振安区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

振安区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列
{}n a 的前n 项和为（ ）
A ．22n
- B ．1
2
2n +- C ．21n - D ．121n +-
2． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A ．2sin(2)3
y x π
=+
B ．22sin(2)3y x π=+
C ．2sin()23x y π=-
D ．2sin(2)3
y x π=-
4． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]
5． 将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．﹣
D ．
6． 已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5），则向量在
方向上的投影为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
7． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）
A ．
12 B ．34 C. D 8． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（e﹣1，1）C．（0，e﹣1）D．（1，e）
9．设偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）
A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}的元素个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．9
11．“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．满足集合M⊆{1，2，3，4}，且M∩{1，2，4}={1，4}的集合M的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．已知复数，则1+z50+z100=．
14．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为.
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
15．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
16．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1
sin 3
BAM ∠=
，则AC 的长为_________. 17
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升． 18．已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
三、解答题
19．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
20．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
21．（本题满分15分）
已知函数c bx ax x f ++=2
)(，当1≤x 时，1)(≤x f 恒成立． （1）若1=a ，c b =，求实数b 的取值范围；
（2）若a bx cx x g +-=2
)(，当1≤x 时，求)(x g 的最大值．
【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
22．（本小题满分14分）
设函数2
()1cos f x ax bx x =++-，0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（其中a ，b R ∈）.
（1）若0a =，1
2
b =-
，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
23．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°． （1）求∠BDA 的大小 （2）求BC 的长．
24．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2
3
3-=n n a S （+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足143log +=⋅n n n a b a ，记n n b b b b T ++++= 321，求证：2
7
<
n T （+∈N n ）. 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.
振安区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n
-，选C ．
2． 【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
3． 【答案】B 【解析】
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 4． 【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q ， ∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=
．
当q ＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b ∈（0，2]；
当q ＜0时，b =﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b ∈[﹣6，0）．
∴b 的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5． 【答案】D
【解析】解：将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移
个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos （2x+φ﹣
）的图象，
∴φ﹣
=k π+
，即 φ=k π+
，k ∈Z ，则φ的一个可能值为
，
故选：D ．
6． 【答案】D
【解析】解：∵；
∴
在
方向上的投影为
==
．
故选D ．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =x
解得x =
，即菱形1BED F 44=，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为3
4
，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法. 8． 【答案】 D
【解析】解：由题意知：f （x ）﹣lnx 为常数，令f （x ）﹣lnx=k （常数），则f （x ）=lnx+k ． 由f[f （x ）﹣lnx]=e+1，得f （k ）=e+1，又f （k ）=lnk+k=e+1， 所以f （x ）=lnx+e ，
f ′（x ）=，x ＞0．
∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，
令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）
可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，
g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，
∴x0∈（1，e），g（x0）=0，
∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e）
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．
9．【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，
即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，
所以x的取值范围是（，1），
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；
②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；
③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；
∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．
故选：B．
11．【答案】B
【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；
当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．
∴“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．
故选：B ．
【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】解：∵M ∩{1，2，4}={1，4}， ∴1，4是M 中的元素，2不是M 中的元素． ∵M ⊆{1，2，3，4}， ∴M={1，4}或M={1，3，4}． 故选：B ．
二、填空题
13．【答案】 i ．
【解析】解：复数
，
所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50
=1+i ﹣1=i ；
故答案为：i ．
【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2
=﹣1．
14．【答案】
2017
2016 【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=
532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
.
15．【答案】 ．
【解析】解：ρ==，tan θ=
=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=
．
∴点P 的极坐标为．
故答案为：．
16．
【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.
17．【答案】8升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．
18．【答案】
【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，
所以a 2+b 2=c 2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是
y=x ，
所以=
，
解得a 2=36，b 2=108， 所以双曲线的方程为．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a 2的值，是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）2
1sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2）23a =【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2
112cos x a a θ=+-， 所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ+-=⋅
+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a θ=
+ 且当0θθ<时，02
2cos 1a
a
θ>+，0S '>，
当0θθ>时，02
2cos 1a
a
θ<
+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以221
12
a a =+，
解得2a =
因为1a >，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

20．【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-
，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩
， ∴函数()f x 的解析式为2
()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+-
-+ 212121221221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 21．【答案】
【解析】（1）]0,222[-；（2）2.
（1）由1=a 且c b =，得4
)2()(222
b b b x b bx x x f -++=++=，
当1=x 时，11)1(≤++=b b f ，得01≤≤-b ，…………3分
故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ，当1≤x 时，2
min max ()()1
24
()(1)11
b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩
，………… 5分 解得222222+≤≤-b ，综上，实数b 的取值范围为]0,222[-；…………7分
112≤+=，…………13分
且当2a =，0b =，1c =-时，若1≤x ，则112)(2
≤-=x x f 恒成立， 且当0=x 时，2)(2
+-=x x g 取到最大值2．)(x g 的最大值为2.…………15分
22．【答案】
【解析】（1）∵0a =，12
b =-， ∴1()1cos 2f x x x =-
+-，1()sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （2分）
令()0f x '=，得6
x π=. 当06x π<<
时，()0f x '<，当62
x ππ
<<时，()0f x '>， 所以()f x 的单调增区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（5分）
若
112a -
<<-π，则()102f a π'=π+<，又()(0)0f f θ''>=，由零点存在定理，00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使0()0f θ'=，
所以()f x 在0(0,)θ上单调增，在0,2θπ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调减.
又(0)0f =，2
()124
f a ππ=
+.
故当2142a -<≤-π时，2()1024f a ππ=
+≤，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点； 当241a -<<-ππ时，2()1024f a ππ=
+>，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点.
23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC 中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…
=
…
∴∠BDA=60°… （2）∵AD ⊥CD ， ∴∠BDC=30°…
在△ABC 中，由正弦定理得
，…
∴． …
24．【答案】 【
解
析
】。