中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用导学1案4

中考数学一轮复习第7讲一元二次方程及其应用导学1案
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第7讲一元二次方程及其应用
一、知识梳理
一元二次方程的概念及一般形式
1.－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．
一元二次方程的四种解法
1．一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．
(2)配方法的步骤：移项，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．
(3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．
(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为
________．
一元二次方程的根的判别式
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．
(1)当△>0时，方程有两个_______的实数根．
(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．
(3)当△<0时，方程没有实数根．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1•x2＝
________．
一元二次方程的应用
(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均
增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，
二、题型、技巧归纳
考点1一元二次方程的概念及一般形式
例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
技巧归纳：运用1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念，解决此问题。

考点2一元二次方程的解法
例2 解方程：x2－4x＋2＝0.
技巧归纳：可以利用一元二次方程的四种解法中的任意一种解决此题。

利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
考点3 一元二次方程的根的判别式
例3 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
技巧归纳：(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件
考点4 一元二次方程的应用
例4 为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a 千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要
100
a 交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．
(1)求a 的值；
(2)若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
技巧归纳：1．用一元二次方程解决变化率问题：a (1±m)n ＝b ； 2．用一元二次方程解决商品销售问题．
三、随堂检测
1.k 取什么值时，方程x 2－kx ＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．
2.已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是
( )
A ．a ＞2
B ．a ＜2
C ．a ＜2且a ≠1 D．a ＜－2
3、已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.
(1)求k 的取值范围；
(2)若12x x ＝x 1x 2－1，求k 的值．
参考答案
例1、A
例2、[解析]通过对方程的观察发现此题直接应用公式法x ＝－b±b2－4ac 2a
解比较方便． 解：∵Δ＝42－4×1×2＝ 8，∴x ＝4±82
. x 1＝2＋ 2 ，x 2＝2－ 2.
例3、解：(1)∵b 2－4ac ＝[－(m ＋2)]2
－4×1×(2m－1)
＝m 2－4m ＋8 ＝(m －2)2＋4>0，
∴方程恒有两个不相等的实数根．
例4、解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得， ()208035100
a a +-=， 即28015000a a -+=。

解得a=30或a=50。

由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。

∴a=50。

（2）设月用电量为x 千瓦时，交电费y 元。

则20(050)200.5(50)(50)x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩
∵5月份交电费45元，
∴5月份用电量超过50千瓦时。

∴45=20＋0.5（x －50），
解得x=100。

答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。

随堂检测
1、解：∵方程有两个相等的实数根，
∴(－k)2－4×1×4＝0，即k 2
＝16.
解得k1＝4，k2＝－4.
把k1＝4代入x2－kx ＋4＝0，
得x2－4x ＋4＝0，解得x1＝x2＝2；
把k2＝－4代入x2－kx ＋4＝0，
得x 2＋4x ＋4＝0，解得x1＝x2＝－2.
2、Δ＝4－4(a －1)＝8－4a ＞0，得a ＜2.又a －1≠0，∴a ＜2且a≠1.故选C.
3、解：(1)依题意，得Δ≥0即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k≤12
. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.
以下分两种情况讨论：
①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.
∵k≤12
， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去． ②当x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2
－1， 解得k 1＝1，k 2＝－3. ∵k≤12
，∴k ＝－3.综合①、②可知k ＝－3.。