2017届高三数学(理)黄金考点总动员 考点22 线性规划 含解析

2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点22 线性规划
【考点剖析】
1.最新考试说明：
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
2。

命题方向预测:
预计2017年高考对本节内容的考查仍将以求区域面积和目标函数最值（或取值范围）为主，考查约束条件、目标函数中的参变量取值范围，题型延续选择题或填空题的形式，分值为4到5分.
3。

课本结论总结：
画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化，确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，直线定界,即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线,特殊点定域，即在直线0
++=的某一侧取一个特殊点00
Ax By C
x y作为测试点代入不
(,)
等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则
就表示直线的另一侧．特别地，当0
C≠时，常把原点作为测试点；
当0
C=时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点；线性规划的综合运用问题，通常会考查一些非线性目标函数的最值，解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义。

4。

名师二级结论:
（1）平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
（2)求最值：求二元一次函数(0)z ax by ab =+≠的最值，将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b
b
=-+，通过求直线的截距z b
的最值间接求出
z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
(3）解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件;写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 5.课本经典习题：
（1)新课标A 版必修5第86页，练习1 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（ ）
A.右上方
B.右下方 C 。

左上方 D 。

左下方
【经
典理由】通过具体的例题，给出了利用特殊点定二元一次不等式所所表示的平面区域的一般方法。

（2）新课标A 版必修5 第91页，练习1（1) 求2z x y =+的最大值，
使x ，y 满足约束条件11y x
x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
【解析】如图，坐出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线l :20x y +=，则可知,当2,1x y ==-时,max
3z
=.
【经典理由】结合具体实例,给出了利用线性规划求线性目标函数最值的一般方法。

6.考点交汇展示：
(1)线性规划与基本不等式相结合
设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件
260
20
x y x y --≤⎧⎨
-+≥⎩，，若的最大值为40，则51a
b
+的最小
值为（ )
A.256
B.94
C.1
D.4
【答案】B
OM ON (,)(0,0)ON a b a b =>>(,)M x y O
（2）线性规划与平面向量相结合
在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足
||OA ||2OB OA OB ==⋅=，则点集{|P OP λ=OA +OB μ，||||1λμ+≤，λ，}R μ∈所表
示的区域的面积是________． 【答案】4
3【解析】由 ||OA ||2OB OA OB ==⋅=，知1cos 2AOB ∠=
,∴3
AOB π∠=，又A ，B 是两定点，可设(
3,1)A ，(0,2)B ，(,)P x y ,由 OP λ=OA +OB μ，可得32x y λλμ
⎧⎪⇒⎨
⎪⎩＝，
＝＋ 3
326
x y x λμ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
.
因为||||1λμ+≤33
x ＋
312y x ≤，当0
330336
x y x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩
－＋ 由可行域可得0
1
2332
S =⨯=,所以由对称性可知点P 所表示的区域面积0
43S S
=。

【考点分类】
热点1 求目标函数的最值
1。

【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,
239,0,
x y x y x
则2
2
x
y 的最大值
是（ ）
（A ）4 (B ）9 （C ）10 (D ）12
【答案】C
2。

【2016高考新课标3
理数】若,x y 满足约束条件10
20
220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
则z x y =+的
最大值为_____________。

【答案】32
【解析】作出不等式组满足的平面区域,如图所示，由图知，当目标
函数z x y =+经过点1(1,)2
A 时取得最大值，即max
13
122
z =+
=．
3。

【2016
高考上海文科】若,x y 满足0,
0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩
则2x y -的最大值为
_______。

【答案】2-
【解析】由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=,当直线z x y 2
1
21-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值，且为2-.
4。

若,x y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨
⎪+-≤⎩
,则y
x 的最大值为 。

【答案】3
【解
题技巧】
求约束条件下的二元函数的最值是典型的线性规划问题,求解这类问题时，目标函数所对应的直线的截距十分关键，即把目标函数
z ax by =+中的
z
b
看作直线在y 轴上的截距,其中b 的符号要特别小心：当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上的
截距最小时，z 值最小；
O
x
y
P
当0b <时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大，例如第1题，利用平移的方法，考查直线在可行域内在y 轴上的截距，即可求得最值。

【方法规律】
把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界，求目标函数的最大值或最小值,必须先画出准确的可行域,作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值.
热点2 与其它知识点交汇
1.已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，
若z ax y =+的最大值为4，则a = ( ）
（A)3 (B)2 （C ）—2 （D ）-3 【答案】B
【解析】不等式组0
20x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
在直角坐标系中所表示的平面区域如下图
中的阴影部分所示，
若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B 。

2。

y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≤-+0
2202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（ ）
A,12
1-或 B 。

2
12或 C.2或1 D.12-或
【答案】D
2。

【2016年高考四川理数】设p :实数x ，y 满足2
2(1)(1)2x y -+-≤，q ：实
数x ，y
满足1,
1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
则p 是q 的（ ）
（A ）必要不充分条件 (B ）充分不必要条件 （C)充要条件 （D)既不充分也不必要条件 【答案】A
3。

在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
，所表示的区
域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（ ） A 。

2 B 。

1 C 。

3
1- D.2
1-
【答案】C
【解析】画出可行域得该区域为点()()()1,0,2,2,3,1-形成的三角形，因此
OM k 的最小值为
101
.303
--=--
4.【2016高考浙江理数】在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂
足称为点P 在直线l
上的投影．由区域20
340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩
中的点在直线
x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ )
A ．22
B ．4
C ．32
D ．6 【答案】C
【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影
构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ,由3400
-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由2
=⎧⎨
+=⎩x x y 得
(2,2)-R ,22(12)(12)32==--++=AB QR ．故选
C ．
5.抛物线2
y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是 。

【答案】
1
[2,]2
-
【方法规律】
与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的范围、最值、距离等问题的求解一般是结合给定代数式的几何意义来完成的,常见代数式的几何意义：(1
(,)x y 到原点(0,0)的距离；（2）
(,)x y 与点(,)a b 的距离；（3）y x
表示点(,)x y 与原点(0,0)
连线的斜率值；（4）y b x a
--表示点(,)x y 与点(,)a b 连线的斜率值。

【解题技巧】
几类常见问题的处理方法：最优解问题：如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(1
k k =），其最优解可能有无数个，
例如第9题，就要用到前述的知识点来求解参数的值.整数解问题：若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，这时应作适当的调整，其方法是在线性目标函数的直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可以在用图解法所得到的近似解附近寻找。

热点3 实际应用
1. 【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0。

5kg,乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个
工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．
【答案】216000
【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么
1.50.5150,0.390,53600,
0,0.
x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪⎪⎩ ①
目标函数2100900z x y =+.
二元一次不等式组①等价于
3300,
103900,53600,0,0.
x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪⎪⎩ ② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.
将2100900z x y =+变形，得73900z
y x =-+
,平行直线73y x =-，当直线73900
z y x =-+经过点M 时,z 取得最大值。

解方程组103900
53600
x y x y +=⎧⎨
+=⎩,得M 的坐标(60,100).
所以当60x =，100y =时，max
210060900100216000z =⨯+⨯=.
故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元。

【方法规律】
解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:
（1）审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ （2)转化——设元．写出约束条件和目标函数；
(3）求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系;
(4)作答—-就应用题提出的问题作出回答． 【解题技巧】
解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成形表格，然后用字母表示变量，可以方便我们列出线性约束条件；写出要研究的函数,转化成线性规划问题。

【热点预测】
1。

【2016高考天津理数】设变量x ,y 满足约束条件20,
2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
则目标
函数25z x y =+的最小值为（ ）
（A ）4- (B ）6 （C)10 （D ）17 【答案】B
2。

设
变量x ，y
满足约束条件0
240220
x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨
+-<⎪⎪+->⎩,则目标函数22z x y =+的取值范围是
（ ） A.
416(,)55
B.
4
(,16)5
C.(1,16) D 。

16(
,4)5
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由2
2z x
y =+表示原点与可
行域内任意一点距离的平方，由图可知,当此距离为原点到直线
220x y +-=时最小,min z 22
2
|2|(
)12
-==
+4
5
，为点(4,0)时，z 取最大值,z 的最大值
为16，所以目标函数22z x
y =+的取值范围是4
(,16)5
，故选B.
3.已知0a >，x ,y 满足约束条件
13(3)
x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，且2z x y =+的最小值为1，则
a =(
)
A 。

1 B.2 C.14
D 。

12
【答案】D
【解析】画出可行域，由于2z x y =+与x 均正相关，因此直线2x y z +=在
x 轴上截距最小时，z 取得最
小值为1，此时，直线21x y +=应经过1x =与(3)y a x =-的公共点A ，该点坐标为(1,1)A -，故12a =,
选D.
x ＝1
y ＝a (x －3)
2x ＋y ＝z
x ＋y ＝3 y 0
x
3
1 A
4.【【百强校】2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】设实数,x y
满足0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩
，则23z x y =-的最大值为（
)
A ．13
- B ．12
- C ．2 D ．3
【答案】C
5.已
知实数x ，y
满足0
2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，则4z x y =+的最大值为( ） A.10 B.8 C.2 D.0
【答案】B
6。

若变量x ,y 满足约束条件1
211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，则3z x y =-的最小值为（
)
A.-7
B.—1
C.1
D.2 【答案】A.
【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域,作直线l ：30x y -=,平移l ，从 而可知当2-=x ,1=y 时，min
3(2)17z
=⨯--=-的最小值是7-，故选A 。

7。

【【百强校】2017届河北衡水中学高三摸底联考】若A 为不等式组
00
2x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
,表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ )
A ．1
B ．32
C ．3
4
D ．74
【答案】D
【解析】在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为1117
2212224
AOC
DEC S S
S ∆∆=-=
⨯⨯-⨯⨯=，故选D.
8.变量,x y 满足约束条件1
2314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩
，若使z ax y =+取得最大值的最优解有
无数个，则实数a 的取值集合是( ）
A. {3,0}-
B. {3,1}- C 。

{0,1} D. {3,0,1}- 【答案】B
9。

当
变量,x y 满足约束条件34,3y x
x y z x y x m ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥⎩
时的最大值为
8，则实数m 的值是
（ ）
A ．—4
B ．-3
C ．-2
D ．—1
【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数3z x y =-变形为3
3
x z y =-,当
直线经过可行域且尽可能地向下平移时，故当直线过点C 时，z 取到最大值，又(,)C m m ，所以83m m =-，解得4m =-．
x
y
D O
E
C
10。

【【百强校】2017届四川绵阳中学高三上学期入学考】若变量,x y
满足约束条件1
3215x y x
x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，则42x y ω=⋅的最大值是（ )
A ．100
B ．240
C ． 500
D ．512 【答案】D
B A
z=x+2y O
y
x
x-y-1=0
x+y+1=0
11.【【百强校】2017届河北衡水中学高三上学期一调】设1m >，变量
x ，y 在约束条件,
,1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下,目标函数z x my =+的最大值为2，则
m =_________．
【答案】12m =+
12.若实数x ，y 满足⎩
⎨⎧<->+12
y x y x ，则x y
的取值范围是________。

【答案】)3,3
1(
13。

【【百强校】2017届河北省五个一名校联盟高三上学期一模】已知0,0x y >>，1221x y +=+,则2x y +的最小值为 .
【答案】3
【解析】根据条件121221+=+-=y y y x ,解得y
y x 21+= ,那么3211112=+≥++=++=+y y
y y y y x ，当且仅当1==y x 时取得等号，所以y x +2的最小值为3。

14。

某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一种甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
【答案】每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

【解析】设甲、乙两种产品分别生产x ,y 件，工厂获得的利润为z ,由题意可得
2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩， 目标函数为23z x y =+，作出线性约束条件表示的可行域如
下图所示：
把23z x y =+变形为2
33z y x =-+,这是斜率为23-，在y 轴上截距为3
z 的直线，当z 变化时，可以得到一族相互平行的直线，当截距3
z 最大时，z 取得最大值,由上图可以看出，2
33
z y x =-+，当直线4x =与直线280x y +-=的交点(4,2)M 时，截距3z 的值最大，最大值为143
，此时2314x y +=,∴每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获得最大利润14万元.。