安顺市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

安顺市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知三个数，，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列的前三1a -1a +5a +{}n a 项，则能使不等式成立的自然数的最大值为（ ）1212111
n n
a a a a a a +++≤+++ A ．9
B ．8
C.7
D ．5
2． 已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）{}n a n S d 201717
100201717
S S -=d A ．
B ．
C ．
D ．1
20
1
10
1020
3． －2sin 80°的值为（ ）
sin 15°sin 5°A ．1 B ．－1C ．2
D ．－2
4． 在中，，那么一定是（ ）
ABC ∆2
2
tan sin tan sin A B B A =A
A ABC ∆A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
5． 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为
（ ）
A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣1，0）
∪（0，
1）
6． 如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（
）
A ．B
．C ． +D ． ++1
7． 函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
8
． 已知向量，，其中．则“”是“”成立的（ ）A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件9． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
10．设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（
）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
11．已知函数，且，则（ ）
x x x f 2sin )(-=)2(),3
1(log ),2
3(ln 3.02f c f b f a ===A ．
B ．
C ．
D ．c a b >>a c b >>a b c >>b a c
>>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．12．如图，棱长为的正方体中，是侧面对角线上一点，若 1111D ABC A B C D -,E F 11,BC AD 1BED F 是菱形，则其在底面上投影的四边形面积（ ）
ABCD
A ．
B ．
C.
D 1
2
3
4二、填空题
13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．　
14．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=
S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
15．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
16．已知||=1，||=2，与的夹角为
，那么|+||﹣|= ．
17．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
18．设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的 条件．　
三、解答题
19．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
20．
（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF.（1）求证EF∥BC；
（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．
21．设函数f （x ）=lnx ﹣ax+﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f （x ）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g （x ）=x 2﹣2bx ﹣，若对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]，使f （x 1）≥g （x 2）成
立，求实数b 的取值范围．　
22．在极坐标系下，已知圆O ：ρ=cos θ+sin θ和直线l ：．
（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，
()f x 其导函数的图象过点．()'f x ()12，
（1）求函数的解析式；
()f x （2）设函数，其中m 为常数，求函数的最小值．
()()()'g x f x f x m =+-()g x
24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C 相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
安顺市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为三个数等比数列，所以，倒数重新排列后恰
1,1,5a a a -++()()()2
115,3a a a a +=-+∴=好为递增的等比数列的前三项，为，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则{}n a 111,
,8421n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
1
2不等式等价为，整理，得
1212111n n
a a a a a a +++≤+++ ()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，故选C. 1
722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式.2． 【答案】B 【解析】
试题分析：若为等差数列，
，则为等差数列公差为, {}n a ()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
2d ,故选B. 2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式.3． 【答案】
【解析】解析：选A.－2 sin 80°
sin 15°sin 5°
＝－2cos 10°＝
sin （10°＋5°）sin 5°
sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°
sin 5°＝＝＝1，选A.
sin 10°cos 5°－cos 10°sin 5°sin5 °sin （10°－5°）
sin 5°
4． 【答案】D 【解析】
试题分析：在中，，化简得
，解得ABC ∆2
2
tan sin tan sin A B B A =A A 22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=A ，即，所以或，即sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B
=⇒=sin 2sin 2A B =22A B =22A B π=-A B =
或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
2
A B π
+=
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出，从而得到或是试
sin 2sin 2A B =A B =2
A B π
+=题的一个难点，属于中档试题．5． 【答案】D
【解析】解：由奇函数f （x ）可知，即x 与f （x ）异号，
而f （1）=0，则f （﹣1）=﹣f （1）=0，
又f （x ）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x ＜1时，f （x ）＜f （1）=0，得＜0，满足；当x ＞1时，f （x ）＞f （1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞f （﹣1）=0，得＜0，满足；当x ＜﹣1时，f （x ）＜f （﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x 的取值范围是﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1．
故选D ．　
6． 【答案】D
【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，
其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2，边AC 上的高OB=1，PO=
为底面上的高．
于是此几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △PAB =××2+×2×1+2××
×
=
+1+
．
故选：D
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．　
7．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，
∴f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
8．【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A
9．【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；
②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；
③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；
∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．
故选：B．
10．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．
∴a＜c＜b．
故选：A ．　
11．【答案】D
12．【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体中，，
1111D ABC A B C D -11BC AD ==AF x =x -=
解得，即菱形，则在底面上的投影四边形是底边
x =
1BED F =1BED F ABCD 为，高为的平行四边形，其面积为，故选B.343
4
考点：平面图形的投影及其作法.
二、填空题
13．【答案】　A ．
【解析】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．故答案为：A ．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．　
14．【答案】 ．
【解析】解：0. =
+
+…+=
=
，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．　
15．【答案】　
　．
【解析】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵||=1，||=2，与的夹角为，
∴==1×=1．
∴|+||﹣|====．故答案为：．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
17．【答案】　10　cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，
则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，
∴A′B==10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
18．【答案】　必要不充分　
【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，
∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5
∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由，得，
即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），
则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），
则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，
即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，
即log a（1+x）＞log a（1﹣x），
则1+x＜1﹣x，
解得﹣1＜x＜0，
则不等式解集为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE.
又B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC.
（2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形，
又EB ＝EF ＝2，∴AF ＝FC ＝2，
设DE ＝x ，DF ＝y ，则AD ＝2－y ，在△AED 中，由余弦定理得DE 2＝AE 2＋AD 2－2AD ·AE cos A .
即x 2＝（2－y ）2＋22－2（2－y ）·2×，
12
∴x 2－y 2＝4－2y ，①
由切割线定理得DE 2＝DF ·DC ，即x 2＝y （y ＋2），∴x 2－y 2＝2y ，②
由①②联解得y ＝1，x ＝，∴ED ＝.3321．【答案】
【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=lnx ﹣x ﹣1，∴f （1）=﹣2，
，
∴f ′（1）=0，∴f （x ）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）
（Ⅱ）
=
（6分）
令f ′（x ）＜0，可得0＜x ＜1，或x ＞2；令f'（x ）＞0，可得1＜x ＜2故当
时，函数f （x ）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.
（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）可知函数f （x ）在（1，2）上为增函数，
∴函数f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）=
（9分）
若对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]使f （x 1）≥g （x 2）成立，等价于g （x ）在[0，1]上的最小值不大于f （x ）在（0，e]上的最小值（*）
（10分）
又
，x ∈[0，1]
①当b ＜0时，g （x ）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾②当0≤b ≤1时，
，由
及0≤b ≤1得，
③当b ＞1时，g （x ）在[0，1]上为减函数，
，
此时b ＞1（11分）综上，b 的取值范围是
（12分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]使f （x 1）≥g （x 2）成立，转化为g （x ）在[0，1]上的最小值不大于f （x ）在（0，e]上的最小值．　
22．【答案】
【解析】解：（1）圆O ：ρ=cos θ+sin θ，即ρ2=ρcos θ+ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x+y ，即x 2+y 2﹣x ﹣y=0．直线l ：
，即ρsin θ﹣ρcos θ=1，则直线的直角坐标方程
为：y ﹣x=1，即x ﹣y+1=0．
（2）由，可得
，直线l 与圆O 公共点的直角坐标为（
0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为
．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．　
23．【答案】（1）；（2）()2
f x x =1
m -【解析】（2）
据题意，，即()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-()2222{ 22
m x x m x g x m
x x m x -+<
=+-≥，，，，
①若，即，当时，，故在上
12m <-2m <-2m x <()()22211g x x x m x m =-+=-+-()g x 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，单调递减；当时，，故在上单调递减，在
2m x ≥()()22211g x x x m x m =+-=+--()g x 12m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，上单调递增，故的最小值为．()1-+∞，
()g x ()11g m -=--②若，即，当时，，故在上单调递减；112m -≤
≤22m -≤≤2m x <()()211g x x m =-+-()g x 2m ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，当时，，故在上单调递增，故的最小值为
2m x ≥()()211g x x m =+--()g x 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，()g x ．
2
24m m g ⎛⎫= ⎪⎝⎭③若，即，当时，，故在上单调递12m >2m >2
m x <()()2
2211g x x x m x m =-+=-+-()g x ()1-∞，
减，在上单调递增；当时，，故在上
12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2m x ≥()()22211g x x x m x m =+-=+--()g x 2m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，故的最小值为．
()g x ()11g m =-综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，
2m <-()g x 1m --22m -≤≤()g x 2
4
m 2m >的最小值为．
()g x 1m -24．【答案】
【解析】解：（1）∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形，∴AC=A 1C 1，∵AC=AA 1，∴AA 1=A 1C 1，
∵∠AA 1C 1=60°，∴△AA 1C 1为等边三角形，同理△ABC 1是等边三角形，∵D 为AC 1的中点，∴BD ⊥AC 1，∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，
平面ABC 1∩平面AA 1C 1C=AC 1，BD ⊂平面ABC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C ．
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DB 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，平面ABC 1的一个法向量为
，设平面ABC 的法向量为
，
由题意可得，，则，
所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），
∴cosθ=．
即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．
【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．。