高中数学人教A版必修1同步练习题第1章 1.2.2 第1课时 函数的表示法

学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图1-2-1的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()
x 12 3
f(x)230
图1-2-1
A．3B．2
C．1D．0
【解析】由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
【答案】 B
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()
【解析】 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
【答案】 C
3．函数y ＝－1
x ＋1
的大致图象是( )
【解析】 函数y ＝－1x ＋1的图象是由函数y ＝－1
x 的图象向左平
移1个单位得到，而函数y ＝－1
x 的图象在第二、第四象限且是单调上升的两支图象，考查所给的四个图象只有B 符合，选B.
【答案】 B
4．已知f (x )是一次函数，且f (x －1)＝3x －5，则f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝3x ＋2
B ．f (x )＝3x －2
C ．f (x )＝2x ＋3
D ．f (x )＝2x －3
【解析】 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，可得f (x
－1)＝k (x －1)＋b ＝kx －k ＋b .∵f (x －1)＝3x －5，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝3，
－k ＋b ＝－5，
解之得k ＝3且b ＝－2.
∴f (x )的解析式为f (x )＝3x －2，故选B. 【答案】 B
5．已知f (x )＝2x ＋3，g(x )＝4x －5，则使得f (h(x ))＝g(x )成立的h(x )＝( )
A ．2x ＋3
B ．2x －11
C ．2x －4
D ．4x －5
【解析】 由f (x )＝2x ＋3，得f (h (x ))＝2h (x )＋3，
则f (h (x ))＝g (x )可化为2h (x )＋3＝4x －5，解得h (x )＝2x －4，故选C.
【答案】 C 二、填空题
6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________. 【解析】 由2x ＋1＝a ，得x ＝a －1
2， ∴3×a －1
2＋2＝4， ∴a ＝73. 【答案】 7
3
7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图1-2-2的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大
重量为________(kg)．
图1-2-2
【解析】 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)
与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧ 330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝30，
b ＝－570，即y ＝30x －570，
若要免费，则y ≤0，∴x ≤19.
【答案】 19
8．设f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x －1＝x ，则f (x )＝________.
【解析】 令t ＝1x －1，解得x ＝1
t ＋1，代入得f (t )＝
1
t ＋1
，又因为x >0，所以t >－1，故f (x )的解析式为f (x )＝
1
x ＋1
(x >－1)． 【答案】 1
x ＋1
(x >－1) 三、解答题
9．求下列函数的解析式：
(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x)＝x －2x －1，求f (x )．
【解】 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，∴f (x )＝x 2－5x ＋6，
(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2，(x ≥1)．
10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， (1)求f (x )的表达式； (2)求f (2)的值.
【解】 (1)由f (0)＝0，得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx ，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，
∴ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝1
2，
∴f (x )＝12x 2＋1
2x .
(2)由(1)得，f (2)＝12×2＋12×2＝1＋2
2.
[能力提升]
1．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( )
A ．p ＋q
B ．2p ＋q
C ．p ＋2q
D ．p 2＋q
【解析】 由f (ab )＝f (a )＋f (b )， ∴f (12)＝f (4)＋f (3)＝2f (2)＋f (3)＝2p ＋q . 【答案】 B
2．若x ∈R ，f (x )是y ＝2－x 2，y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值为( )
A ．2
B ．1
C ．－1
D ．无最大值
【解析】 在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图象，如
图：
根据题意，图中实线部分即为函数f (x )的图象． ∴当x ＝1时，f (x )m ax ＝1， 故选B. 【答案】 B
3．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋x ，则f (x )的解析式为
________．
【解析】 ∵f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋x ，①
∴将x 换成1x ，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝2f (x )＋1
x .②
由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝－23x －x
3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．
【答案】 f (x )＝－x 2＋2
3x (x ≠0)
4．如图1-2-3，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
图1-2-3
(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h(m )的函数； (2)确定函数的定义域和值域．
【解】 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2
＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．
由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0<A<6.84.
故值域为{A|0<A<6.84}．。