2013年天津卷数学试题及答案(文)

2013·天津卷(文科数学)
1． 已知集合A ＝{x ∈||x |≤2}，B ＝{x ∈|x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．[－2，2] D ．[－2，1]
1．D [解析] A ∩B ＝{x ∈|－2≤x ≤2}∩{x ∈|x ≤1}＝{x ∈|－2≤x ≤1}．
2． 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )
A ．－7
B ．－4
C ．1
D ．2
2．A [解析] 可行域如图：
联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得A (5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z
＝3－2×5＝－7.
3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )
图1－1
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
3．D [解析] 当n ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1；当n ＝2时，S ＝－1＋(－1)2×2＝1；当n ＝3时，S ＝1＋(－1)3×3＝－2；当n ＝4时，S ＝－2＋(－1)4×4＝2满足题意，输出n ＝4.
4． 设a ，b ∈，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．A [解析] 当(a －b )·a 2<0时，易得a <b ，反之当a ＝0，b ＝1时，(a －b )·a 2＝0，不成立．故选A.
5．， 已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )
A ．－1
2 B ．1
C ．2 D.1
2
5．C [解析] 设过点P (2，2)的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)，由题意得|k －2|1＋k 2
＝5，
解之得k ＝－1
2
.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝2.
6． 函数f (x )＝sin2x －π4在区间0，π
2上的最小值为( )
A ．－1
B ．－22
C.
2
2
D ．0
6．B [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4时，f (x )有最小值－22. 7．， 已知函数f (x )是定义在上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 1
2
a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )
A ．[1，2]
B ．0，1
2
C.1
2
，2 D ．(0，2] 7．C [解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (log 2a )＝f (log 1
2a )，又∵f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)，即|log 2a |≤1，解之得1
2
≤a ≤2.
8． 设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0
8．A [解析] 由数形结合及f (a )＝0，g (b )＝0得a ∈(0，1)，b ∈(1，2)，∴a <b ，且f (x )，g (x )都是递增的，
所以g (a )<0<f (b )．
9． i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________．
9．5－5i [解析] (3＋i)(1－2i)＝3×1＋2＋(1－6)i ＝5－5i.
10． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π
2，则正方体的棱长为
________．
10.3 [解析] 设正方体的棱长为a ，则43π⎝⎛⎭⎫3a 23＝9
2π，解之得a ＝ 3.
11．， 已知抛物线
y 2＝8x
的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线
的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
11．x 2－
y 2
3
＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
12． 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →
＝1，则AB 的长为________．
12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →， 所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →
＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝1
2
或0(舍去)．
13． 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．
图1－2
13.15
2 [解析] 联结AC .由圆内接梯形的性质得，∠DCB ＝∠ABE ，∠DAB ＋∠DCB ＝180°，∠ABC ＋∠DCB ＝180°，∴∠DAB ＝∠ABC ，∠DAB ＋∠ABE ＝180°，又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠CAB ＝∠DBA ，又∠ADB ＝∠ABD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴BC ＝AB ＝5.由切割线定理得AE 2＝BE ·EC ＝4×(4＋5)＝36，
由cos ∠ABE ＝－cos ∠DAB ，
得－AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝AB 2＋BE 2－AE 2
2AB ·BE ，
即－52＋52－BD 22×5×5＝52＋42－362×5×4，解之得BD ＝15
2.
14． 设a ＋b ＝2，b >0，则
12|a |＋|a |
b
的最小值为________． 14.34 [解析] 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a
4|a |
＋2b 4|a |·|a |b ≥－14＋1＝34
. 15．， 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等
级，若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， (i)用产品编号列出所有可能的结果；
(ii)设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”．求事件B 发生的概率．
15．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：
其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为6
10＝0.6.
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．
(ii)在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}, 共6种．
所以P (B )＝615＝2
5
.
16．， 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23
.
(1)求b 的值； (2)求sin2B －π
3的值．
16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B
，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.
由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝2
3
，可得b ＝ 6.
(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－1
9，sin 2B ＝2sin B cos B ＝
4 5
9
. 所以sin2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝4 5＋3
18
.
17．，、 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均
相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．
(1)证明EF ∥平面A 1CD ；
(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；
(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．
图1－3
17．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝1
2AC 且DE ∥AC ，又因为
F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD .
(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱AA 1⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.
(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG ，由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD ，由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．
设三棱柱各棱长为a ，可得A 1D ＝
5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a
5
.在Rt △BGC
中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝5
5
.
所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为
55
. 18．， 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为3
3，过点F 且与x 轴垂直的直
线被椭圆截得的线段长为4 3
3
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →
＝8，求k 的值．
18．解：(1)设F (－c ，0)，由c a ＝3
3，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，
代入椭圆方程有（－c ）2a 2
＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 3
3，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而
a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2
2
＝1.
(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1
消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 2
2＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2
.因为A (－3，0)，B (3，0)，所
以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)
＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)
＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2
.
由已知得6＋2k 2＋12
2＋3k 2
＝8，解得k ＝±2.
19． 已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈*)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明S n ＋1S n ≤13
6
(n ∈*)．
19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2
＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝3
2，所以等比数列
{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －
1·32
n .
(2)证明：S n ＝1－－12n ，S n ＋1S n ＝1－－12n ＋1
1－－12n ＝⎩
⎨⎧
2＋
1
2n （2n ＋1），n 为奇数，
2＋1
2n （2n －1）
，n 为偶数.当n
为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝13
6
.
当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝25
12.
故对于n ∈*，有S n ＋1S n ≤13
6
.
20． 设a ∈[－2，0]，已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 3－（a ＋5）x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2
＋ax ，x >0. (1)证明f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；
(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0，证明x 1
＋x 2＋x 3>－1
3
.
20．解：(1)证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2
＋ax (x ≥0)，
①f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)，a ∈[－2，0]，从而当－1<x ≤0时，f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1，0]内单调递减．
②f ′2(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2，0]，所以当0<x <1时，f ′2(x )<0；当x >1时，f ′2(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．
综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．
(2)证明：由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，a ＋3
6内单调递减，在区
间a ＋36，＋∞内单调递增，且f ′2(0)－f ′1(0)＝a ＋a ＋5>0.因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝
1，2，3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．结合图像不
妨设x 1<0<x 2<x 3，由3x 21－(a ＋5)＝3x 22－(a ＋3)x 2＋a ＝3x 2
3－(a ＋3)x 3＋a ，
可得3x 22－3x 23－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3
＝a ＋33. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则g a ＋3
6<g (x 2)<g (0)＝a .
由3x 21－(a ＋5)＝g (x 2)<a ，解得－2a ＋5
3
<x 1<0，所以x 1＋x 2＋x 3>－2a ＋53＋a ＋3
3
. 设t ＝
2a ＋53，则a ＝3t 2－5
2
. 因为a ∈[－2，0]，所以t ∈
33，15
3
， 故x 1＋x 2＋x 3>－t ＋3t 2＋16＝12(t －1)2－13≥－13，即x 1＋x 2＋x 3>－1
3.。