【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 向量应用举例多媒体教学优质课件 北师大版必修4
【全程复习方略】(湖北专用)2013版高中数学 7.8立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版..
形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
【解析】如图，建立坐标系Dxyz，
则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，
B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
AD1 =(-2,0,4), AB1 =(0,2,4), AA1=(0,0,4),设平面AB1D1
的一个法向量为 n =(x，y，z)，
C1(0,2,2)，BC1 =(－1,0,2)，
AE =(－1,2,1)，
cos BC1 , AE 30 . 10
BC1 (1)30°
(2) 30
10
4．点到平面的距离的向量求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则
| AB n | 点B到平面α的距离d=_______. |n|
平面的
法向量
向量都可作为平面的法向量． 显然一个平面的法向量也不唯
一．
n a 0 ． n b 0
【即时应用】 (1)思考：在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量， 但只有两个方程，如何求法向量？ 提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解， 即可作为法向量的坐标．
(2)若 A(0, 2, 19 ), B(1, 1, 5 ),C( 2,1, 5 ) 是平面α内的三点，设平面α
8 8 8
的法向量 n =(x,y,z)，则x∶y∶z=__________.
7 7 【解析】AB (1， 3， )， AC ( 2, 1, ), 4 4
7 2 n AB x 3y z 0 x y 3 4 由 得 ． n AC 2x y 7 z 0 z 4 y 3 4
答案：(1)－10
高中向量的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
高中向量的教案引言：向量是数学中一个重要的概念，在高中数学中起着重要的作用。
通过向量的学习，学生不仅可以更好地理解几何概念，还可以应用向量的知识解决实际问题。
本文档将提供一个针对高中向量教学的教案，帮助教师系统地进行向量教学。
一、教学目标1. 理解向量的定义和基本概念；2. 掌握向量的表示方法和运算法则；3. 能够应用向量解决几何和物理问题。
二、教学内容1. 向量的定义和基本概念a. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量；b. 向量的表示方法：用箭头表示，箭头长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向；c. 零向量的概念：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身；d. 向量的相等性和相反性：向量的大小和方向相同则相等，大小相等但方向相反则相反；e. 向量的标志符号：用小写字母加箭头表示，如a→。
2. 向量的运算法则a. 向量的加法：按照平行四边形法则进行，即将两个向量的始点相连，得到新的向量；b. 向量的减法：将减去的向量转换为其相反向量，然后按照向量加法进行运算；c. 向量的数乘：将向量的大小与一个实数相乘，得到新的向量；d. 向量的数量积：向量的数量积定义为两个向量的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积；e. 向量的向量积：向量的向量积定义为两个向量的乘积与它们所在平面上的法向量的乘积。
3. 向量的应用a. 几何问题：通过向量的运算，可以解决直线垂直、平行、共线、夹角等几何问题；b. 物理问题：通过向量的运用，可以解决速度、位移、力等物理问题；c. 向量的投影和分解：将一个向量分解成两个分量，垂直和平行于另一个向量；d. 向量的线性组合：通过向量的线性组合，可以表示一个平面或空间中的任意向量。
三、教学过程1. 导入：通过引入实际生活中的问题，引发学生对向量的兴趣和思考；2. 知识讲解：结合教材对向量的定义、表示方法和运算法则进行详细讲解；3. 实例演示：通过具体的实例演示向量的运算和应用，帮助学生更好地理解和掌握；4. 练习训练：安排一定数量和难度的练习题，巩固学生对向量知识的掌握；5. 拓展延伸：引导学生应用向量的知识解决更复杂的问题，培养学生的思维能力和创新能力；6. 总结归纳：总结向量的定义、表示方法和运算法则，引导学生自主总结所学知识；7. 小结：对本节课内容进行总结，激发学生对向量学习的兴趣和积极性。
高中数学向量法的技巧教案
高中数学向量法的技巧教案
教学目标：
1. 理解向量的定义和基本性质
2. 掌握向量相加、相减和数量乘法的运算规律
3. 学会利用向量进行证明和计算
4. 掌握解决相关问题的方法和技巧
教学重点和难点：
1. 向量的定义和基本性质
2. 向量的相加、相减和数量乘法
3. 向量运算的性质和规律
教学准备：
1. 教学课件和教学材料
2. 白板和彩色笔
3. 练习题和作业
教学过程：
一、导入：
1. 引导学生回顾前几堂课的知识点，复习向量的定义和基本性质。
二、讲解：
1. 讲解向量的相加、相减和数量乘法的运算规律。
2. 引导学生掌握向量运算的性质和规律。
三、练习：
1. 给学生一些简单的向量运算练习题，让他们巩固基本的运算规律。
2. 分组让学生互相讨论解题思路，引导他们合作解决问题。
四、拓展：
1. 引导学生探讨向量在几何中的应用，如平面向量和空间向量的问题。
2. 给学生一些挑战性问题，让他们运用向量法解决复杂的几何问题。
五、总结：
1. 总结本节课的重点和难点，强调向量运算的技巧和方法。
2. 鼓励学生多加练习和思考，提高解题能力。
六、作业：
1. 布置相关练习题和作业，巩固本节课的内容。
2. 鼓励学生在课后多加练习和思考，提高自己的能力。
教学反思：
本节课通过引导学生掌握向量的运算规律和应用技巧，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
希望学生能够通过实践不断提高自己，掌握向量法的技巧，提高数学水平。
高中全程复习方略配套课件：77空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理
(2)若b0为b的单位向量，称_a_·__b_0_=_|_a_|_c_o_s_〈__a_,_b_〉为向量a在向量 b上的投影. 向量的坐标等于它在_坐__标__轴__正__方__向__上的投影. (3)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个_不__共__面__的向量，a是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. 空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个_____.
xy11
λx 2 λy2 ,
λ
R
_z_1___λz_2______;
(8)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_⇔_x_1_x_2+_y_1_y_2_+_z_1z_2_=_0_.
【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 A B 与 C A 的夹角θ的大小是________． (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则｜b-a｜的最小值为 _________. (3)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则 λμ=_________． (4)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直， 则k=_________.
空间两点间的距离 【方法点睛】 1.求空间两点间距离的步骤 (1)建立坐标系，写出相关点的坐标； (2)利用公式求出两点间的距离. 2.两点间距离公式的应用 (1)求两点间的距离或线段的长度； (2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值； (3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
【例2】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|
优秀高中数学向量教案
优秀高中数学向量教案
课时安排：2个课时
课堂内容：
第一课时：
1.引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法。
让学生了解向量的性质和运算规则。
2.教授向量的加法和减法。
通过示范和练习，让学生掌握向量加减法的方法。
3.讨论向量的数量积和向量的夹角。
引导学生理解向量的数量积和夹角的概念，并通过实例演练加深理解。
第二课时：
1.复习向量的加减法，数量积和夹角概念。
2.讲解向量的应用，如解决平面几何问题，力的合成与分解等。
3.进行一些综合练习，让学生熟练运用向量知识解题。
作业布置：完成课堂练习，巩固所学内容。
课堂评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对向量的理解和掌握情况。
补充材料：提供相关的练习题和习题解析，帮助学生巩固向量知识。
教学目标：使学生掌握向量的概念、运算方法和相关的应用，提高学生的数学解题能力和思维能力。
《向量的应用》教案（1）(1)
向量的应用一、教材分析向量概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反向量的理论和方式，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之因此有效，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，如此通过向量就能够较容易地研究空间的直线和平面的各类有关问题教学中要展现并让学生经历那个抽象的进程。
向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，向量在物理中的应用，是培育学生用向量知识解决有关物理问题的能力，向量在物理中的应用既是一个物理问题又是一个数学问题，因此在教学中，第一要把它转化成数学问题，即用数学知识成立物理量之间的关系，也确实是抽象成数学模型，然后再用成立起的数学模型说明相关物理现象由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，如此就可用代数方程研究几何问题，同时也能够用几何的观点处置某些代数问题，因此这部份知识还渗透了数形结合的解析几何思想一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也确实是将物理中量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用成立起来的数学模型说明和回答相关的物理现象。
本节课是苏教版必修4第2章平面向量中第5节向量的应用，通过本节课的学习，学生将进一步深化用向量的语言和方式表述和解决数学和物理中的一些问题。
二、学情分析本节课的讲课对象为单招预科班学生，关于职高学生的数学基础及学习特点，为了激发学生学习爱好并考虑学生的最近进展区针对单招预科班学生创设拔河竞赛等问题情景。
学生已学习平面向量的相关内容,初步成立了向量的数学模型和物理模型。
教学中尽可能提供学生动手实践的机遇,利用信息技术工具,让学生从亲躯体验中把握知识与方法；应创设情境,提高学生学习爱好,发挥主观能动性。
另外,学生总结归纳的能力还不够, 需要教师适当的引导和帮忙。
三、教学目标知识与技术：1. 学会如何把生活中的问题提炼出数学信息，并加工成数学语言，并用向量知识解决物理问题，.体会向量是一种数学工具2. 把握用向量知识解决代数问题与几何问题的相互转换和强化数形结合的数学思想方式．3.揭露知识背景，强化学生的参与意识；增强数学结合能力，进展运算能力和解决实际问题的能力.4.初步会用多媒体技术——几何画板作图工具处置数学问题。
高中数学复习专题讲座(第3讲)运用向量法解题的思路及方法
1题目高中数学复习专题讲座运用向量法解题高考要求平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题重难点归纳1解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解例1如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD(1)求证C1C⊥BD(2)当1CCCD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明命题意图本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力知识依托解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单错解分析本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法利用a⊥ba·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可(1)证明 设C B =a , C D =b ,1C C c = ,依题意，|a|=|b |，C D 、C B 、1C C中两两所成夹角为θ，于是DB =a －b ，1CC BD =c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c|·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD(2)解 若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由1111()()CA C D CA AA CD CC ⋅=+⋅-=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c|2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c|·cos θ=0,得 当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c|时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点(1)求B N的长；(2)求cos<11,BA CB>的值；(3)求证 A 1B ⊥C 1M 命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题知识依托 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标错解分析 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法 可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标(1)解 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz 依题意得 B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|B N|=)01()10()01(222=-+-+-(2)解 依题意得 A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) ∴1BA =1(1,1,2),CB -=(0，1，2)11BA CB ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3 |1BA|=6)02()10()01(222=-+-+-1||CB == 111111cos ,10||||BA CB BA CB BC CB ⋅∴<>===⋅(3)证明 依题意得 C 1(0，0，2)，M (2,21,21)1111(,,0),(1,1,2)22C M A B ==--∴111111(1)1(2)00,,22A B C M A B C M ⋅=-⨯+⨯+-⨯=∴⊥∴A 1B ⊥C 1M例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求 (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值解 (1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+-||2AM ∴==(2)||10,||5AB AC ====D 点分BC 的比为2∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y||AD ==(3)∠ABC 是BA 与B C 的夹角，而BA=(6，8），B C =(2，－5）2629cos 145||||BA BC ABC BA BC ⋅∴====⋅学生巩固练习1 设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形2 已知△ABC 中， AB =a ，A C =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a|=3,|b |=5,则a与b 的夹角是( )A 30°B －150°C 150°D 30°或150°3 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________4 等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的两个平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________5 如图，在△ABC 中，设AB =a ，A C =b ，AP =c , AD =λa,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c6 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角7 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使,,M P M N PM PN N M N P⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与P N的夹角，求tan θ8 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的 中点(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明 BD ∥平面EFGH ； (3)设M 是EG 和FH 的交点，求证 对空间任一点O ，有1(4O M O A O B O C O D =+++参考答案1 解析 AB =(1，2），D C =(1，2），∴AB =D C ，∴AB∥D C ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB|=5，A C =(5，3），|A C |=34，∴|AB|≠|A C },∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形； 又B C =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于B C ，∴ABCD 也不是矩形，故选D 答案 D2 解析 ∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°又∵a·b ＜0,∴α=150°答案 C3 (2,0)4 13 cm5 解 ∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb－a ),∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m ) a+m μb ①又C P 与C D 共线，∴C P =n C D =n (AD －A C )=n (λa－b ), ∴AP =A C +C P =b +n (λa －b )=n λa+(1－n ) b ② 由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a+(1－n ) b∵a与b 不共线，∴110110m a n m m n n m λλμμ-=+-=⎧⎧⎨⎨=-+-=⎩⎩即 ③解方程组③得 m =λμμλμλ--=--11,11n代入①式得c =(1－m ) a+m μb =πμ-11［λ(1-μ) a+μ(1-λ)b ］6 解 (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a )(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1M C =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1M C ·AB=0，1M C ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角∵1AC=(,),(0,,),222a a a A M -=22190244a AC AM a a ∴⋅=++=13||,||2AC AM a ====而2194cos ,322aAC AM a∴<>==⨯所以1AC AM与所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°7 解 (1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， PM =－M P=(－1－x ,－y ）,PN N P =-=(1－x ,－y ), M N =－N M=(2,0),∴M P ·M N =2(1+x ), PM ·P N=x 2+y 2－1,N M N P ⋅ =2(1－x )于是，,,M P M N PM PN N M N P ⋅⋅⋅是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(2)点P 的坐标为(x 0,y 0)220012,||||PM PN x y PM PN ⋅=+-=⋅===cos ||PM PN PM PNθ⋅∴==⋅010cos 1,0,23x πθθ<≤∴<≤≤<||3cos sin tan ,411cos 1sin 0222y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ8 证明 (1）连结BG ，则 1()2EG EB BG EB BC BD EB BF EH EF EH =+=++=++=+由共面向量定理的推论知 E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD=EH ）(2）因为1111()2222EH AH AE AD AB AD AB BD =-=-=-=所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知12EH BD =，同理12FG BD = ，所以EH FG = ，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以 1111111()[()][()]2222222OM OE OG OE OG OA OB OC OD =+=+=+++ 1().4O A O B O C O D=+++课前后备注。
高中数学必修4《平面向量应用举例》教案
高中数学必修4《平面向量应用举例》教案高中数学必修4《平面向量应用举例》教案
教学准备
教学目标
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的三步曲;
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.;
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重难点
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的三步曲.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?
思考：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤?
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤?
三步曲：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果翻译成几何关系.。
《向量应用举例》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《§7.2向量的应用举例》教学设计进行分析和计算，在此过程中培养学生探究问题和解决问题的能力。
【知识与能力目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题。
2.了解直线法向量的概念。
3. 体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具。
【过程与方法目标】体会由理论到实际的解决问题的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过学习，使学生认识到用向量的方法从数学的角度刻画现实问题的作用，培养学生观察、类比、联想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。
【教学重点】利用向量的有关计算及相应的意义解决实际问题。
【教学难点】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知。
教材整理：向量应用举例阅读教材P 101～P 103，完成下列问题。
1．点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2。
2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量。
(2)公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用。
巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0。
( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行。
( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角相等或互补。
( ) (4)直线y ＝kx ＋b 的一个法向量是(k ，－1)。
( )【解析】 △ABC 是直角三角形，若∠A ＝90°，则AB →·BC →≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确。
人教版高一数学下册向量应用优质课公开课教案教学真实情况
人教版高一数学下册向量应用优质课公开课教案教学真实情况本文档记录了一堂人教版高一数学下册向量应用优质课公开课的教学真实情况。
以下是教学过程的详细描述。
教学目标- 理解向量的概念和性质- 掌握向量的相加、相减和数量积的运算法则- 能够应用向量解决实际问题教学准备- 教师准备：- 课件- 教学素材：包括实际问题和相关练习题- 学生准备：- 学生预习课本内容教学过程导入（5分钟）教师通过提问和回顾上节课内容的方式导入本节课的内容，引发学生对向量的兴趣。
概念讲解（15分钟）教师通过课件和示意图向学生详细介绍向量的定义、表示方法和性质。
同时，教师引导学生思考向量的几何意义，以增强学生对向量的理解。
运算法则演示（20分钟）教师通过实例演示向量的相加、相减和数量积的运算法则。
在演示过程中，教师引导学生思考运算法则的几何意义，并与实际问题相结合，让学生体会向量运算的实际应用。
练习与巩固（15分钟）教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行个人或小组练习，巩固所学的向量运算法则，并培养学生应用向量解决实际问题的能力。
拓展应用（15分钟）教师提供一些拓展应用题，让学生运用所学的向量知识解决更复杂的问题。
教师鼓励学生自主思考，提供必要的指导和帮助。
总结与反思（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并鼓励学生对自己的学习进行反思。
教师提供一些问题，引导学生思考向量的应用领域和进一步的学习方向。
教学评价教师通过观察学生在课堂上的表现、课后作业的完成情况以及课堂小测验的成绩等多个方面进行教学评价。
同时，教师鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，以促进学生的主动学习和思维能力的培养。
参考资料- 人教版高中数学课本- 人教版高中数学教师用书。
数学高中教案带多媒体
数学高中教案带多媒体
教学目标：
1. 了解平面向量的定义和表示方法
2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则
3. 熟练运用向量的性质解决相关问题
教学重点：
1. 平面向量的概念和集合表示
2. 向量的加法、减法和数量乘法
3. 向量的性质及运用
教学难点：
1. 向量的几何解释
2. 向量的数量乘法
教学准备：
1. 多媒体投影仪
2. 平面向量相关动画、图片或视频
3. 课件PPT
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示平面向量相关的动画或图片，引入平面向量的概念，让学生初步了解平面向量的定义和表示方法。
二、讲解（15分钟）
1. 回顾平面向量的定义和表示方法
2. 讲解向量的加法、减法和数量乘法运算法则
3. 分析向量的性质及运用
三、示范与练习（20分钟）
1. 示范如何进行向量的加法、减法和数量乘法运算
2. 给学生练习相关题目，让他们熟练掌握向量的运算方法
四、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固所学的知识
五、课堂小结（5分钟）
总结本节课的内容，强调平面向量的重要性和应用。
教学反思：
通过引入多媒体教学手段，能够生动形象地展示平面向量的概念和运算方法，提高学生的学习兴趣和理解能力。
同时，结合实际问题，引导学生灵活运用向量知识解决实际问题。
高中数学向量市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
高中数学向量教案一、教学目标1. 理解向量的概念和性质；2. 掌握向量的表示方法和运算法则；3. 能够解决与向量相关的具体问题；4. 培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 向量的性质和运算法则；2. 向量的坐标表示方法；3. 解决与向量相关的问题。
三、教学方法1. 讲授法：通过讲解向量的概念、性质和运算法则，引导学生理解和掌握；2. 实例法：通过具体的实例，帮助学生运用向量解决相关的问题；3. 练习法：通过大量的练习题，巩固和强化学生的学习成果；4. 合作学习法：组织学生进行小组讨论、合作解题，提高学生的交流和合作能力。
四、教学内容1. 向量的概念和性质（1）向量的定义：向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
（2）向量的性质：相等向量、零向量、负向量、共线向量、向量的加法和数量积等性质。
2. 向量的表示方法（1）向量的坐标表示：平面直角坐标系和空间直角坐标系下的向量表示方法；（2）向量的分解表示：向量分解为正交分量和平行分量的表示方法。
3. 向量的运算法则（1）向量的加法：平面向量和空间向量的加法法则；（2）向量的数乘：向量与数的乘积的规律；（3）向量的数量积：向量数量积的定义、性质和运算法则。
4. 解决与向量相关的问题（1）向量的共线与共面问题：判断向量共线与共面的条件和方法；（2）向量的夹角和垂直问题：求解向量夹角和垂直的条件和方法；（3）向量的几何应用：如质心、重心、垂线、角平分线等问题的解决方法。
五、教学步骤1. 导入与激发：通过引入一个生活中的实际问题，让学生思考与向量相关的知识和应用，激发学生的兴趣。
2. 知识讲解：逐步讲解向量的概念、性质和表示方法，引导学生理解和记忆。
3. 实例演示：通过具体的实例，演示向量的运算法则和解决问题的方法，帮助学生掌握运用向量的技巧。
4. 练习巩固：组织学生进行适量的练习，巩固所学知识和技能。
5. 错题讲解：解答学生在练习中遇到的难题和错误，帮助学生理解和纠正。
人教版高一数学下册向量应用优质课公开课教案教学真实情况
人教版高一数学下册向量应用优质课公开课教案教学真实情况一、教学目标知识与技能1. 理解向量的概念，掌握向量的基本运算。
2. 学会运用向量解决实际问题，如几何图形中的线段长度、角度和距离等问题。
过程与方法1. 通过实例讲解，让学生掌握向量的定义和基本运算。
2. 利用向量解决实际问题，培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观1. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
2. 让学生感受数学在实际生活中的应用，增强学生的数学实践能力。
二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 向量在几何中的应用，如线段长度、角度和距离的计算。
三、教学重点与难点重点1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的基本运算。
难点1. 向量在几何中的应用，如线段长度、角度和距离的计算。
四、教学方法采用案例分析法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题引入向量的概念，如在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(5,7)，求向量AB的长度。
2. 知识讲解1. 向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
2. 向量的表示方法：用字母表示向量，如a→，其中a表示向量的大小，→表示向量的方向。
3. 向量的基本运算：- 向量的加法：a→ + b→ = (a1 + b1, a2 + b2)- 向量的减法：a→ - b→ = (a1 - b1, a2 - b2)- 向量的数乘：ka→ = (ka1, ka2)- 向量的点乘：a→ · b→ = a1b1 + a2b23. 案例分析通过几何图形中的实例，让学生掌握向量在实际问题中的应用，如计算线段长度、角度和距离等。
4. 课堂练习布置一些有关向量运算和应用的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展总结本节课所学内容，强调向量的概念和基本运算。
同时，提出一些拓展问题，如向量的叉乘和空间向量等，激发学生的学习兴趣。
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5,
所以P 1, 2 到直线l的距离为 5 .
【技巧方法】 认清公式的形式，找准每一个变量代表 的数值，准确带入，精确计算.
课堂练习1
求下列各点到相应直线的距离
①P 0,3 ,3x + 4y = 0; ②P -2,0 ③P 0,0
12 5
④P -1,-2 , x + y = 0; ⑤P 2,3 , x -1 = 0;
技巧点拨： 1.计算速度的合速度， 2.计算时间必须使速度的方向和位移的方 向一致.
练习：
证明直径所对的圆周角是直角. 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点.求证∠ACB=90° 思路分析 A
C
b
B O
a
要证∠ACB=90°，只须证向
量 AC CB ，即 AC CB 0 .
o
f G F 1 80 25 0.02 1.1 N . 因此 f s f s cos 180o 1.1 20 1 22 J . 答 F 和 f 所做的功分别是500 3J 和-22J .
及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素. 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
向量在物理中的应用
例3 一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到 达B地，然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o， 并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移. 分析
9 , 4x + 3y -1 = 0 : 5 37 65 , 4x + 7y = 37; 65
3 2 2
1
⑥p 1,-1 , y + 2 = 0. 1
向量在几何中的应用
例2
已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点。 C
思路分析
解决此类问题一般是将相关的线 段用向量表示，利用向量的三角形法 则和平行四边形法则，题目中的已知 条件进行运算，得出结果，再翻译成 A
d PM n0 x0 x , y0 y A x 0 x B y0 y A B
2 2
, 2 2 2 2 A B A B A B A2 B 2
Ax0 By0 Ax By
又因为P x , y 为l 上任意一点，所以c Ax By , Ax0 By0 C 故d . 2 2 A B
技巧点拨 1.按照题意正确作图， 2.分析图形的边角关系， 3.利用平面几何的知识求出答案.
例4 已知力 F 与水平方向的夹角为300（斜向上），大小 为50N，一个质量为8kg的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ=0.02的水平平面上运动了20m.问力 F和摩擦力 的功分别为多少？（g=10m/s2） 分析 本题是向量在物理学中“力学问题” 上应用的例子，可以清楚地看出向量的 直接作用，根据向量数量积的几何意义， 可知对物体所做的功即是表示力的向量 和表示位移的向量的数量积.
2 2
思考2
如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？
证明：M x0 , y0 是直线外一定点， P x, y 是直线上任意一点，由直 线l : Ax By C 0, 可以取它的 方向向量v= B, A .一般的，称与 直线的方向向量垂直的向量为该 直线的法向量.
特别提醒 在使用该公式前，须将直线方程化为一般式． A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不
用此公式计算距离．
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y P (x0,y0) y=y1 Q (x0,y1) y (x1,y0) Q P(x0,y0) x
o
x
o
x=x1
PQ y0 - y1
PQ x0 - x1
例题讲解
例1 求P 1, 2 到直线l： 2 x y 1 0的距离.
解： x0 1, y0 2 , A 2 ,B 1,C 1. 由点到直线的距离公式，得 d 2 1 1 2 1 2 1
y
n
.
o
P(x0,y0) M(x0,y0)
x
y
n
.
A B n0 , 2 2 n A B A2 B 2 于是，点M x0 , y0 到直线 n PM 在n0 方向上射影的长度 : .
o
P(x0,y0)
M(x0,y0)
x
l: Ax+By+C=0
l : Ax By C 0的距离等于向量
思路分析
如图，已知v v1 v 2， v1 10km / h, v 2 2km / h ， v v 2，求t .
B
v1
v2
A
解：由已知条件得:v v2 0
| v | | v1 |2 | v2 |2 96( km / h),
所以 d 0.5 t 60 3.1(min). |v | 96
技巧点拨：
1.将物理中的矢量用向量表示， 2.找出向量与向量的夹角， 3.利用向量的数量积计算功.
例5 .一条河的两岸平行，河宽d 500m，一艘船从A 出发航行到河的正对岸B处.航行的速度 v1 10km / h，水流的速度 v 2 2km / h，问行驶航程最 短时，所用的时间是多少？
又 CH CA CB CH CB CA CB 0 ,
即CH AB 0 ,所以CH AB， CH AB ,又CF AB , 所以C，H，F 三点共线，H 在CF 上.
C D
H
A F
B
思考3
根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何
问题的基本思路吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉
北
要求飞机从B地到C地的位移，需要
解决两个问题： ⑴利用解三角形的知识求线段BC的长度 ⑵求BC与基线的夹角. C
西
B D
60o 60o
东
A
南
解：设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意， AB的方向是北偏西60o， AB km； AC的方向是 南偏西60o， AC km.所以BAC 60o . 过点B作东西基线的垂线，交AC 于D， 则ΔABD为正三角形.所以BD CD 1000km， 1 CBD BCD BDA 30o.所以ABC 90o. 2 3 o BC AC sin 60 =2000 BC =1000 3km. km , 2 答：飞机从B地到C 地的位移大小是1000 3km， 方向是南偏西30o .
G
f 所做
F
300
f
F2
F 1
解：设木块的位移为s，则 3 Fs F s cos30 50 20 500 3 J . 2 将力F 分解，它的铅垂线方向上的分力F1的大小为
o
1 F1F sin30 50 25 N , 2 所以，摩擦力f 的大小为
夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素. 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
不奋苦而求速效，只落得少日浮夸， 老来窘隘而已。 ——郑板桥
解：设 AO OB a , OC b 则 AC a b, CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
a b a b r2 r2 0
即 AC CB 0 ， AC CB , ∠ACB=90°
2
2
2
用.
【难点】用向量表示几何关系.
平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几 何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及 数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向 量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需
要我们在实践中去探究、领会和总结.
思考1
用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什
么？
几何问题向量化 向量运算关系化
向量关系几何化.
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
一定是垂 线段哟！
l
.M
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
.M
o
(x0,y0)
x
点到直线的距离公式 已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0.
则P点到直线 l 的距离d为:
d=
Ax 0 + By 0 + C A +B
§7 向量应用举例
1.知识目标： （1）掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解析法 和向量方法的区别与联系. （2）会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实
际问题.
2.能力目标：培养应用所学知识灵活解决问题的能力，培 养观察、分析、比较和判断的习惯，增强战胜困难的信心. 3.情感目标：培养学生的创新意识和乐观地对待困难的人 生观. 【重点】体会向量在解决平面几何问题和物理问题中的作
2
1.点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式.
2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、
E
H F
D