广东省韶关市2008年高三第二次模拟测试(数学理)

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广东省韶关市
2008年高三第二次模拟测试 数学理科
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填在答题卡上。

用2B
铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑。

在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按
以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交。

参考公式：柱体体积 V sh = s 表示底面积，h 表示棱体锥高 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如
果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次
的概率 ()(1)(012)k k n k
n n P k C p p n n -=-=，，，，
第一部分 选择题 (共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若 A B M ⊆⊆，则下面成立的是
A ．
B
C A C M M ⊆ B ． M B C A C M M =⋃)()(
C ．Φ=⋂)(B C A M
D ． Φ=⋂)(A C B M
2. 设a 、b 满足01a b <<<，则下列不等式中正确的是 A ．a
b
a a < B ．a
b
b b <
C ．a a
a b <
D ．b b
b a <
3. 一个空间几何体的正视图、侧视图是两个边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积等于
A ．1
B ．
12
C ．
13 D ．1
4
4. 设i 是虚数单位，给出下列四个命题：
试卷类型：A
①i 21+的共轭复数是i +2；②若di c bi a +=+，则d b c a ==,； ③若di c z bi a z +=+=21
，，则21210z z z z >⇔>-；
④复数()2
2i -在复平面上对应的点在第四象限. 其中的真命题是
.A ①② .B ③④ .C ④ .D ②④
5. 同时具有下列性质：“①对)()(x f x f R x =+∈∀π，恒成立；②
图象关于直线3
π
=x 对称；③在⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
3,6ππ上是增函数”的函数可以是
.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin )(πx x f .B ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=62sin )(πx x f
.C ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=62cos )(πx x f
6. 右图是求数列310156
n n
a n =+前30项中最大项的程序框图，
①，②应填的内容是
.A ,M N N M >= .B ,M N M N >= .C ,M N N M <= .D ,M N M N <=
(说明，M N =是赋值语句，也可以写成M N ←，或:M N =)
7.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)。

现定义数列1,
1,n a -⎧=⎨⎩ ，
设n S 是其前n 项和，那么53S =的概率是
.
A 80243 .
B 10243 .
C 20243 .
D 40
243
8. 对于任意实数x ，符号[x ]表示求不超过x 的最大整数。

例如，[ 1.3]2-=-，[]3π=，[0]0=，那么2222[log 1][log 2][log 3][log 512]+++⋅⋅⋅+=.
.A 3595 .B 3586 .C 1547 .D 1555
第二部分 非选择题(共110分) 二.填空题：每小题5分, 共30分. 9.3
5
2()x x
+
展开式中3x 的系数为________________(用数字作答) 点数是3的倍数 点数不是3的倍数
D
10. 以双曲线2
2:13
x C y -=的右焦点F 为圆心且与C 的渐近线相切的圆的方程为 .
11. 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线2
1
=x 对称，则 (1)______f =，(5)_____________f =.
12. 若点O 在∆ABC 内，则有结论 0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=，把命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内，则有结论：_____________________________.
选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分. 13. 不等式4|2||
12|<++-x x 的解集为
14. 直线1122
x t y
⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)被曲线cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）所截得的弦长
为 .
15. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ,并交CD 于E ,过A 切线交DC 的延长线于P ，1PC ED ==，2PA =，则AC =___________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 16.(本题满分12分)
已知甲在A 箱内放有6个球（3个红球，1个黑球，2个黄球），乙在B 箱内放有6个球（a 个红球，b 个
黑球，c 个黄球，*
∈N c b a 、、）.现分别从A 、B 箱中分别取出1个球（假设每球等可能取出），当取出球的颜色如下列情形时，乙胜.
(Ⅰ) 用、表示乙获胜的概率；
(Ⅱ) 当a 、b 为何值时，乙获胜的概率最大，并求此最大值.
17.(本题满分12)
某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离. km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠75ACB =，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的
4
3
倍，问施工单位至少应
P
A
A
该准备多长的电线？
18. (本题满分14分)
已知定点(1,0)F ，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，PM PF ⊥，设点M 于点P 的对称点为N . (Ⅰ)求点N 轨迹E 的方程； (Ⅱ)过F 作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为G ，H ，求证：直线GH 必过定点Q ()0,3.
19. (本题满分14分)
如图,四边形ABCD 是直角梯形,//,90,2,AB CD ADC DAB CD AB ∠=∠=︒=
,,PA ABCD PA AB AD Q PC ⊥==平面是的中点.
(Ⅰ).求证://BQ PAD 平面;
(Ⅱ) 探究在过BQ 且与底面ABCD 相交的平面中是否存在一个平面α,把四棱锥P-ABCD 截成两部分,使得其中一部分为一个四个面都是直角三角形的四面体.若存在,求平面PBC 与平面α所成锐二面角的余弦值;若不存在,请说明理由. .
20. （本题满分14分） 已知3211()32f x ax bx cx =
++ ,0a >, 0m >，()01m f m '<+，21
a b m m +++
c
m
+
0=都成立. （Ⅰ）若0c >，证明：()f x 在(0,1)内有极值； （Ⅱ）若c 0≤，()f x 在(0,1)内是否有极值，说明理由. 21. (本题满分14分)
在数列{}n a 中，已知112n n n n a a a a ++=-，且12a =（n N +∈） (Ⅰ) 求证：数列1
{
1}n
a -是等比数列； (Ⅱ) 设2
n n n b a a =-，且n S 为{}n b 的前n 项和，试证：23n S ≤<.
数学试题(理科)参考答案及评分标准
一、选择题答案 C CBC B C AA
二、填空题 9. 80 10. 2
2
(2)1x y -+= ， 11. 0，0，
12. 0O BCD O ACD O ABD O ABC V OA V OB V OC V OD ----⋅+⋅+⋅+⋅= 13. (－1,1) ，
14.2 15. 2
三、解答题
16.(本题满分12分)
解: ⑴记乙获胜为事件C ，则 甲取红球时乙获胜的概率为 3666b
-⨯
………………………2分
甲取黄球时乙获胜的概率为 2666a b
--⨯
………………………4分
甲取黑球时乙获胜的概率为 166
b
⨯ ………………………6分
18
)2(1566166626663)(b a b b a b C P +-=⨯+--⨯+-⨯=
………………………8分 ⑵ 依题意，得⎪⎩
⎪⎨⎧∈∈≤+**
N b N a b a 5
………………………10分
当11==b a ，时，2a b +取最小值3.
A
∴ 当11==b a ，时，乙获胜的概率最大值为3
2
.………………………12分
17.(本题满分
12分)
解：在ACD ∆中，由已知可得，30CAD ∠=
所以，AC =……………………………………………….2分
在BCD ∆中，由已知可得，60CBD ∠=
6sin
75sin(4530)4
+=+=
…………………………….4分
由正弦定理，756sin 602
BC +=
=…………………………….7分
6cos 75cos(4530)-=+=
在ABC ∆中，由余弦定理
2
2
2
cos AB
AC BC AC BC BCA =
+-⋅∠
2(
cos755
22+=+-⋅=…………………………
.10分 所以，AB =
施工单位应该准备电线长答：施工单位应该准备电线长km . ………………………….12分 18.(本题满分14分)
(Ⅰ)解：设(,)N x y ，依题意，则 0M x x += 2p y y =……………………….2分 又PF MN ⊥ 1PF MN k k ⋅=-
PF p k y =- ，p MN M
y k x =-
……………………….4分
代入整理得：2
4y x = ………………………6分
(Ⅱ) 解：设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，直线
AB 的方程为
)1(-=x k y ，………………………7分
则⎪⎩⎪⎨⎧==)
2(4)1(42
2B
B A A x y x y
（1）—（2）得k y y B A 4=+，即k y M 2=，代入方程)1(-=x k y ，解得12
2+=k
x M 。

所一点Ｍ坐标为222(
1,)k k
+．………………………………………………….9分 同理可得：N 的坐标为()k k 2,122
-+. …………………………….10分
P
A
直线MN 的斜率为2
1k
k
x x y y k N M N M MN -=--=
，方程为 )12(122
2
---=
+k x k
k k y ，整理得)3()1(2-=-x k k y ,……………..12分 不论k 为何值，()0,3均满足方程，
所以直线MN 恒过定点Q ()0,3 …………………………….14分
19.(本题满分14分)
(Ⅰ)取PD 的中点F,连结AF 、FQ ， (1)
,1//21
//2
//......................................................3Q PC FQ PCD FQ CD FQ CD AB CD AB CD
FQ AB FQ AB ABQF ∆∴=
=∴=∴∴为的中点则为的中位线
且又且且分四边形为平行四边形,BQ//AF..............4分又
AF 在平面PAD 内,BQ 在平面PAD 外
BQ//平面PAD.................................5分
(Ⅱ)设过BQ 的平面与平面PCD 交于QE, E 为PCD α∆的边与平面的交点, .当E 为CD 中点时,四面体Q-BCE 的四个面都是直角三角形,证明如下:………6分 因为当E 为CD 的中点时,则DE//AB 且DE=AB,所以四边形ABED 为平行四边形
//,90,90BE AD ADC BEC ∴∠=︒∴∠=︒又,故BEC 为直角三角形…
,,PAD AD AP F PD AF PD
∆=∴⊥在中为的中点
又
,,PA ABCD CD ABCD PA CD ⊥∴⊥平面在平面内,又,CD AD CD PAD ⊥∴⊥面
90,//,90.FDC QE PD CEQ ∴∠=︒∴∠=︒又,CEQ ∴∆为直角三角形………………8分
又
,AF PAD AF CD ⊂∴⊥面,又,,PD CD D AF PCD =∴⊥面
//BQ AF BQ PCD ⊥由得面,,,CQ EQ PCD BQ CQ BQ EQ ∴⊥⊥由都在平面内,所以四面体Q-BCE 的
四个面都为直角三角形…………………………………………………..9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，BQ ⊥面PCD ，BQ QE ⊥，BQ QC ⊥，所以，
EQC
∠是截面
α
与平面
QBC
二面角的平面
角...................................................................11分
设PA=AB=AD=1, 则
PD =2QE =
PC =
CQ =在Rt QEC ∆中，
cos 32
EQ EQC QC ∠=== 所
以
，
所
求
角
的
余
弦
值
为
3
.............................................................................................14分
解法(二) 坐标法 如图建立直角坐标系 设PA=AB=AD=1,则()0,0,0,A ,()()()0,1,0,1,2,0,0,0,1B C P -…….11分 则 (0,1,1),
(1,1,0),PB BC =-=-平面BQE 的法向量为AB (0,1,0)=
设平面PBC 的法向量为(),,,,n x y x PB n BC =⊥⊥则n
由(,,)(0,1,1)0(,,)(1,1,0)0
n PB x y z y z n BC x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩
所以，x y
z == 令1x = 得 (1,1,1)n = 所
cos ,3AB n <>== ..................13 所以，所求角的余弦值为3
. ..................1420.(本题满分14分)
解: (Ⅰ)由()00=f 得0=c 由
b ax x f +='2)(，∴⎩⎨⎧=-=0
4162
b a b 解之得2,21==b a
即x x x f 22
1)(2
+=
； ……………………………3分 (Ⅱ) 0a >由题意，得f (0)=c ,f (1)=c b a ++
若c >0,则f (0)>0,又f (
1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1
+m m
)内有解; 若c ≤0,则f (1)= c b a ++=+a ()1+m (－m c m a -+2)+c =m
c
m a -+2>0, 又f (
1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1
+m m
,1)内有解
综上所述: 方程f (x )=0在(0，1)内恒有解 21. （本题满分14分）
证(Ⅰ)由112n n n n a a a a ++=-得，，且120a =≠
故10n a >≠（n N +∈） （1分） 再由等式两边同除以1n n a a +，得
1111
1(1)2n n
a a +-=- （3分） 由12a =得
111
12
a -=- 所以数列1{
1}n a -是首项为12-，公比为1
2
的等比数列. （4分） (Ⅱ)由（1）知111111()()222n n
n a --=-=-，即221n n n a =- （5分） 故22
2(1)(21)
n
n
n n n n n
a a a a
b -=-==- （6分） 而1
1112
20(21)
n n n n n S S b ++++-==>-，故n S 是关于n 的递增数列 （7分） 故22
1111222n S S b a a ≥==-=-=. （8分）
当2k ≥时,222(1)(21)(21)(22)k k
k k k k k k b a a =-=<
--- （10分）
11211(21)(21)2121
k k k k k
--==----- （12分） 故12112111
()33(21)212121
n
n i i n i S -=<+-=-<----∑ （13分） 综上有23n S ≤<. （14分） 法二：
2
(1)n n n n n b a a a a =-=-（而121
n
n n a a a +=
+，故12n a <≤） 221
2(1)2(1)212
n n n n a -≤-=-=- （11分）
1234n n
S b b b b b ∴=+++++
342348161112949225222
148164816122219492259492254
12
48112948124411134223
9612436
n -≤+
++++++<++++=++++-<++++
=++++=+<
综上有23n S ≤<.
（12分）
（13分）
（14分）。