高三数学冲刺模拟题(6)

高三数学冲刺模拟题（6）文科数学一、单选题1．已知集合2{|320}A x x x =+-≤， ()2{|log 210}B x x =-≤，则A B ⋂=（ ） A. 2|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B. 2|13x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C. {|11}x x -≤≤D. 12|23x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 2．已知复数z 满足()3434z i i +=-， z 为z 的共轭复数，则z =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．如图，当输出4y =时，输入的x 可以是（ ）A. 2018B. 2017C. 2016D. 20144．已知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b -=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ） A. 22112x y -= B. 22193x y -= C. 2213y x -= D. 2212332x y -=5．要得到函数2sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移8π个单位 D. 向右平移8π个单位 6．已知实数x ， y 满足1{210 3x x y x y ≥-+≤+≤，则3z x y =+的最大值是（ ）A. 4B. 7C. 8D. 1737．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ） A. 18 B. 916 C. 4π D. 1516 8．函数3cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A.B. C. 8 D. 910．已知函数()20172017log x f x =+ )20173x x --+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()1,2D. ()1,411．在锐角三角形ABC 中， a ， b ， c 分别为内角A ， B ， C 的对边，已知a = ()223tan b c A +-=， 22cos 2A B + )1cosC =，则ABC ∆的面积为（ ）A. B. C. D. 12．已知点()4,0M -，椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左焦点为F ，过F 作直线l （l 的斜率存在）交椭圆于A ， B 两点，若直线MF 恰好平分AMB ∠，则椭圆的离心率为（ ）A. 14B.C. 12D.二、填空题13．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tan 3α=，则2sin 2sin cos ααα+=__________．14．已知()3,4a =， 2b =，且2a b +=a 与b 的夹角为__________．15．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足关系式()()3'2ln f x xf x =+，则()'1f 的值等于__________．16．如图，在三棱锥P ABC -中， PC ⊥平面ABC ， AC CB ⊥，已知2AC =，PB =PA AB +最大时，三棱锥P ABC -的体积为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，且4a ， 6a ， 9a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()21n a nn n b a =-+-，求数列{}n b 的前2n 项和.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 90BAC ∠=， 2AB AC ==，点M 为11AC 的中点，点N 为1AB 上一动点.（1）是否存在一点N ，使得线段//MN 平面11BB C C ？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由.（2）若点N 为1AB 的中点且CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.19．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.（1）若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率.20．已知抛物线C ： 24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B （B 位于第一象限）两点.（1）若直线AB 的斜率为34，过点,A B 分别作直线6y =的垂线，垂足分别为,P Q ，求四边形ABQP 的面积；（2）若4BF AF =，求直线l 的方程.21．已知函数()x x f x e=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明： 12ln x x e ex>-. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：12{ 3x t y =-=+（t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ， B ，求M A M B +的值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()1f x x x m =-+-.（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若不等式()21f x m ≥-对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．D【解析】由题意得： 213A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，， ]1(1 2B =，∴A B ⋂= 12|23x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 故选：D2．A【解析】由题意得： ()()()()343434724i 7243434349162525i i i z i i i i -----====--++-+ ∴7242525z i =-+，1z ==， 故选：A3．B【解析】当输出4y =时，此时4=x 31-+，即1x =-，由x x 2=-，可得： 1x 2-=-，即1x =，同理： 35x x ==，，。

故选:B4．C【解析】由双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b -=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得：22231{ a b b a-==，解得：1{a b ==， ∴双曲线C 的标准方程是2213y x -= 故选：C5．C【解析】由题意知： 2sin 22cos2x 2y x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭把函数2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位，可得：2cos 22cos2x 84y x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：C6．B【解析】作出可行域，如图所示：当直线经过点B ()12，时， 3z x y =+最大，即167z =+=，故选：B7．B【解析】由题意可知，硬币的圆心必须落在小正方形中，如图：该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为669P 8816⨯==⨯， 故选：B8．D【解析】由题意可知： 3cos sin y x x x =+的为奇函数，排除B ； 当x 2π=时， 1y =，当x π=时， 30y π=-<，排除A ，C ， 故选：D点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．9．D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图所示：AB 6BC BD CD AD 9=====，，故选：D点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10．A【解析】由题意易知： ()201720172017log x x g x -=-+ )x 为奇函数且在()∞∞-+，上单调递增, ∴()()12336g x g x -+++>，即()() 21g x g x >-∴21x x >-∴1x <∴不等式()()126f x f x -+>的解集为(),1-∞故选：A11．A【解析】∵a = ()223tan b c A +-=，∴222tan 2b c a A bc +-=，即cosAtan A = sinA =，又A 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴A 3π=,∵22cos 2A B + )1cosC =，∴())1cos 1cosC A B ++=,∴)1cosC 1cosC -=∴cosC 2=， C 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴C 4π=由正弦定理可得： sin60sin45a b =︒︒，解得： b =ABC 11acsinB 22S ===. 故选：A12．C【解析】∵l 的斜率存在，可设直线l 为： ()y k c x =+，带入椭圆方程可得：()222222248c 440b k x k x k c b +++-=,设()()1122A B x y x y ，，， 则212228c 4k x x b k +=-+， 2221222444k c b x x b k-=+， 又直线MF 恰好平分AMB ∠，∴AM BM 0k k += 即1212044y y x x +=++，∴()()1221440y x y x +++=， ()()()()1221k c 4c 40x x k x x +++++=，∴2()()12124c 8c 0x x x x ++++= ∴()22222222448c 24c 8c 044k c b k b k b k ⎛⎫-⨯++-+= ⎪++⎝⎭， ∴228c 80b b -=，∴c 1=，又a 2= ∴1e 2= 故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13．32【解析】222222sin 2sin tan 2tan 963sin 2sin sin cos tan 1912cos cos ααααααααααα++++====+++， 故答案为：32点睛：利用sin 2α＋cos 2 α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化． 14．23π 【解析】∵()3,4a =，∴5a =，由2a b += 224421a a b b ++=，∴5a b =- ∴1cos 2a b a b a b ==-， ∴a 与b 的夹角为23π故答案为： 23π 15．14【解析】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+， ∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=.故答案为： 1416．4【解析】设x BC =，则2P C = PA =AB =8PA AB +=，当且仅当22284x x -=+，即x =.1111243232P ABC V AC BC PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,故答案为：417．(1) n a n = (2) 21223n n +-+【解析】试题分析：（1）由等差等比数列的基本公式求得11a =，进而得到数列{}n a 的通项公式；（2）()()21nnn b n =-+-，分成两组分别求和即可. 试题解析：（1）因为4a ， 6a ， 9a 成等比数列，所以2649a a a =⋅，又因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 615a a =+， 413a a =+， 918a a =+， 所以()()()2111538a a a +=++， 解得11a =，所以()11n a a n d n =+-=.（2）由（1）可知n a n =，因为()()21na nn n b a =-+-，所以()()21nnn b n =-+-. 所以()()222222nn S =-+-+⋅⋅⋅+- ()123452n +-+-+-+⋅⋅⋅+ 222212n n -+⋅=++ 21223n n +-=+.18．(1)见解析(2)3【解析】试题分析：（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点.要证//MN 平面11BB C C ，连接1A B ， 1BC ，点M ， N 分别为11AC ，1A B 的中点，转证//MN BC 即可；（2）设点D ， E 分别为AB ， 1AA 的中点，连接CD ， DN ， NE ，易得NE ⊥平面11AAC C ，M NAC N AMC V V --= 13AMC S NE ∆=⋅，从而得到三棱锥M NAC -的体积.试题解析：（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点. 证明如下：如图，连接1A B ， 1BC ，点M ， N 分别为11AC ， 1AB 的中点， 所以MN 为11A BC ∆的一条中位线，//MN BC ，MN ⊄平面11BB C C ， 1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .（2）如图，设点D ， E 分别为AB ， 1AA 的中点，连接CD ， DN ， NE ，并设1AA a =，则221CM a =+，22414a MN +=+ 284a +=， 2254a CN =+ 2204a +=，由CM N ⊥M ，得222CM MN CN +=，解得a =又易得NE ⊥平面11AAC C ，1NE =，M NAC N AMC V V --= 111332AMC S NE ∆=⋅=⨯ 21⨯=.所以三棱锥M NAC -点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19．(1)9(2)49【解析】试题分析：（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为1A ， 1B ， 1C ，（2），甲、乙两人共有9种下车方案；（2）设9站分别为1A ，1B ， 1C ， 2A ， 2B ， 2C ， 3A ， 3B ， 3C ，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况. 由（1）可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案. 而甲比乙先到达目的地的方案有共12种，从而得到甲比乙先到达目的地的概率. 试题解析：（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为1A ， 1B ， 1C ，甲、乙两人共有()11,A A ， ()11,A B ， ()11,A C ， ()11,B A ， ()11,B B ， ()11,B C ， ()11,C A ，()11,C B ， ()11,C C 9种下车方案.（2）设9站分别为1A ， 1B ， 1C ， 2A ， 2B ， 2C ， 3A ， 3B ， 3C ，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况.由（1）可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案.而甲比乙先到达目的地的方案有()13,A A ， ()13,A B ， ()13,A C ， ()13,B A ， ()13,B B ，()13,B C ， ()13,C A ， ()13,C B ， ()13,C C ， ()22,A B ， ()22,A C ， ()22,B C ，共12种，故所求概率为124279=. 所以甲比乙先到达目的地的概率为49. 20．（1）1558.（2）314y x =+. 【解析】试题分析：（1）直线AB 的方程为314y x =+，与抛物线方程联立得2340x x --=， 23524PQ AP BQ ===，，，从而得到四边形ABQP 的面积； （2）直线l ： 1y kx =+.设()11,A x y ， ()22,B x y ，由21,{4,y kx x y =+=化简可得2440x kx --=，124x x k +=， 124x x =-，因为4BF AF =，所以214x x -=，从而解得得34k =.（1）由题意可得()0,1F ，又直线AB 的斜率为34，所以直线AB 的方程为314y x =+. 与抛物线方程联立得2340x x --=，解之得11x =-， 24x =. 所以点A ， B 的坐标分别为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()4,4.所以()415PQ =--=， 123644AP =-=， 642BQ =-=， 所以四边形ABQP 的面积为12315525248S ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭. （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l ： 1y kx =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，由21,{ 4,y kx x y =+=化简可得2440x kx --=，所以124x x k +=， 124x x =-. 因为4BF AF =，所以214x x -=， 所以()21212x x x x + 12212x xx x =++ ()2249444k k ==-=--， 所以2944k =，即2916k =，解得34k =±. 因为点B 位于第一象限，所以0k >，则34k =. 所以l 的方程为314y x =+. 21．(1) ()f x 的单调递增区间为(),1-∞， ()f x 的单调递减区间为()1,+∞ (2)见解析【解析】试题分析：（1）由题意可得()1'xxf x e -=，解不等式得到函数()f x 的单调区间； （2）要证12ln x x e ex >-成立，只需证2ln x x x x e e >-成立，易证： 1ln x x e≥-，21x x e e e-≤-。