人教版平面向量多选题专项训练单元 期末复习综合模拟测评检测

人教版平面向量多选题专项训练单元 期末复习综合模拟测评检测
一、平面向量多选题1．题目文件丢失！
2．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°
答案：ACD
【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角，
∴
，
且(时与的夹角为0)，
所以且，故A 错误；
对于B
解析：ACD
【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，
∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53
λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；
对于D ，因为|||a a b =-∣
，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故23||()32cos ,2
||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.
故错误的选项为ACD
故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
3
．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B
b C a c
=-，
4
ABC S =△，且
b = ） A ．1cos 2B = B ．cos 2B = C ．a
c +=D ．a c +=答案：AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】
∵，
整理可得：，
可得， ∵A 为三角形内角，，
∴，故A 正确
解析：AD
【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B b C a c
=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c +=
【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b B C a c A C
==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==，
∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2
B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π
=，
∵ABC S =
△3b =，
∴11sin 42224
ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =， 由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，
解得a c +=C 错误，D 正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝
3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）
A ．△ABC 的外接圆面积是
493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7； C ．b ＋c 可能等于16；
D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大
值是 答案：ABD
【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．
【详解】
对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；
对于B ，根据正弦定
解析：ABD
【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．
【详解】
对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是2493
S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确． 对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3
b c R B C R B B π+=+=+-
114(cos )14sin()223
B B B π=+=+ 14b c ∴+≤，故
C 错误．
对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22
ad bc A =，即sin bc A
d a
=
，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD.
【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．
5．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．97,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(7，9)
答案：ABC
【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.
【详解】
由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确.
选项B. ,所以B 选项正确.
选项C . ,所以C 选
解析：ABC
【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.
【详解】
由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，
AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 选项A . 91473023⎛⎫-⨯--
⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---
⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--
⨯≠ ⎪⎝⎭
,所以选项D 不正确 故选：ABC
【点睛】 本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
6．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）
A ．1122AE A
B A
C →→→
=+ B ．2AB EF →→
= C ．1133CP CA CB →→→
=+ D ．2233CP CA CB →
→→=+ 答案：AC
【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
【详解】
如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
, A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的；
根据三角形重心
解析：AC
【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
【详解】
如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→
→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的； 因为EF 是中位线，所以B 是正确的；
根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
7．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为钝角
B ．向量a 在b 5
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2 答案：CD
【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；
对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A ，向量(
解析：CD
【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错
误；
对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；
对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12
≤ (
22
m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.
【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
8．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立
C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 答案：AB
【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．
【详解】
中，，由得，A 正确；
锐角三角形中，，∴，B 正确；
中，
解析：AB
【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．
【详解】 ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确； ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或
90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11
sin 3sin 6022
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
a =，
∴2sin sin 603a R A ===︒，3
R =，D 错． 故选：AB ．
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
9．设a 为非零向量，下列有关向量||
a a 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a = B ．//||a
a a C ．||a
a a = D ．||||a
a a a ⋅=
答案：ABD
【分析】
首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.
【详解】
表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，
，所以D 正确. 故选：ABD
解析：ABD 【分析】 首先理解a a 表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】
a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a a a
=不正确， cos 0a a a a a a a a a a
⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD
本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a
表示与向量a 同方向的单位向量. 10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=
答案：AD
【分析】 分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量
解析：AD 【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；
对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD
【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题. 11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c += B ．a d b += C ．b d a += D ．a b c +=
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查
解析：ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
12．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A ．若sin 2sin 2A
B =，则AB
C ∆为等腰三角形
B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形
答案：BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A ，若，则或，
当A ＝
解析：BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ∆中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2
A B π
+=
时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；
综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
13．已知ABC ∆的面积为3
2
,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
答案：BD 【分析】
由三角形的面积公式求出即得解. 【详解】 因为, 所以, 所以,因为, 所以或120°. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析：BD 【分析】
由三角形的面积公式求出sin 2
A =即得解. 【详解】 因为13sin 22
S bc A ==,
所以
13222
A ⨯=,
所以sin A =
,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C
处,,那么x 的值为( )
A B ．C ．D ．3
答案：AB 【分析】
由余弦定理得，化简即得解. 【详解】
由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析：AB 【分析】
由余弦定理得293
cos306x x
︒
+-=，化简即得解.
【详解】
由题意得30ABC ︒
∠=,由余弦定理得293
cos306x x
︒
+-=
,
解得x =x 故选：AB. 【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．题目
文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题16．题目文件丢失！
17．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形
解析：B 【分析】
利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】
因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=
所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.
所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．
18．已知ABC 中，1,30a b A ︒===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
解析：D 【分析】
由正弦定理可得，sin B =，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】
由正弦定理可得，sin sin 2
b A B a =
=
， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =. 故选：D 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且
a b =，则cos B 等于（ ）
A
．
154
B ．
14
C ．
34
D ．
32
解析：B 【分析】
利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案； 【详解】
cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，
∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=， ∴2b c =，又a b =，
∴2222211
4cos 12422
b
a c
b B a
c b ⋅+-===⋅⋅，
故选：B. 【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 20．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）
A ．
2
5
B ．
35
C ．
34
D ．
14
解析：D 【分析】
由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果. 【详解】
延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线， 所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB = 代入可得CP mCA nkCB =+
即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =
+，即11
,142
nk m nk =--=，且1m n +=
解得13,44
m n =
= 所以13
44
CP CA CD =
+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比 所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为1
4
故选D 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
21．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1
2
BD DC =
，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）
A ．m n +是定值，定值为 2
B ．2m n +是定值，定值为3
C ．
11
m n +是定值，定值为2 D ．
21
m n
+是定值，定值为3 解析：D 【分析】
过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出
21312
AM n n
n AB n n ==
--+，再根据AM mAB
=可得231n m n =-，整理可得213m n
+=，最后选出正确答案即可. 【详解】
如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得
1
AC AN n
=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得
12
BM ME =，所以21312
AM n n
n AB n n ==
--+，因为AM mAB =，所以231
n
m n =-， 整理可得
21
3m n
+=.
故选：D . 【点睛】
本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
22．已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 解析：D 【详解】
()22cos 3sin 2cos 23sin 212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，当12
x π
=时,sin(2)sin
163x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项.
23．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A 3
B ．1
C ．
1
2
D 3解析：B 【分析】
先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a. 【详解】
因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，
因为2
2
2
0a c b ac +--=，所以2221cosB ,223
a c
b B a
c π
+-===,
因此13
a ccos π
==选B.
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
24．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2
3BG BE = B ．2CG GF = C ．1
2
DG AG = D ．0GA GB GC ++=
解析：C 【分析】
由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案． 【详解】
ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G
为重心，则23BG BE =，2CG GF =，1
2
DG GA =且0GA GB GC ++=
故选：C 【点睛】
本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．
25．在ABC ∆中，设22
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．重心
D ． 外心
解析：D 【分析】
根据已知条件可得()
2
2
2AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得
()
0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线
上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】
()()()
2
2
2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅
()
20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=
20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ∆的外心 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.
26．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ）
A ．M
B ．N
C ．
D ．1
解析：C 【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，
1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得
1ab c =⨯，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ==
=≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以+N a b ==
=≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.
27．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形
ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．以上都不对
解析：B
【分析】
计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】
2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.
设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .
【点睛】
本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 28．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -= B ．1a b ⋅=
C ．a b =
D ．0a b ⋅=
解析：C 【分析】 取,a b 夹角为3
π
，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】 取,a b 夹角为3π
，则0a b -≠，12
a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
29．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为3(21)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．2
C ．4
D ．16
解析：C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(22)bc =,
再代入余弦定理求解即可. 【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-,
∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 30．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
解析：B 【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选：B 【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。