四川省宜宾市2018届高三数学5月综合测试(二)试题 理

2018考试时间120分钟 试卷满分150注意事项：．答第I ．每小题选出答案后，用2B . 参考公式：
三角函数和差化积公式2cos 2
sin
2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin
2
cos
2sin sin ϕ
θϕθϕθ-+=-2
cos
2
cos
2cos cos ϕ
θϕθϕθ-+=+
2
sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-
145分，共60分.1）若圆台的高为4，母线长为5（A ）252π （B ）84π2）若曲线x 2+y 2+a 2x+ (1–a 2
)y –（ ）.
（A ）21± （B ）22±3）设2
2
π
απ
<
<-，2
βπ
<
<-
根.则α+β的值为（ ）.
（A ）
3
π （B ）3π- （C ）32π （D ）323π
π--或
（4）等边ΔABC 的顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列，若在复平面内，A 、B 两点分别对应 的复数为i 321+-和1，则点C 对应的复数为（ ）.
（A ）32- （B ）3- （C ）i 322-- （D ）–3
（5）对于每一个实数x ，f(x)是y=2–x 2
和y=x 这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是（ ）. （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）–2
（6）已知集合A={(x,y)|y=sin(arccosx)}.B={(x,y)|x=sin(arccosy)}，则A ∩B=（ ）.
（A ）{（x ，y ）|x 2+y 2=1，x>0，y>0} （B ）{（x,y ）|x 2+y 2
=1，x ≥0}
（C ）{（x ，y)|x 2+y 2=1，y ≥0} （D ）{（x,y ）|x 2+y 2
=1，x ≥0，y ≥0}
（7）抛物线y 2=2px 与y 2
=2q （x+h ）有共同的焦点，则p 、q 、h 之间的关系是（ ）.
（A ）2h=q –p （B ）p=q+2h （C ）q>p>h （D ）p>q>h （8）已知数列{a n }满足a n+1=a n –a n –1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，则下列结
论正确的是（ ）.
（A ）a 100=–a ，S 100=2b –a （B ）a 100=–b ，S 100=2b –a （C ）a 100=–b ，S 100=b –a （D ）a 100=–a ，S 100=b –a
（9）已知ΔABC 的三内角A ，B ，C 依次成等差数列，则sin 2A+sin 2
C 的取值范围是（ ）.
（A ）⎦⎤⎢⎣⎡23,1 （B ）⎦⎤⎢⎣⎡23,43 （C ）⎪⎭⎫
⎝⎛23,43 （D ⎪⎭
⎝2,4（10）如图，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，
Q 满足A 1P=BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两 部分，则其体积之比为（ ）.
（A ）3:1 （B ）2:1 （C ）4:1 （D ）3:1
（11）中心在原点，焦点坐标为（0，25±）的椭圆被直线3x –2=0截得的弦的中点的
横坐标为
2
1
，则椭圆方程为（ ）. （A ）175225222=+y x （B ）125
27522
2=+y x （C ）
1752522=+y x （D ）125
752
2=+y x
（12）已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且0)2
1(=f ，则不等式 f(log 4x)>0的解集为（ ）.
（A ）{x | x>2} （B ）{x | 0<x<2
1
}
（C ）{x | 0<x<21或x>2} （D ）{x | 2
1
<x<1或x>2}
（13）如图，将边长为5+2的正方形，剪去阴影部分后， 得到圆锥的侧面和底面的展
开图，则圆锥的体积是（ ）.
（A ）
π3302 （B ）π3
6
2 （C ）
π330 （D ）π3
60 （14）一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400
千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2
20⎪⎭
⎫
⎝⎛V 千米，那么这批物质全部运到B
市，最快需要（ ）
（A ）6小时 （B ）8小时 （C ）10小时 （D ）12小时
第Ⅱ卷（非选择题 共90分 答题纸作答）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） （15）函数2
3
cos 3cos sin 2
-
+=x x x y 的最小正周期是__________. （16__________.
（17）（1+x ）__________. （18）已知m ，n 是直线，α.β. γ是平面，给出下列命题： ①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β； ②若n ⊥α,n ⊥β,则α∥β；
③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；
④若n ⊂α，m ⊂α且n ∥β,m ∥β，则α∥β
⑤若m ，n 为异面直线，且n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β 则其中正确的命题是_________.（把你认为正确的命题序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （19）（本小题满分12分）
在ΔABC 中，求2
sin 2sin 2sin 222
C
B A ++的最小值.并指出取最小值时ΔAB
C 的形状，并说明理由.
（20）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=15，PD=3.
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若PD 与底面ABCD 成60°的角， 试求二面角P —BC —A 的大小.
（21）（本小题满分12分）
已知F(x)=f(x)–g(x)，其中f(x)=log a (x –1)，并且当且仅当点（x 0，y 0）在f(x)的图像上时，点（2x 0，2y 0）在y=g (x)的图像上.
（Ⅰ）求y=g(x)的函数解析式；
（Ⅱ）当 x 在什么范围时，F(x)≥0？
（22）（本小题满分12分）
某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从A地运到B地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：
运输工具途中速度途中费用装卸时间装卸费用
（千米/小时）（元/千米）（小时）（元）汽车 50 8 2 1000
火车 100 4 4 2000
飞机 200 16 2 1000 若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中的损耗为300元/小时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.
（23）（本小题满分13分）
已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线C在x轴上截得的线段的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程. （24）（本小题满分13分）
已知a>0，a≠1，数列{a n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b n=a n lga n（n∈N）（Ⅰ）求数列{b n}的前n项和S n；
（Ⅱ）当数列{b n}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.
2018年高中数学综合考试卷（二）（答题纸）
15．______________；16．_______________；17．_______________；18．_______________．19．
20．21．22．23．24．
2018年高中数学综合考试卷（二）
数学试题参考答案及评分标准
注意事项：1、试卷采用B4纸张打印
2、试卷包含试题卷3页共24题，答题纸1页，答案3页
3、选择题答题卡（机读卡）另附
一、选择题
（1）B ； （2）B ； （3）C ； （4）D ； （5）A ； （6）D ； （7）A ； （8）A ； （9）D ； （10）B ； （11）C ； （12）C ； （13）A ； （14）B. 二、填空题
（15）π； （16）)2
1,3(-； （17）–8； （18）②，⑤. 三、解答题
（19）解：令2
sin 2sin 2sin
222
C B A y ++= 2cos 12cos 12cos 1C
B A -+-+-=……………………………………1分 )cos cos (cos 21
23C B A ++-=
)2
sin 212cos 2cos
2(21232B
C A C A -+-+-=………………………3分 ∵在ΔABC 中，222B C A -=+π，∴2
sin 2cos B
C A =+…………………4分 又12cos ≤-C
A . ∴)2
sin 212sin 2(21232B B y -+-≥…………………………………………6分 12sin 2sin
2+-=B B 43
)212(sin 2+-=B …………………………………………………………8分
12
cos =-C
A ， 当 时，y 取得最小值4
3
.…………………………………9分
21
2sin =B
由12
cos =-C
A 知A=C ，………………………………………………………10分 由212sin =
B 知︒=302
B
，B=60°.……………………………………………11分
故A=B=C=60°， 即y 取最小值
4
3
时，ΔABC 的形状为等边三角形.…………………………12分 （20）（1）证：由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
故BD 2=AD 2+AB 2
–2AD • ABcos60° =4+16–2×2×4×
2
1
=12.…… …………………………………1 分
又AB 2=AD 2+BD 2
，
∴ΔABD 是直角三解形，∠ADB=90°， 即AD ⊥BD.……………………………3分 在ΔPDB 中，PD=3，PB=15，BD=12，
∴PB 2
=PD 2
+BD 2
，故得PD ⊥BD.……………………………………………5分 又PD ∩AD=D ，∴BD ⊥平面PAD.…………………………………………6分 （2）由BD ⊥平面PAD ，BD ⊂平面ABCD.
∴平面PAD ⊥平面ABCD.……………………………………………………7分 作PE ⊥AD 于E ，又PE ⊂平面PAD.∴PE ⊥平面ABCD.
∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDE=60°………………8分 ∴PE=PD sin60°=2
3233=⋅
. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BC.
∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.……………………………………10分 又EF=BD=12，在ΔRt ΔPEF 中，
4
3
3223
=
==∠EF PE PFE tg . 故二面角P —BC —A 的大小为4
3
arctg
.…………………………………12分 （21）解：（1）由点（x 0，y 0）在y=log a （x –1）的图像上，y 0=log a （x 0–1），…………1分
令2x 0=u ，2y 0=v ，则2
,200v y u x ==
， ∴)12(log 2-==v u a ，即)12
(log 2-=v
u a .…………………………3分
由（2x 0，2y 0）在y=g （x ）的图像上，即（u ，v ）在y=g （x ）的图像上.
∴)12
(
log 2)(-==x
x g y a .……………………………………………4分 （2）)12
(log 2)1(log )()()(---=-=x
x x g x f x F a a .
由F(x)≥0，即0)12
(l
o g 2)1(l
o g ≥---x
x a a ①…………………5分 当a>1时，不等式①等价于不等式组 2)12
(1-≥-x
x x –1>0 012
>-x
……………………………………………………………6分
2
–8x+8≤224224+≤≤-x
2242+≤<⇒x .………………………………………………………8分
当0<a<1时，不等式①等价于不等式组 2)12
(1-≤-x
x x>1
12
>x
………………………………………………………………………9分 2
–8x+8≥≤4–22或x ≥4+22 224+≥⇒x .…………………………………………………………11分 故当a>1，2<x ≤224+时，F(x)≥0；当0<a<1，
x ≥224+时，F(x)≥0.……………………………………………………12分 （22）解：设A 、B 两地的距离为S 千米，则采用三种运输工具运输（含装卸）过程中的费用
和时间可用下表给出：
运输工具 途中及装卸费用 途中时间
汽车 8S+1000
250+S
火车 4S+2000 4100+S
飞机 16S+1000 2200
+S
分别用F 1，F 2，F 3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有 F 1=8S+1000+（
250
+S
）×300=14S+1600，…………………………………2分
F 2=4S+2000+（
4100+S
）×300=7S+3200，…………………………………4分 F 3=16S+1000+（2200
+S
）×300=17.5S+1600.……………………………6分 ∵S>0，∴F 1<F 3恒成立.………………………………………………………7分
而F 1–F 2<0的解为71600
<
S ，………………………………………………8分 F 2–F 3<0的解为213200
>S ，…………………………………………………9分
则，（1）当7
1600
<S （千米）时，F 1<F 2，F 1<F 3，此时采用汽车较好；……
……………………………………………………………………………10分 （2）当7
1600
=
S （千米）时，F 1=F 2<F 3，此时采用汽车或火车较好；… ……………………………………………………………………………11分 （3）当7
1600
>
S （千米）时，F 1>F 2，并满足F 3>F 2，此时采用火车较好； ……………………………………………………………………………12分
（23）解：设所求抛物线方程为(x –h)2
=a(y –k) (a ∈R ，a ≠0) ①…………………………1分
由①的顶点到原点的距离为5，则522=+k h ②…………………………2分 在①中，令y=0，得x 2
–2hx+h 2
+ak=0.设方程二根为x 1，x 2，则
| x 1–x 2| =ak -2.……………………………………………………3分
将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为
（x –h ）2
=a （y –k –3），……………………………………………………4分
令y=0，得x 2–2hx+h 2
+ak+3a=0.设方程二根为x 3，x 4，则
| x 3–x 4| =a ak 32--.…………………………………………………5分
依题意得a ak 32--=
ak -⋅22
1
， 即 4（ak+3a ）=ak ③ …………………6分
将抛物线①向左平移1个单位，得（x –h+1）2
=a （y –k ）， …………………7分
由过原点，得(1–h)2
=–ak ④ …………………8分
由②③④解得a=1，h=3，k=–4或a=4，h=–3，k=–4 …………………11分
所求抛物线方程为（x –3）2
=y+4，
或（x+3）2
=4（y+4）. ………………………………………………13分
（24）解：（Ⅰ）由题意知a n =a n ，b n =na n
lga. ………………………………………………2分
∴S n =（1 • a+2 • a 2+3 • a 3+……+n • a n
）lga.
a S n =（1 • a 2+2 • a 3+3 • a 4+……+n • a n+1
）lga. 以上两式相减得
（1–a ）S n =（a+a 2+a 3+……+a n –n • a n+1
）lga ……………………………4分
a a n a
a a n n lg ]1)
1([
1+⋅---=. ∵a ≠1，∴])1(1[)
1(lg 2
n n a na n a a
a S -+--=
. ………………………6分 （Ⅱ）由b k+1–b k =(k+1)a k+1
lga –ka k
lga
=a k
lga[k(a –1)+a]. ………………………………………………7分
由题意知b k+1–b k >0，而a k
>0，
∴lga[k(a –1)+a]>0. ①……………………………………………8分
（1）若a>1，则lga>0，k(a –1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；
……………………………………………………………………10分 （2）若0<a<1，则lga<0，
不等式①成立0)1(<+-⇔a a k
10+<
<⇔k k
a 恒成立 2
1
)1(
0min =+<<⇔k k a .……………………12分 综合（1）、（2）得a 的取值范围为),1()2
1
,0(+∞⋃. ………………13分
5645。