，∴27
2
a ≥．........9分
当01x <<时， ()ln 1a h x x x x =-+
++，2
1'()1(1)
a
h x x x =--++， 令'()0h x ≤，得： 222(1)1
(1)1x a x x x x x
+≥-++=+--， 设2
1()1t x x x x =+-
-，则21
'()210t x x x
=++>，∴()t x 在(0,1)上是增函数， ∴
()(1)0t x t <=，
∴
a ≥，综上所述，
27
2
a ≥
.......................................................12分 四、选考题：
22．选修4—1：几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连接OD ，可得
D O A D O D A ∠=∠=∠OD
∥
AE ............................................3分
又DE OD DE AE ⊥⇒
⊥
∴DE 是⊙O 的切
线．--...................................................................5分 （Ⅱ）过D 作AB DH ⊥于H ，则有CAB DOH ∠=∠
5
3
cos cos ==
∠=∠∴AB AC CAB DOH ．
设x OD 5=，则
x DH x OH x AB 4,3,10===2280,8x AD x AH ==∴..............................
....8分
由ADE ∆∽ADB ∆可得x AE AB AE AD 102
⋅=⋅= x AE 8=∴
又
AEF
∆∽
ODF
∆，
8
5
==DO AE DF AF ........................................................................................10分 23．选修4—4：坐标系与参数方程
解：
（Ⅰ）
2,22-==x y ax y ..........................................................
- 11 - ...........5分
（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 2
24222（t 为参数）, 代入ax y 22=得到0)4(8)4(222=+++-a t a t ,
则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+......................................................8分
因为|||,|||2PN PM MN =,所以21212212214)()(t t t t t t t t ⋅=⋅-+=-解得 1=a ..........10分
24．选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）原不等式等价于
313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或
12(21)(23)6
x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩..............3分 解之得3131212222
x x x <≤-≤≤-≤<-或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ............5分
（Ⅱ）()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f ................................8分
41>-∴a ，解此不等式得53>-<a a 或 ...................................................10分。