导数的几何意义 课件

解得
3
x0＝
36 6.
反思与感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标. (2)利用导数或斜率公式求出斜率. (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标. (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
跟踪训练4 直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的 值为_32_27__，切点坐标为__－__13_，__22_73__.
命题角度 1 曲线在某点处的切线方程 例 1 已知曲线 C：y＝13x3＋43.求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程.
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_－__3__.
命题角度2 曲线过某点的切线方程 例2 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
类型二 利用图象理解导数的几何意义
例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是 A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B.0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)
√C.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，f(x0)). (2)建立方程 f′(x0)＝y1x－1－fxx00.
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.
跟踪训练2 求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程.
反思与感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问 题可以用数形结合思想来解决.
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象可能是
√
解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上， 各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为 在点P处的切线.
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－fx0x0.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系？
fx0＋Δx－fx0
的切线的斜率k，即k＝
f′(x0)＝
lim
Δx→0
Δx
.
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为____y－__f_(_x_0)_＝___ __f_′__(x_0_)_(x_－__x_0_)_.
知识点二 导函数
思考 已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同.
f1＋Δx－f1
答案 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝2.
fx＋Δx－fx
f′(x)＝ lim Δx→0
Δx
＝2x，
f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数.
梳理 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化
时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称
新函数，是函数
算导函数在这一点的函数值
[思考辨析 判断正误]
1.函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ ) 2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
(√ ) 3.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.( × )
类型一 求切线方程
fx＋Δx－fx
导数), 即f′(x)＝y′＝
lim
Δx→0
Δx
.
特别提醒：
区别
联系
f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导
函数f′(x)在x＝x0处的函数值，
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每 因此求函数在某一点处的导
f′(x) 一点都存在导数而定义的一个 数，一般先求导函数，再计
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P
时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝ f(x) 在点P处 的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处
类型三 求切点坐标
例4 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处 的切线互相平行，求x0的值.
引申探究 若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值. 解 ∵k1＝2x0，k2＝－3x20. 根据曲线 f(x)＝x2－1 与 g(x)＝1－x3 在 x＝x0 处的切线互相垂直，知 2x0·(－3x20)＝－1，